Dedução da Equação de Helmholtz em Física Térmica

Dedução de continuação Equação de Helmholtz Física Térmica 3010 gEdE ψ 0 2 k2 ψx y z XxY yZz 7 X kx2 12 Y ky2 13 Z kz2 14 Xx Asin X Bcos X kx kx 15 Y y Csin Y Dcos Y ky ky 16 Zz Esin Z Fcos Z kz kz 17 Condições de contorno Para temos que ou Para evitar a solução trivial temos que Assim sendo Dessa forma temos que Sendo O raciocínio é análogo aos demais Xx 0 x 0 x a x 0 X0 B 0 x a Xa Asin a 0 kx A 0 sin a 0 kx kx a nπ n Z Xx Asin nπx a 18 n Z Sendo Sendo E substituindo e em temos que Como temos que Sendo e número quânticos Lembrando que massa da partícula No caso particular de uma caixa cúbica por exemplo com todas as aretas iguais a ou seja obtemos Vemos que neste caso os conjuntos de números quânticos da forma são e e eles fornecem os mesmos valores de energia Dizemos que há degenerescência ou seja para os três estados diferentes temos a mesma energia Estados degenerados estão sempre ligados a simetrias do sistema Vamos imaginar um espaço discreto assim FIG 1 Y y Csin y mπ b 19 m Z Zz Esin lπ z c 20 l Z 18 19 20 7 ψx y z ACEsin xsin ysin z nπ a mπ b lπ c 21 k2 kx 2 ky2 kz2 k2 nπ a 2 mπ b 2 lπ c 2 22 n m l Z k2 2ME ℏ2 M E ℏ2 2M k2 Enml ℏ2π2 2M n2 a2 m2 b2 l2 c2 23 a a b c Enml ℏ2π2 2M n2 a2 m2 a2 l2 a2 Enml ℏ2π2 2Ma2 n2 m2 l2 24 n m l 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Enml E100 E010 E001 Para numero quanticos muito grandes fica cada vez melhor aproximar n m e L por variaveis continuas