Sinais e Sistemas

GABARITO da P3 de SINAIS E SISTEMAS 20251 QUESTÃO 1 Note que a área na figura de 𝑡 1 até 𝑡 5 é a mesma que de 𝑡 7 até 𝑡 11 Assim 𝐸 2 𝑡 12𝑑𝑡 2 22 7 𝑡2𝑑𝑡 7 5 3 1 𝐸 2 𝑡3 3 𝑡2 𝑡 1 3 8 𝑡3 3 7𝑡2 49𝑡 5 7 𝐸 2 9 9 3 1 3 1 1 8 73 53 3 257 495 𝐸 2 8 3 8 218 3 175 245 64 218 210 3 72 3 24 Outra solução a figura é formada por três triângulos e dois retângulos Assim 𝐸 3 𝑡2𝑑𝑡 2 0 22 22 8 16 24 QUESTÃO 2 Note que a figura se repete no intervalo 𝑡 9 Portanto 𝑃 1 9 3𝑡 2 2𝑑𝑡 4 3 5 𝑡 2 𝑑𝑡 5 2 2 0 2 2 42 1 9 9 4 𝑡3 3 0 2 16 9 25𝑡 5𝑡2 𝑡3 3 2 5 64 𝑃 1 9 6 16 9 125 3 50 20 8 3 64 1 9 70 16 9 117 3 30 86 9 QUESTÃO 3 Item a Utilizando a FT fornecida multiplicando de forma cruzada 𝑑2𝑣0𝑡 𝑑𝑡2 10 𝑑𝑣𝑜𝑡 𝑑𝑡 34𝑣𝑜𝑡 2 𝑑𝑣𝑖𝑡 𝑑𝑡 34𝑣𝑖𝑡 Item b De acordo com a FT fornecida os polos estarão localizados em 𝑠𝑝12 5 3𝑗 Como se trata de uma FT BIBO estável aplicando o teorema do valor final 𝑣𝑜𝑡𝑆𝑆 lim 𝑡 𝑣𝑜𝑡 lim 𝑠0 𝑠𝑉𝑜𝑠 lim 𝑠0 𝑠𝐺𝑠𝑉𝑖𝑠 lim 𝑠0 𝑠2 𝑠 17 𝑠2 10𝑠 34 10 𝑠 10 Item c Note que 𝑉𝑖𝑠 ℒ2𝑢0𝑡 2 Calculando 𝑉𝑜𝑠 para a entrada fornecida e comple tando o quadrado na fração 𝑉𝑜𝑠 2 𝑠 17 𝑠2 10𝑠 34 3 6𝑠 102 𝑠2 10𝑠 34 6𝑠 5 243 𝑠 52 32 Aplicando a transformada de Laplace inversa em cada parcela do numerador 𝑣𝑜𝑡 24𝑒5𝑡 sen3𝑡𝑢1𝑡 6𝑒5𝑡 cos3𝑡 𝑢1𝑡 Item d Para determinar o ganho do circuito em regime permanente para uma entrada se noidal com 𝜔 4 rads basta calcular o módulo da resposta em frequência 𝐺𝑗4 2 𝑗4 17 𝑗42 10 𝑗4 34 34 𝑗8 18 𝑗40 17 𝑗4 9 𝑗20 Assim o ganho do circuito será 𝐺𝑗4 17 𝑗4 9 𝑗20 174642 219317 07963 QUESTÃO 4 Note inicialmente que a série pode ser reescrita da seguinte forma 𝑥𝑛 2 20 6 21 10 22 14 23 220 621 1022 1423 É possível perceber que os coeficientes formam uma PA que multiplica a série exponen cial de base 2 ou seja 𝑥𝑛 2 4𝑛2𝑛𝑢𝑛 Como sabemos se 𝑦𝑛 2𝑛𝑢𝑛 então 𝑌𝑧 𝑧 𝑧 2 Considere então a série 𝑎𝑛 𝑛2𝑛𝑢𝑛 𝑛𝑦𝑛 Pela propriedade 𝒵𝑛𝑦𝑛 𝑧 𝑑𝑌𝑧 𝑑𝑧 Assim 𝐴𝑧 𝒵𝑎𝑛 𝒵𝑛𝑦𝑛 𝑧 𝑑𝑌𝑧 𝑑𝑧 𝑧 𝑧 2 𝑧 𝑧 22 2𝑧 𝑧 22 Retornando na sequência original 𝑋𝑧 𝒵𝑥𝑛 4𝒵𝑎𝑛 2𝒵𝑦𝑛 4𝐴𝑧 2𝑌𝑧 𝑋𝑧 8𝑧 𝑧 22 2𝑧 𝑧 2 2𝑧2 4𝑧 𝑧 22 QUESTÃO 5 Item a Tendo em vista que a entrada é um degrau unitário discreto 𝑋𝑧 𝑈𝑧 𝑧 𝑧 1 Portanto 𝑌𝑧 𝑧 25 𝑧2 08𝑧 015 𝑧 𝑧 1 𝐴 𝑧 1 𝐵 𝑧 05 𝐶 𝑧 03 Assim 𝐴 35 1 1 08 015 35 035 10 𝐵 3 05 0205 15 𝐶 28 03 0207 6 Substituindo os valores na expansão 𝑌𝑧 10 𝑧 1 15 𝑧 05 6 𝑧 03 Aplicando a transformada z inversa em cada parcela 𝑦𝑛 10𝑢𝑛 1 1505𝑛1𝑢𝑛 1 603𝑛1𝑢𝑛 1 Item b Aplicando o teorema do valor final 𝑦𝑆𝑆 𝑦 lim 𝑧1𝑧 1𝑌𝑧 lim 𝑧1𝑧 1 𝑧 25 𝑧2 08𝑧 015 4𝑧 𝑧 1 𝑦𝑆𝑆 lim 𝑧1 𝑧 254𝑧 𝑧2 08𝑧 015 35 4 1 08 015 40 Note que esse resultado poderia ser alcançado observandose a expressão obtida no item anterior lembrando que existe um fator de escala de 4 em função da linearidade Item c Conforme determinado no item a os polos desse modelo estão localizados em 𝑧𝑝1 05 e 𝑧𝑝2 03 Na transformação bilinear a mudança de variável utilizada é 𝑠 2 𝑇 𝑧 1 𝑧 1 Portanto para 𝑧𝑝1 e considerando que 𝑇 01 s 𝑠𝑝1 2 01 05 15 20 3 667 e para 𝑧𝑝2 𝑠𝑝2 2 01 07 13 14 13 1077 CEFETRJ PROVA P3 GELE7303 SINAIS E SISTEMAS 20251 Professor ROBERTO ADES Data 15072025 Nome do aluno QUESTÃO 1 10 p Calcule a energia do sinal na figura 1 Figura 1 QUESTÃO 2 10 p Calcule a potência do sinal periódico na figura 2 Figura 2 QUESTÃO 3 40 p Considere um circuito modelado pela seguinte FT 𝐺𝑠 𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑖𝑠 2 𝑠 17 𝑠2 10𝑠 34 Com relação a esse circuito determine a 10 p a equação diferencial ordinária EDO que relaciona o sinal de entrada 𝑣𝑖𝑡 com o sinal de saída 𝑣𝑜𝑡 b 10 p a resposta 𝑣𝑜𝑡𝑆𝑆 em regime permanente caso seja aplicado na entrada o sinal 𝑣𝑖𝑡 10𝑢1𝑡 c 10 p a resposta completa 𝑣𝑜𝑡 caso seja aplicado na entrada o sinal 𝑣𝑖𝑡 3𝑢0𝑡 d 10 p o seu ganho em regime permanente caso seja aplicado na entrada o sinal 𝑣𝑖𝑡 5 sen4𝑡 20 𝑢1𝑡 QUESTÃO 4 10 p Considere a seguinte sequência causal 𝑥𝑛 2 20 6 21 10 22 14 23 Determine a transformada z na forma racional da sequência 𝑥𝑛 Continuação da P3 de SINAIS E SISTEMAS 20251 QUESTÃO 5 30 p Suponha um sistema modelado pela seguinte FT discreta 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑧 25 𝑧2 08𝑧 015 Com relação ao sistema determine a 10 p a expressão analítica da resposta 𝑦𝑛 caso seja aplicado um degrau unitário discreto na entrada isto é 𝑥𝑛 𝑢𝑛 b 10 p o valor da resposta em regime permanente caso seja aplicado um degrau discreto com amplitude 4 na entrada c 10 p as posições dos polos do modelo contínuo equivalente supondo que o período de amostragem adotado seja T 01 s e que a transformação tenha sido a bilinear Tustin Questão 1 O sinal ft é dado por ft0 t1 3t1 1t3 6 3t5 66t5 5t7 63t7 7t9 0 t9 Eft2dtintervalosintervaloft2dt Intervalo 13 133t12dt913t12dt Fazendo a troca ut1 dudt u vai de 0 a 2 902u2du9u332098324 Intervalo 35 36tdt365336272 Intervalo 57 7566t52dt36751t52dt 36201v2dv vt5 362012vv2dv 36vv2v3320 362483 362324 Intervalo 79 9763t72dt997t722dt Defina wt7 dwdt w de 0 a 2 902w22dw902w24w4dw9w332w24w209838898324 E24722424144 E144 Questão 2 pt4t0t2 82t6 84t66t8 e se repete para todo t P1T0Tpt2dt18I1I2I3 onde I1024t2dt1602t2dt162331283 I22682dt6462644256 I38684t62dt16202u2du ut6 162044uu2du164u2u2u332016888316831283 Somando I1I2I312832561283256256310243 Logo P18 1024310242412834267 P12834267 Questão 3 Gs Vos Vis 2s 26 s2 6s 13 a Zeros e polos Zero finito 2s 26 0 s 13 Polos s2 6s 13 0 s 6 36 52 2 3 j2 b Resposta ao degrau deslocado Entrada vit 5 u1t 5 ut 1 No domínio s Vis 5 es s Vos Gs Vis 5 es 2s 26 s s2 6s 13 Fazemos frações parciais 2s 26 s s2 6s 13 A s Bs C s2 6s 13 Igualando numeradores 2s 26 A s2 6s 13 Bs C s A B s2 6A C s 13 A Coeficientes A B 0 6A C 2 13 A 26 A 2 B 2 C 10 Assim 2s 26 s s2 6s 13 2 s 2 s 3 s 32 22 4 1 s 32 22 Transformando em tempo t 0 ht 2 2 e3t cos 2 t 2 e3t sin 2 t Multiplicando pela amplitude 5 e aplicando o deslocamento vot 5 ht 1 ut 1 ou seja para t 1 vot 10 10 e3t 1 cos 2t 1 sin 2t 1 e vot 0 para t 1 Questão 4 Hz Yz Xz 3z 1 z 05 yn 05 yn 1 3 xn 1 xn 1 a Condições iniciais y1 0 n 0 y0 05 y1 3 1 1 0 y0 3 n 1 y1 05 y0 0 1 1 y1 1 05 3 25 n 2 y2 05 y1 0 y2 05 25 125 n 3 y3 05 y2 0 y3 05 125 0625 y0 3 y1 25 y2 125 y3 0625 b Para n 1 yn 05 yn 1 3 2 1 2 8 Solução geral yn yp yh yp 05 yp 8 yp 16 yh A 05n Em n 0 y0 3 2 1 0 6 16 A A 10 Logo yn 16 10 05n un c Para xn un y limn yn 3 1 1 1 05 4 05 8 y 8 Questão 5 xn 5 2n n 0 de modo que x0 6 x1 4 x2 3 x3 4 a Transformada Z Xz Σn0 xn zn 5 Σn0 zn Σn0 2n zn 5 1 z1 1 1 2 z1 Multiplicando numerador e denominador por z Xz 5z z 1 z z 2 b Equação em diferenças O denominador comum z 12 z 2 implica raízes r 1 multiplicidade 2 e r 2 A equação homogênea de 3ª ordem é r 12 r 2 0 r3 4 r2 5 r 2 0 e em domínio discreto xn 4 xn 1 5 xn 2 2 xn 3 0 n 3 com condições iniciais x0 6 x1 4 x2 3