Solução do PVI utilizando a Transformada de Laplace

Usando a Transformada de Laplace encontre a solução do PVI fracd2 omegadt2 4 omega gammat omega0 2 omega0 frac13 onde gammat begincases t2 2t 1 t geq 1 0 extcaso contrário endcases 1 Usando a transformada de Laplace encontre a solução do PVI d2ω dt 4ω γt ω0 2 ω0 1 3 Onde γt t2 2t 1 t 1 0 0 t 1 Primeiramente vamos escrever γt em termos de função degrau Gráfico de γt Observe que o tracejado representa a função degrau μ1t μt 1 Assim multiplicando t2 2t 1 𝑡 12 por μ1t temos que d2ω dt2 4ω 𝑡 12μ1t Assim aplicando a Transformada de Laplace temos que ℒωt Ωs ℒ dω dt sΩs ω0 ℒ d2ω dt2 s2Ωs sω0 dω dt 𝑡0 Sabendo que ℒμctft c ecsFs Assim ℒ d2ω dt 4ω ℒt 12μ1t Como a Transformada de Laplace é uma operação linear e ℒαft αℒft temos ℒ d2ω dt 4ℒωt ℒt 12μ1t s2Ωs sω0 dω dt t0 4Ωs 2es s3 Determine a solução do PVI 2 fracd2 ydt2 y ht y0 0 através de uma convolução em que ht begincases 0 0 leq t pi cost t geq pi endcases s2Ωs 2s 1 3 4Ωs 2es s3 s2 4Ωs 2s 1 3 2es s3 s2 4Ωs 2es s3 2s 1 3 Ωs 1 s2 4 2es s3 2s 1 3 Ωs 2es s3s2 4 2s s2 4 1 3 2 2 s2 4 Ωs 2es s3s2 4 2s s2 4 1 6 2 s2 4 Assim se ℒωt Ωs então ωt ℒ1Ωs Assim ωt ℒ1 2es s3s2 4 2s s2 4 1 6 2 s2 4 ℒ1 2es s3s2 4 ℒ1 2s s2 4 1 6 ℒ1 2 s2 4 Note que as segundas e terceiras transformadas são tabeladas Assim ωt ℒ1 2es s3s2 4 2 cos 2t 1 6 sen2t Para calcular a primeira temos que quebrar essa razão funções em frações parciais 2 s3s2 4 A s B s2 C s3 Ds E s2 4 Assim 2 s3s2 4 As2s2 4 Bss2 4 Cs2 4 Ds Es3 s3s2 4 2 s3s2 4 As4 4As2 Bs3 4Bs Cs2 4C Ds4 Es3 s3s2 4 2 As4 4As2 Bs3 4Bs Cs2 4C Ds4 Es3 2 A Ds4 B Es3 4A Cs2 4Bs 4C A D 0 A D D 1 8 B E 0 E 0 4A C 0 A 1 8 4B 0 B 0 4C 2 C 1 2 Assim 2 s3s2 4 1 8 1 s 1 2 1 s3 1 8 s s2 4 Logo ℒ1 2es s3s2 4 ℒ1 1 8 1 s 1 2 1 s3 1 8 s s2 4 es Considere a função gx begincases 1 fracpi2 leq x leq fracpi2 0 pi x fracpi2 extou fracpi2 x leq pi endcases ℒ1 2es s3s2 4 ℒ1 1 8 1 s 1 4 2 s3 1 8 s s2 4 es Assim ℒ1 2es s3s2 4 1 8 1 4 t 12 1 8 cos 2t 1 μ1t Logo finalmente 𝛚𝐭 𝟏 𝟖 𝟏 𝟒 𝐭 𝟏𝟐 𝟏 𝟖 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐭 𝟏 𝛍𝟏𝐭 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐭 𝟏 𝟔 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝐭 2 Determine a solução do PVI 2 dy dt y ht y0 0 Através de uma convolução em que ht 0 0 t π cos t t π Aplicando a Transformada de Laplace temos ℒ 2 dy dt y ht ℒ 2 dy dt y ℒht ℒ 2 dy dt ℒy ℒht 2ℒ dy dt ℒy ℒht 2sYs Ys htestdt 0 2s 1Ys est cos t dt π est sen tπ 1 s est sen t dt π 2s 1Ys est cos t dt π est sen tπ 1 s est costπ 1 𝑠 est cost dt π 2s 1Ys est cos t dt π est sen tπ est cos tπ 𝑠 1 𝑠2 est cos t dt π est cos t dt π 1 𝑠2 est cos t dt π est sen tπ est costπ 𝑠 1 1 𝑠2 est cos t dt π est sen tπ est cos tπ 𝑠 1 1 𝑠2 est cos t dt π lim 𝑏 esb sen b esπ sen π lim 𝑏 esb cos b esπ cos π 𝑠 sen π 0 cos π 1 1 1 𝑠2 est cos t dt π lim 𝑏 esb sen b lim 𝑏 esb cos b esπ 𝑠 Lembrando que esb para b0 tende a 0 com seno e cosseno funções limitadas temos que lim b esb sen b 0 lim b esb cosb 0 s2 1 s2 est cos t dt π esπ s est cos t dt π s2 s2 1 esπ s s s2 1 esπ Assim Ys2s 1 s s2 1 esπ Ys 1 2 1 s 1 2 s s2 1 esπ Assim a solução y é dada pela transformada inversa Assim yt ℒ1 1 2 1 s 1 2 s s2 1 esπ 1 2 ℒ1 1 s 1 2 s s2 1 esπ E do teorema da convolução para uma função Fs Gs temos que ℒ1Fs Gs fτgt τdτ t 0 ft τgτdτ t 0 ft gt Logo ℒ1 1 s 1 2 et 2 ℒ1 s s2 1 esπ μπt cost π μπt cost cost π cos t cos π sent senπ cost Assim 𝐲𝐭 𝐞𝐭𝛕 𝟐 𝛍𝛑𝛕 𝐜𝐨𝐬 𝛕 𝐝𝛕 𝐭 𝟎 3 Considere a função gx 1 x π 2 0 π x π 2 ou π 2 x π a Mostre que a função g é seccionalmente contínua Gráfico Pelo gráfico está claro que a função é seccionalmente contínua mas analiticamente para uma função ser seccionalmente contínua temos que gx tem que ser continua em cada subterralo e limites finitos nas suas fronteiras de descontinuidade Assim lim xπ 2 gx 0 lim xπ 2 gx 1 lim xπ 2 gx 1 lim xπ 2 gx 0 Assim gx é seccionalmente contínua b Considerando a função g periódica com período 2π determine a sua série de Fourier A série de Fourier de uma função é dada por gx a0 2 an cosnπ L x bn sen nπ L x n1 onde a0 1 L gxdx L L 1 π gxdx π π 1 π dx π 2 π 2 1 π x π 2 π 2 1 π π 2 π 2 1 an 1 L gx cos nπ L x L L dx 1 π gx cosnx π π dx 1 π cos nx π 2 π 2 dx 1 π sen nx n π 2 π 2 1 π sen n π 2 n sen n π 2 n Sabendo que sen a sen a temos an 2 sen nπ 2 nπ Onde sen nπ 2 0 n 2k 1n n 2k 1 Assim ak 21k 2k 1π bn 1 L gx sen nπ L x dx L L 1 π gx sen nx dx π π 1 π sen nx dx π 2 π 2 1 π cosnx n π 2 π 2 1 π cos n π 2 n cos n π 2 n Sabendo que cosa cos a temos bn 1 L gx sen nπ L x dx L L 1 π cosn π 2 n cos n π 2 n 0 Assim a série de Fourier de g é dada por 𝐠𝐱 𝟏 𝟐 𝟐 𝛑 𝟏𝐤 𝟐𝐤 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐤 𝟏𝐱 𝐤𝟏 c Com a série encontrada no item b fazendo x 0 calcule o valor da série 1m 2m 1 m1 Como x 0 está definida na função temos que g0 1 1 2 2 π 1k 2k 1 cos 0 k1 1 1 2 2 π 1k 2k 1π k1 1 2 π 2 1k 2k 1π k1 𝟏𝐤 𝟐𝐤 𝟏 𝐤𝟏 𝛑 𝟒 A única diferença é que eu usei k e o exercício m Ta aí xD