Processamento de Sinais

4 25 pontos Para a resposta em frequência abaixo responda os seguinte itens a 10 ponto Calcule a resposta ao impulso ideal hn do filtro b 10 ponto Projete um filtro FIR de sexta ordem utilizando uma janela de Hamming c 05 ponto Forneça uma realização com número mínimo de atrasos e multiplicadores 2 25 pontos Utilizando apenas blocos componentes básicos projete um filtro que aproxime a reposta em frequência da figura abaixo com f1 2000 Hz f2 2500 Hz f3 5000 Hz f4 8000 Hz f5 12000 Hz fs 50000 Hz Projeto de Filtro Digital com Trˆes Bandas de Passagem 20 de fevereiro de 2025 1 Introducao A abordagem consiste em utilizar apenas filtros passabaixa LPF e operacoes aritmeticas subtracao e soma para compor Dois filtros passafaixa BPF cada um obtido pela diferenca de dois LPFs Um filtro passaalta HPF obtido por 1 LPF A soma desses trˆes blocos fornece a resposta em frequˆencia desejada que passa Uma primeira banda entre 2000 Hz e 2500 Hz Uma segunda banda entre 5000 Hz e 8000 Hz Uma terceira banda para frequˆencias acima de 12000 Hz 2 Conceitos Basicos e Estrategia de Projeto 21 Utilizando Filtros PassaBaixa LPF Para construir filtros com caracterısticas mais complexas podemos usar filtros LPF basicos como blocos de construcao Os conceitos utilizados sao Filtro PassaFaixa BPF Sejam dois LPFs com frequˆencias de corte fL e fH com fL fH A diferenca entre as respostas desses filtros gera um passafaixa BPFfL fH LPFfH LPFfL Observacoes Para f fL ambos os LPFs passam a frequˆencia logo a subtracao resulta em zero Para fL f fH o LPF com corte em fH passa a frequˆencia enquanto o de fL ja a atenua produzindo uma saıda nao nula Para f fH ambos atenuam resultando novamente em uma saıda proxima de zero 1 Filtro PassaAlta HPF Utilizando o complemento do LPF temos HPFfc 1 LPFfc Ou seja para frequências muito abaixo de fc o LPF tem ganho unitário e o HPF anula essa contribuição para f maiores que fc o LPF zera e o HPF fornece ganho unitário 22 Aplicação às Bandas de Interesse Definindo as seguintes frequências f1 2000 Hz e f2 2500 Hz para a Banda 1 f3 5000 Hz e f4 8000 Hz para a Banda 2 f5 12000 Hz para a Banda 3 passa frequências acima de f5 Os filtros serão montados da seguinte forma BPF1 LPFf2 LPFf1 BPF2 LPFf4 LPFf3 HPF 1 LPFf5 A resposta final é dada por Hfinalz BPF1z BPF2z HPFz 3 Funções de Transferência dos Filtros Cada filtro FIR é caracterizado por seus coeficientes hn e sua função de transferência é dada por Hz Σ n0 até N hn zn Para um LPF com frequência de corte fc denotamos HLPFz fc Σ n0 até N hLPFn fc zn 31 Filtros PassaFaixa BPF Utilizando dois LPFs com cortes fL e fH com fL fH a função de transferência do filtro passafaixa é HBPFz fL fH HLPFz fH HLPFz fL Aplicando para as bandas Banda 1 2000 a 2500 Hz HBPF1z HLPFz 2500 HLPFz 2000 Banda 2 5000 a 8000 Hz HBPF2z HLPFz 8000 HLPFz 5000 32 Filtro PassaAlta HPF Para frequências acima de f512000 Hz o HPF é obtido por HHPFz1HLPFz12000 33 Filtro Final A função de transferência total é a soma dos blocos HfinalzHBPF1zHBPF2zHHPFz HLPFz2500HLPFz2000 HLPFz8000HLPFz5000 1HLPFz12000 4 Projeto dos Filtros Básicos LPF Utilizaremos filtros FIR projetados por janelamento janela de Hamming utilizando a função fir1 do MATLAB 41 Frequência de Corte Normalizada Se fs é a frequência de amostragem e fc a frequência de corte desejada a frequência normalizada é ωc fc fs2 2 fc fs No MATLAB ωc deve estar entre 0 e 1 onde 1 equivale a π radamostra 42 Projeto do LPF com fir1 Um exemplo de código para um LPF de ordem N é 1 N 100 Ordem do filtro 2 wc fcfs2 Frequência de corte normalizada 3 blpf alpf fir1N wc low hammingN1 Listing 1 Projeto de um LPF com ordem N Como o filtro é FIR os coeficientes de retroalimentação são alpf 1 5 Montagem dos Filtros Compostos 51 PassaFaixa BPF Para cada banda passafaixa definimos hbpfn hlpffHn hlpffLn Assim para as duas bandas BPF1 de 2000 Hz a 2500 Hz hbpf1n hlpf2500n hlpf2000n BPF2 de 5000 Hz a 8000 Hz hbpf2n hlpf8000n hlpf5000n 52 PassaAlta HPF O filtro passaalta e obtido por hhpfn δn hlpf12000n onde δn e o impulso unitario Em um filtro FIR de tamanho N 1 o vetor impulso possui o valor 1 na posicao central e zeros nas demais posicoes 53 Filtro Final A resposta final do filtro e a soma dos trˆes blocos hfinaln hbpf1n hbpf2n hhpfn 6 Exemplo Completo em MATLAB A seguir um codigo completo que implementa o projeto 1 Projeto de filtro com t r s bandas de passagem 2 clear close all clc 3 4 1 E s p e c i f i c a e s 5 fs 50000 F r e q u n c i a de amostragem Hz 6 f1 2000 f2 2500 Banda 1 2000 Hz a 2500 Hz 7 f3 5000 f4 8000 Banda 2 5000 Hz a 8000 Hz 8 f5 12000 Banda 3 F r e q u n c i a s 12000 Hz 9 10 N1 100 Ordem do filtro FIR 11 12 C l c u l o das f r e q u n c i a s normalizadas 0 a 1 13 wc1 f1fs2 14 wc2 f2fs2 15 wc3 f3fs2 16 wc4 f4fs2 17 wc5 f5fs2 18 19 2 Projeto dos LPFs usando a f u n o fir1 com janela de Hamming 20 hlpf1 fir1N1 wc1 low hammingN11 21 hlpf2 fir1N1 wc2 low hammingN11 22 hlpf3 fir1N1 wc3 low hammingN11 23 hlpf4 fir1N1 wc4 low hammingN11 24 hlpf5 fir1N1 wc5 low hammingN11 25 26 3 Montagem dos Filtros Compostos 27 Passa faixa 1 2000 a 2500 Hz 28 hbpf1 hlpf2 hlpf1 29 30 Passa faixa 2 5000 a 8000 Hz 4 31 hbpf2 hlpf4 hlpf3 32 33 Passa alta 12000 Hz 34 delta zeros1 N11 35 midindex floor N11 2 1 ndice central do filtro FIR 36 deltamidindex 1 37 hhpf5 delta hlpf5 38 39 4 Filtro Final Soma dos t r s blocos 40 hfinal hbpf1 hbpf2 hhpf5 41 42 5 C l c u l o das Respostas em F r e q u n c i a 43 Nfreq 2048 44 Hbpf1 w freqzhbpf1 1 Nfreq fs 45 Hbpf2 freqzhbpf2 1 Nfreq fs 46 Hhpf5 freqzhhpf5 1 Nfreq fs 47 Hfinal w freqzhfinal 1 Nfreq fs 48 49 6 Plot da Resposta em F r e q u n c i a Escala Linear 50 figure 51 subplot 211 52 plotw absHbpf1 b LineWidth 12 hold on 53 plotw absHbpf2 r LineWidth 12 54 plotw absHhpf5 g LineWidth 12 55 xlabel F r e q u n c i a Hz 56 ylabelMagnitude 57 titleFiltros Auxiliares Escala Linear 58 legendBPF1 2000 2500 Hz BPF2 5000 8000 Hz HPF 12000 Hz 59 grid on 60 61 subplot 212 62 plotw absHfinal k LineWidth 15 63 xlabel F r e q u n c i a Hz 64 ylabelMagnitude 65 titleFiltro Final Escala Linear 66 grid on 67 68 7 Plot da Resposta em F r e q u n c i a Escala dB 69 figure 70 subplot 211 71 plotw 20 log10absHbpf11e 12 b LineWidth 12 hold on 72 plotw 20 log10absHbpf21e 12 r LineWidth 12 73 plotw 20 log10absHhpf51e 12 g LineWidth 12 74 xlabel F r e q u n c i a Hz 75 ylabelMagnitude dB 76 titleFiltros Auxiliares Escala dB 77 legendBPF1 2000 2500 Hz BPF2 5000 8000 Hz HPF 12000 Hz 78 grid on 79 80 subplot 212 81 plotw 20 log10absHfinal1e 12 k LineWidth 15 82 xlabel F r e q u n c i a Hz 83 ylabelMagnitude dB 84 titleFiltro Final Escala dB 85 grid on Listing 2 Codigo MATLAB para o projeto do filtro 5 7 Conclusao Utilizando a decomposicao do filtro em blocos basicos foi possıvel projetar um filtro com trˆes bandas de passagem A BPF e obtida pela subtracao de dois LPFs com diferentes frequˆencias de corte O HPF e obtido subtraindo um LPF de um bloco unitario impulso A resposta final e a soma dos trˆes blocos permitindo que as frequˆencias desejadas sejam passadas enquanto as demais sao atenuadas 6 1 Resposta em frequência desejada e cálculo analítico de hidealn A figura mostra que a magnitude desejada Hdejω é Hdω 4ωπ 0 ω π4 1 π4 ω 3π4 4π ωπ 3π4 ω π 0 caso contrário Pressupõese que o filtro seja real e par no tempo ou seja fase linear Assim a resposta ao impulso ideal hidealn corresponde à Transformada Inversa de Fourier hidealn 12π ππ Hdω ejωn dω 1π 0π Hdω cosωn dω onde usamos o fato de Hdω ser par e real Portanto hidealn 1π 0π4 4ωπ cosωn dω π43π4 cosωn dω 3π4π 4πωπ cosωn dω 11 Forma integral ou numérica Em muitos projetos de filtro FIR basta mostrar numericamente essa integral ou usar métodos de janelamento diretamente no domínio da frequência Contudo se quisermos uma expressão analítica fechada podemos resolver cada integral Dividindo em termos hidealn 1π 0π4 4π ω cosnω dω I1 π43π4 cosnω dω I2 4π 3π4π π ω cosnω dω I3 A integral de ω cosnω pode ser feita por partes x cosax dx x sinaxa cosaxa2 const Para I1 de 0 até π4 I1 4π 0π4 ω cosnω dω 4π ω sinnωn cosnωn2 0π4 4π π4 sinnπ4 n cosnπ4 1n2 onde o termo final advém da subtração de cosnωn2 em 0 Simplificando chegamos a I1 4π sinnπ4 nπ4 n cosnπ4 1n2 Para I2 π43π4 cosnω dω a integral de cosnω é sinnωn Portanto I2 1n sin3πn4 sinnπ4 Para I3 fazse a mudança de variável ω π u aproveitando que cosnπ u cosnπ cosnu e usando cosnπ 1n No fim obtémse I3 4π 1n 0π4 u cosnu du 4π 1n u sinnun cosnu 1n2 0π4 Somando I1 I2 I3 e multiplicando por 1π chegase a um resultado fechado porém com termos que dependem de 1n Em suma para n 0 hidealn 1π I1 I2 I3 1π 4π I0n 4π 1n I0n I2 onde I0n π4 sinnπ4n cosnπ4 1n2 I2 1n sin3πn4 sinnπ4 Para n 0 devese avaliar diretamente a integral hideal0 1π 0π4 4ωπ dω π43π4 1 dω 3π4π 4πωπ dω 1π π8 π2 π8 34 Conclusão hideal0 34 hidealn expressão acima n 0 34 n 0 Naturalmente em implementações FIR usualmente truncamos e janelamos hidealn b Projeto de um FIR ordem 6 usando janela de Hamming cálculo na mão Para projetar um FIR de ordem M 6 isto é 7 coeficientes a partir de hidealn fazse 1 Escolher um recorte de M2 até M2 no impulso ideal 2 Multiplicar ponto a ponto por uma janela ex Hamming para suavizar as bordas e reduzir os lóbulos de ripples 3 Deslocar se preciso para obter um filtro causal com índices de 0 a M Passo 1 valores de hidealn em torno de zero Para M 6 temos M 1 7 amostras O centro fica em n 0 Assim definimos índices 3 2 1 0 1 2 3 Sabemos que hideal0 075 Para 1 e 3 as integrais dão valor zero por simetrias pois os termos se cancelam De fato podese mostrar que hideal1 0 e hideal3 0 Para 2 obtémse um valor negativo cerca de 02026 Explicitamente via integração peça a peça ou fórmulas já deduzidas resulta hideal3 0 hideal2 02026 hideal1 0 hideal0 075 hideal1 0 hideal2 02026 Como hidealn é par simétrico basta calcular para n 0 e espelhar para n 0 Passo 2 Multiplicação por Janela de Hamming A janela de Hamming de comprimento 7 M 1 7 é wk 054 046 cos2πkM k 0 6 ou seja M 6 no denominador Para cada k definimos o coeficiente bk como bk hidealk 3 wk Isto é estamos centrando a janela de modo que o índice zero do impulso ideal coincida com k 3 A tabela a seguir ilustra o cálculo k n k 3 hidealn wk Hamming bk 0 3 0 008 0 008 0 1 2 02026 031 0063 2 1 0 077 0 3 0 075 100 075 4 1 0 077 0 5 2 02026 031 0063 6 3 0 008 0 Logo o vetor de coeficientes do FIR ordem 6 fica b 0 0063 0 075 0 0063 0 Passo 3 Forma Causal Em muitos softwares como MATLAB já se rotula b0 como o termo que multiplica xn b1 como xn 1 etc Então nosso FIR é yn Σk06 bk xn k Ou seja yn 075 xn 3 0063 xn 1 0063 xn 5 Notar que b2 0 e b4 0 etc c Realização com número mínimo de atrasos e multiplicadores Observando os valores acima b0 b6 0 b1 b5 0063 b2 b4 0 b3 075 Isso mostra que apenas dois coeficientes são não nulos b1 0063 que aparece duas vezes e b3 075 Portanto yn 0063 xn 1 xn 5 075 xn 3 Para implementar com menos hardware em DSP ou em bloco de somasmultiplicadores basta usar 5 atrasos em série para chegar até xn 5 a mesma constante 0063 multiplicando xn 1 e xn 5 e somando outro multiplicador com 075 para xn 3 Isso efetivamente usa 2 multiplicadores e 5 atrasos É a forma FIR de fase linear mínima em termos de multiplicadores Comentário sobre ordens maiores Para ordens maiores M 50 80 100 200 etc fazer tudo na mão isto é calcular cada amostra de hidealn e multiplicar por cada valor da janela tornase inviável O procedimento contudo é exatamente o mesmo 1 Definir n M 2 M 2 2 Calcular hidealn por aproximação numérica ou expressões 3 Multiplicar por wHammingn 4 Reposicionar índices se quiser algo causal de 0 até M No MATLAB funções como fir2 e fir1 ou mesmo firpm encapsulam essa lógica internamente fazem as amostragens e a inversa de Fourier numérica facilitando muito Código MATLAB completo para M 50 80 100 200 Segue um script que 1 Gera a curva trapezoidal de 0 a π 2 Usa fir2M freqnorm magnitude window com janela de Hamming 3 Plota Hejω em escala linear e em dB 1 2 Projeto de f i l t r o FIR trapezoidal via janela de Hamming f i r 2 3 4 c l e a r c l c c l o s e a l l 5 6 Escolha de ordens poderia i n c l u i r 6 tamb m mas aqui iremos maiores 7 Mvalues 50 80 100 2 0 0 8 9 Grelha de f r e q u n c i a s para e s p e c i f i c a r Hdomega 5 10 L 1000 N mero de pontos 11 wgrid linspace 0 pi L F r e q u n c i a s de 0 a pi 12 Hdes zeros 1 L 13 14 Monta a curva trapezoidal 15 f o r i 1L 16 w wgrid i 17 i f w pi 4 18 Hdes i 4w pi Sobe l i n e a r de 0 a 1 19 e l s e i f w 3 pi 4 20 Hdes i 1 Trecho plano 21 e l s e 22 Hdes i 4 pi w pi Desce de 1 a 0 23 end 24 end 25 26 N o r m a l i z a o 01 para uso em f i r 2 27 freqnorm wgrid pi 28 29 f o r M Mvalues 30 31 Janela de Hamming de tamanho M1 32 wHamming hammingM1 33 34 Projeto FIR pelo m t o d o freq sampling janela 35 b f i r 2 M freqnorm Hdes wHamming 36 37 Resposta em f r e q u n c i a de 0 a 2 pi usamos whole 38 mas s plotamos de 0 a pi 39 Hfreq wplot freqz b 1 1024 whole 40 Hfreq Hfreq 1512 41 wplot wplot 1512 42 43 Plot escala l i n e a r 44 f i g u r e 45 subplot 2 1 1 46 plot wplot abs Hfreq LineWidth 12 47 grid on 48 xlabel omega radamostra I n t e r p r e t e r latex 49 ylabel H e j omega I n t e r p r e t e r latex 50 t i t l e F i l t r o FIR trapezoidal Ordem M num2str M Hamming I n t e r p r e t e r latex 51 52 Plot escala dB 53 subplot 2 1 2 54 plot wplot 20 log10 abs Hfreq 1e12 LineWidth 12 55 grid on 56 xlabel omega radamostra I n t e r p r e t e r latex 57 ylabel Magnitude dB I n t e r p r e t e r latex 58 end Listing 1 Script MATLAB para projeto FIR trapezoidal via janela de Hamming 6