Lista de Dinâmica P2

A engrenagem mostrada com 80mm de raio possui uma massa de 5kg e um raio de giração centroidal de 70mm A barra de 6kg de massa AB está conectada ao centro da engrenagem e a um pino em B que desliza livremente numa fenda vertical Sabendo que o sistema é liberado a partir do repouso quando θ60 graus determine a velocidade do centro da engrenagem quando θ30 graus Exercícios de Dinâmica Exercício 1 Massa da engrenagem mengrenagem5 kg Raio da engrenagem R008m Raio de giro da engrenagem k007m Massa da barra AB mbarra6 kg Comprimento da barra AB L032m Gravidade g981 ms² Cálculo da altura dos centros de massa Altura inicial do centro de massa da barra L2 x sen60 01386m θ 60 Altura final do centro de massa da barra L2 x sen30 008m θ 30 Variação de altura 01386 008 00586m Altura inicial da engrenagem 008 x sen60 0693m θ 60 Altura final da engrenagem 008 x sen30 004m θ 30 Variação da altura 00693 004 00293m Cálculo da Energia Potencial Gravitacional Energia potencial inicial do sistema Epinicial mengrenagem x g x hengrenagem inicial mbarra x g x hbarra inicial Ep inicial 5 x 981 x 00693 6 x 981 x 01386 1156J Energia potencial final do sistema Epfinal mengrenagem x g x hengrenagem final mbarra x g x hbarra final Ep final 5 x 981 x 004 6 x 981 x 008 667J Variação de energia potencial 1156J 667J 489J Cálculo da Energia Cinética e Conservação da Energia Energia cinética translacional da engrenagem Ectranslacional m x v²cm2 5 x v²cm 2 25v²cm Energia cinética rotacional da engrenagem Ec rotacional ½ mengrenagem x k² x vcmR² Ec rotacional ½ x 5 x 007² x vcm008² Ec rotacional 01225 x v²cm00064 1914v²cm Cálculo da Conservação de Energia Ep Ec translacional Ec rotacional 489 25v²cm 1914v²cm 489 2164v²cm v²cm 4892164 0226 A barra ABC possui uma massa de 20kg e está conectada a um pino em B Uma esfera D com massa de 1kg colide com a barra ABC no ponto A com uma velocidade vertical v1 de 5 ms Sabendo que L 1000mm e que o coeficiente de restituição entre a esfera e a barra vale 08 determine imediatamente após o impacto a a velocidade angular do membro ABC b a velocidade da esfera vcm 0475ms 0 226 Resposta A velocidade do centro da engrenagem quando é de 0475 ms θ 30 Exercício 2 Massa da barra mbarra 2kg Massa da esfera mesfera 1 kg Velocidade inicial da esfera 15 ms υ Comprimento total da barra L1 m Distância AB L4 025m Coeficiente de restituição e08e Momento de inércia da barra em relação a B 𝐼𝐵 ⅔ kg m² Cálculo da conservação do momento angular 𝑚 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 υ 1 𝐿 4 𝐼𝐵 ω 𝑚 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 υ 2 𝐿 4 ⅔ 1 5 0 25 ω 1 υ 2 0 25 1 25 ⅔ ω 0 25 υ 2 15 8 ω 3 υ 2 Cálculo do coeficiente de restituição 𝑒 υ 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐴 υ 2 υ 1 υ 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐴 08 ω 0 25 υ 2 5 ω 0 25 0 8 5 ω 0 25 ω 0 25 υ 2 4 0 2 ω ω 0 25 υ 2 4 0 45 ω υ 2 Cálculo do sistema de equações 1 equação 15 8 ω 3 υ 2 2 equação 4 0 45 ω υ 2 substitui na 1 equação υ 2 0 45 ω 4 15 8 ω 3 0 45 ω 4 15 8 ω 1 35 ω 12 15 12 9 35 ω 27 9 35 ω 289 rads ω 27 9 35 υ 2 0 45 𝑥 2 89 4 υ 2 2 7 𝑚 𝑠 O virabrequim com massa de 12kg mostrado na figura ao lado possui seção reta uniforme e gira no instante mostrado com uma velocidade angular constante ω15radsi e com aceleração angular α225rads²i quando um torque Mo é aplicado ao mesmo Sabendo que a determine a o torque Mo e b as reações em A e B Resposta Velocidade angular da barra após a colisão ω 289 rads Velocidade da esfera após a colisão 2 27 ms υ Exercício 3 Cálculo do torque M0 Fórmula 𝑀 0 𝐼𝑥 α 𝐼𝑥 momento de inércia em relação ao eixo 𝑥 225 rads² aceleração angular α 12 kg massa total 𝑚 02m distância do centro de massa 𝑟 𝐼𝑥 𝑚 𝑟 ² 𝐼𝑥 12 𝑘𝑔 0 2 𝑚 ² 0 48 𝑘𝑔 𝑚 ² 𝑀 0 0 48 𝑘𝑔 𝑚 ² 225 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ² 108 𝑁 𝑚 Cálculo da reações de apoio em A e B Equilíbrio em x 𝐹𝑥 0 Equilíbrio em y 𝐹𝑦 𝐴𝑦 𝐵𝑦 𝑚 𝑎𝑦 𝑎𝑦 𝑟 α 𝑎𝑦 0 2 225 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ² 45 𝑚 𝑠 ² 𝐹𝑦 12 𝑘𝑔 45 𝑚 𝑠 ² 540 𝑁 𝐴𝑦 𝐵𝑦 5402 270 𝑁 Equilíbrio em z 𝑃 𝑚 𝑔 12 𝑘𝑔 9 81 𝑚 𝑠 ² 117 72 𝑁 𝐴𝑧 𝐵𝑧 117 722 58 86 𝑁 Cálculo de equilíbrio de momento em x 𝑀 0 𝐼𝑥 α 0 48 𝑘𝑔 𝑚 ² 225 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ² 108 𝑁 𝑚 𝑀𝐴 𝑀𝐵 𝑀 02 1082 54 𝑁 𝑚 Resposta Torque 𝑀 0 108 𝑁 𝑚 Reações em A e B AyBy 270N AzBz 5886N e MAMB 54N Exercício 4 Velocidade angular θ 100 𝑠 1 Massa da esfera m 1kg Calcule as reações nos mancais O e A considerando que as esferas possuem massa m e diâmetro desprezível a distância entre os mancais A e O vale 3b o eixo OA gira com velocidade constante Adotar m1kg T 100 s¹ b1m Distância entre os mancais OA 3b 3m Distância das esferas em relação ao eixo b 1m Cálculo da força centrífuga 𝐹𝑐 𝑚 𝑟 θ ² 𝐹𝑐 1 1 100 ² 10 000 𝑁 Cálculo de equilíbrio de forças 𝐹 𝑥 0 𝐹 𝑦 0 𝑀 0 Equilíbrio em x 𝑅 𝑂𝑥 𝑅 𝐴𝑥 𝐹 𝑐 2 10 0002 5 000 𝑁 Equilíbrio em y Como o sistema é simétrico sem forças atuando em y logo não há reações nos mancais y Resposta Reação no mancal O 5000N na direção x 𝑅 𝑂 Reação no mancal A 5000N na direção x 𝑅 𝐴 Exercício 5 Massa da barra ABC M 24kg Massa da esfera D 08kg Velocidade vertical da esfera antes da colisão 3ms υ 1 Coeficiente de restituição 05 𝑒 Comprimento da barra L 075m Cálculo momento angular 𝐿 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑚 υ 1 𝐿 4 0 8 3 0 1875 0 45 𝑘𝑔 𝑚 ² 𝑠 Cálculo do momento de inércia 𝐼 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 13 𝑀 𝐿 2 13 2 4 0 75² 0 45 𝑘𝑔 𝑚 ² 𝑠 Velocidade da barra após a colisão 𝐿 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑎𝑝 ó 𝑠 𝐿 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐼 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 ω ω 𝐿 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐼 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 0 45 0 45 1 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Cálculo da energia cinética rotacional da barra 𝐾 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 12 𝐼 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 ω ² 12 0 45 1² 0 225 𝐽 Cálculo da altura máxima no ponto C A barra ABC tem uma massa M 24kg e está ligada ao pino B Uma esfera D com massa m800g colide no ponto A da barra ABC com uma velocidade vertical v1 3 ms Sabendo que L750mm e que o coeficiente de restituição entre a esfera e a barra vale e 05 determine a maior altura atingida pelo ponto C 𝑈 𝑚𝑎𝑥 𝑀 𝑔 ℎ 𝑚𝑎𝑥 0 225 2 4 9 81 ℎ 𝑚𝑎𝑥 𝐿 2 ℎ 𝑚𝑎𝑥 0 225 2 4 9 81 0 375 0 025 𝑚 Resposta A altura atingida pelo ponto C é de 0025m 25 cm Exercício 6 Período T 3s gravidade g 981 Cálculo do comprimento L 𝐿 𝑇 ² 𝑔 4 π ² 𝐿 3 0 ² 9 81 4 3 1416 ² 𝐿 88 29 39 4784 2 24 Cálculo do ângulo θ 𝑐 sen θ 𝑐 𝑑 𝐿 sen θ 𝑐 0 5 2 24 0 2232 θ 𝑐 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 0 2232 12 92 Respostas Comprimento do cabo do pêndulo 224m Ângulo máximo que o pêndulo atinge 1292 θ 𝑐 Exercício 7 Massa do vaso 𝑚 υ 40 𝑘𝑔 Massa do carro 𝑚 𝑐 100 𝑘𝑔 Diâmetro da base do vaso d 02m Altura do centro de gravidade do vaso h 06m Coeficiente de atrito estático entre o vaso e o carro µ 𝑠 0 4 Coeficiente de atrito de rolamento entre o carro e o solo µ 0 1 Aceleração da gravidade g 981 ms² Cálculo da força de atrito estático máxima 𝐹 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 µ 𝑠 𝑚 υ 𝑔 Um pêndulo com um cabo de comprimento L m é liberado a partir do repouso quando θA5 graus Sabendo que d05m e que o período da oscilação é de 30s três segundos determine a o comprimento L e b o valor do ângulo máximo θC 𝐹 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 0 4 40 𝑘𝑔 9 81 𝑚 𝑠 ² 𝐹 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 156 96 𝑁 Cálculo do momento resistivo 𝑀 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚 υ 𝑔 𝑑 2 𝑀 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑜 40 𝑘𝑔 9 81 𝑚 𝑠 ² 0 2 𝑚 2 𝑀 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑜 39 24 𝑁 𝑚 Cálculo da força para tombar 𝐹 ℎ 𝑀 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐹 𝑀 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑜 ℎ 39 24 𝑁 𝑚 0 6 𝑚 Resposta A força máxima que pode ser aplicada sem que o vaso tombe é 654N A força de atrito estático máxima para evitar o deslizamento é 15696N Logo o vaso tombará antes de deslizar Exercício 8 Massa adicional m 25kg Distância da massa ao eixo R 6m Período de oscilação T 76s Cálculo do momento de inércia 𝐼 𝑚 𝑅 ² 𝐼 25 𝑘𝑔 6 𝑚 ² 𝐼 900 𝑘𝑔 𝑚 ² Cálculo da constante restauradora k 𝑇 2 π 𝐼 𝑘 𝑇 ² 2 π ² 𝐼 𝑘 𝑘 2 π ² 𝐼 𝑇 ² 𝑘 2 π ² 900 7 6 ² 𝑘 615 14 𝑁 𝑚 𝑟𝑎𝑑 Cálculo da energia potencial máxima θ 5 0 0873 𝑟𝑎𝑑 𝐸 𝑝𝑜𝑡 𝑚 𝑔 𝑅 1 𝑐𝑜𝑠 θ 𝐸 𝑝𝑜𝑡 25 9 81 6 1 𝑐𝑜𝑠 0 0873 Um vaso com massa de 40kg possui uma base com diâmetro de 200mm e é transportado usandose um carro com massa de 100kg como mostrado O carro possui um atrito de rolamento μ01 com o solo Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre o vaso e o carro é de μs04 determine a máxima força F que pode ser aplicada de tal forma que o vaso a Não deslize e b Não tombe Determinando qual dos dois ocorrerá 𝐸 𝑝𝑜𝑡 25 9 81 6 1 0 9962 𝐸 𝑝𝑜𝑡 5 59 𝐽 Cálculo da máxima velocidade angular 𝐸 𝑐𝑖𝑛 1 2 𝐼 ω 𝑚𝑎𝑥 2 1 2 𝐼 ω 𝑚𝑎𝑥 2 𝐸 𝑝𝑜𝑡 ω 𝑚𝑎𝑥 2 𝐸 𝑝𝑜𝑡 𝐼 ω 𝑚𝑎𝑥 2 5 59 900 ω 𝑚𝑎𝑥 0 01242 ω 𝑚𝑎𝑥 0 1115 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Cálculo da aceleração angular máxima τ 𝑚 𝑔 𝑅 𝑠𝑒𝑛 θ τ 25 9 81 6 𝑠𝑒𝑛 0 0872 τ 128 3 𝑁 𝑚 α 𝑚𝑎𝑥 τ 𝐼 α 𝑚𝑎𝑥 128 3 900 α 𝑚𝑎𝑥 0 1425 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ² Repostas O momento de inércia é I 900 kg 𝑚 ² A constante restauradora é k 61514 N mrad A máxima velocidade angular é 01115 rads ω 𝑚𝑎𝑥 A aceleração angular máxima é 01425 rads² α 𝑚𝑎𝑥 Exercício 9 Massa da partícula m 1kg Distância excêntrica R 01m Velocidade angular 10056 rads ω 959 931 𝑅𝑃𝑀 Cálculo de forças centrífugas 𝐹 𝑚 𝑅 ω ² 𝐹 1 0 1 100 56 ² 𝐹 1011 25 𝑁 Na turbina eólica de três pás acrescentouse uma pequena massa adicional de 25kg numa pá a uma distância R de 6 metros do centro O Impondose nesta pá um pequeno deslocamento de 5 graus a partir da vertical e liberandoa em seguida constatase que o sistema oscila com um período de 76 s Determine o momento de inércia centroidal do conjunto rotor e pás Determine a máxima velocidade e a que a massa estará submetida 𝐹 𝐴𝑦 𝐹 𝐵𝑦 1011 25 2 505 625 𝑁 Reposta Na direção x não há componente de força centrífuga Na direção y 𝐹 𝐴𝑦 𝐹 𝐵𝑦 505 625 𝑁 Exercício 10 Massa da barra 𝑚 𝐵 0 8 𝑘𝑔 Massa do disco 𝑚 𝐷 1 2 𝑘𝑔 Raio do risco r 025m Constante da mola k 12Nm Altura da barra h 06m Cálculo do momento de inércia 𝐼 𝐷 𝐼 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑚 𝑑 𝑟 ² 1 2 𝑚 𝐷 𝑟 ² 𝑚 𝐷 𝑟 ² 3 2 𝑚 𝐷 𝑟 ² 𝐼 𝐷 3 2 1 2 0 25 ² 0 1125 𝑘𝑔 𝑚 ² Equação de movimento total 𝑚 𝐷 𝑟 ² 𝐼 𝐷 𝐼 𝐷 𝑚 𝐵 ℎ ² θ 𝑘𝑟 ² θ 0 1 2 0 25² 0 1125 0 8 0 6 ² θ 12 0 25 ² θ 0 0075 01125 0288 0750 0 θ θ 04755 0750 0 θ θ Cálculo frequência natural ω 𝑛 𝐾 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 ω 𝑛 0 75 0 4755 1 26 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Cálculo período natural 𝑇 𝑛 2 π ω 𝑛 𝑇 𝑛 2 π 1 26 4 99 𝑠 Resposta O período natural do sistema é de 499s O eixo esbelto porta duas partículas excêntricas cada uma com massa m e gira em torno do eixo z com velocidade constante como indicado Determine as forças componentes nas direções x e y das reações nos mancais A e B devido ao desbalanceamento dinâmico na posição mostrada m1kg R01m L03m T 959931 RPM Uma barra com massa de 800g está fixada num disco com massa de 12kg Uma mola com constante elástica k 12 Nm está conectada ao centro do disco em A e à parede em C Sabendo que o disco rola sem deslizar determine o período natural do sistema