Aplicações de Integrais Duplas em Cálculo IV

Pre Consrcio d X ee Fundocée CECIERJ Fundagao Centro de Ciéncias e Educagao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educagao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro 7 Calculo IV EP3 Aula 5 Aplicacoes da Integrais Duplas Objetivo e Estudar algumas aplicacoes fisicas como massa centro de massa e momento de inércia 1 Massa Seja D C R uma regido compacta representando uma lamina plana delgada Suponhamos que a fundo continua e positiva 6 D C R R representa a densidade superficial de massa massa por unidade de drea Rij ol eer Considerandose n subretangulos R de algum retangulo R que contém D e uma escolha a7 y Ri observamos que a soma n n ET jl i1 é uma aproximacao da massa M de D onde 6 x3 y se x3 y D Logo é razoavel definir a massa MV de D com m f dx y dxdy D as si OBS Se dx y for constante e igual a k entao a massa M sera igual a kAD Neste caso dizemos que a lamina D é homogénea Calculo IV EP3 2 2 Centro de Massa a Seja um sistema finito de particulas P 211 Po 2 Y2 Ph Yn Yn Com massas mjt 1 n respectivamente Lembrando da Fisica que os momentos de massa desse sistema em relacao aos eixos x e y sao definidos por i1 i1 O centro de massa do sistema é 0 ponto Z 7 que se comporta como se a massa total WM Simi i1 do sistema estivesse concentrada nesse ponto Logo MzMy e MyMzaz ou ea ys a M n M n mi mi i1 i1 b Se considerarmos no lugar de um sistema finito de particulas uma lamina plana D com densidade superficial de massa dada por uma funcdo continua e positiva dx y fazemos uma partiao de algum retangulo R contendo D obtendo subretdngulos R Escolhemos xy7 R Logo a massa de R pode ser aproximada por 6 xy AA onde 6 xy sed xy7 D Entao Me SY uj5iyjAA My Y 7075 uj AA ijl ijl Logo definimos M e M por M yozy dA e M xd xy dA D D O centro de massa Z 7 da lamina D é definido por x0 xy dA yo xy dA JJD JJD r i ey i OBS Se dx y k k constante o ponto é dito centrdide e temos as seguintes formulas a ly Kt x dxdy y dxdy ga 27P sg Ga Pe a dady dady D D Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP3 3 3 Momento de Inércia O momento de inércia de uma Amina D em relacdo a um eixo FE é dado por Ip rx y0ay dady D onde rx y a distancia de x y ao eixo E Assim 0S momentos de inércia de D em relacao aos eixos x e y respectivamente sao dados por I y0xydady e I xdx y dxdy D D O momento de inércia polar em relacdo a origem é dado por Ip a y dx y dady I I D Exemplo 1 Determine o centro de massa e o momento de inércia em relacao ao eixo x da regiao D limitada porzyexy 2 sendo 62y 3 Solucao As curvas se interceptam quando y y 2 0 logo y 1 y 2 Assim 0 esboco de D é y 2 poor tra ee 42 t y i x2y 2 4 x ota 1 2 Descrevemos D como tipo Il D zy ly 2 yx2y A massa de D é 2 2y 2 M5ayaafsaas dxdy 3 2yy dy D D 1 Jy 1 2 3 2 34423255 27 5 Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Caleulo MP O centro de massa Z 7 é dado por xd a y dA yo xy dA a M M Calculo de xday dA D 2 2y 2 Q 2 vieaaaf vdady 3 dy 4 4y y y dy D 1 Jy 1 y 1 3 572 3 ay ay 388 44244 Calculo de yox y dA D 2 2y 2 2 veuaas ydray 3 y2yy dy 3 2y y y dy D 1 Jy 1 1 2 3fy ye yt Ly 73 Tl 3434134 27 aL Logo 108 27 poe a8 got at 7 OO 7 2 8 1 Assim o centro de massa 77 esta localizado em 8 3 O momento de inércia em relacdo ao eixo x é 2 2y 2 I voenaasf eaas ydxdy 3 y 2yy dy D D 1 Jy 1 2 3 2y y y dy 1 3 4 512 3 e 5 3P4B 344 4b 189 20 Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP3 5 Aula 6 Simetria em Integral Dupla Objetivo e Explorar simetrias em integrais duplas Simetria em Integral Dupla 1 Seja D Cc R simétrica em relacgdo ao eixo y e fzy impar na varidvel x isto é f2y fay Entao fxy dxdy 0 Com efeito como D tem simetria em relado D ao eixo y observamos que D esta limitada a direita pela curva x xy e a esquerda pela curva x xy Supondo que a projecdo de D sobre o eixo y seja o intervalo cd temos o seguinte esboco para D y d x xy x xy Cc x Entao d ay d f fenardy tear dy f odyo D c 2xy c eS 0 x Aqui usamos um fato do Calculo II gx dx 0 se gx é uma fungao impar 2 Analogamente se D tem simetria em relacao ao eixo x e fxy impar na variavel y entado fxy dxdy 0 Veja o esboco para D na figura a seguir D Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP3 6 y y y a b x y y2 Exemplo 1 Calcule I vy a y seny 1 dady D onde D é 0 disco 2 y a a 0 Solucao Por propriedade temos que I oy dedy ff ax y senydndy dxdy Ty Ig T3 e Como fxy xry é impar na varidvel x e D tem simetria em relacdo ao eixo y entao i 0 e Como gxy x y seny é impar na varidvel y e D tem simetria em relacdo ao eixo x entao 5 0 e Como I drdy AD entdo Iz 7a Logo D I0020 xa RECOMENDACAO Nas integrais duplas busque as si metrias e as funcoes impares Nao calcule cegamente Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP3 7 OBS 1 Se a densidade dx y uma funao par na varidvel x isto é da y dx y entao xdx y é impar na varidvel x Se D tem simetria em relacdo ao eixo y entao xdxy drdy 0 D aly portanto x 0 Analogamente se x y 6 uma funcao par na varidvel y e se D tem simetria em relacao ao eixo x entao y 0 2 Se D é uma lamina homogénea e tem simetria em relacdo ao eixo y entao 7 0 Analogamente se D é homogénea e tem simetria em relacao ao eixo x entao y 0 Exemplo 2 Uma lamina delgada D ocupa a regiao x y 1 y 0 de modo que a densidade em qualquer ponto é proporcional a distancia do ponto a origem Determine a a massa M de D b o centro de massa Solucao O esboco de D é y 1 1 1 Como a distancia de x y a origem é x y entdo a densidade é dada por Oty kyx 9 onde k é uma constante a Como M dx y dxdy entao M kf x2 y dxdy Passando para coordenadas D D polares temos x rcosé y resend dady rdrdd ryp Além disso D9 6 dado por O0rl Dye 00T Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP3 8 Entao 1 T 1 kr ukf rrdrag k drae k r adr ker r dr um Dro Dro 0 0 0 3 b Como dx y uma fundo par e D tem simetria em relacao ao eixo y entao 7 0 Sabemos que yoxy dxdy j 2 M 9 onde f vote didy bf uve y dxdy D D eff rsenOérrdrdé Dro eff r sen 0 drd Dro 1 T ef sen 0 ddr 0 0 1 k cos r dr r4ql 2k FI k 5 Logo k go2ue2 kr 27 Portanto o centro de massa esta localizado em 0 Até a prdoxima aula Rioco K Barreto Coordenadora de Calculo IV Exercicio 1 Uma lamina D é limitada pelo grafico de x y e pela reta x 4 A densidade de massa da lamina no ponto xy é proporcional a distancia do ponto ao eixo y Ache a a massa total da lamina b o centro de massa Z 7 Exercicio 2 Calcule a massa da chapa D zy 1 27y 920y 0 sabendo que a densidade superficial é dada por 6xy 13 2 7 Exercicio 3 Uma lamina ocupa a regido circular 7 y 2y mas fora do circulo x y 1 Determine o centro de massa se a densidade for inversamente proporcional a distancia do ponto a origem Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP3 9 Exercıcio 4 Encontre o momento polar de inercia em relacao a origem de uma placa fina que cobre a regiao que esta dentro da cardioide r 1 cos θ e fora da circunferˆencia r 1 se a funcao densidade em cada ponto da placa for inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia do ponto a origem Exercıcio 5 Determine o momento de inercia em relacao ao eixo x para a lˆamina D limitada pela parabola x y2 e pela reta x y 2 0 se a densidade e dada por δx y 2 Exercıcio 6 Mostre que o momento polar de inercia em relacao a origem de uma placa fina ho mogˆenea que tem a forma da circunferˆencia r 2a cos θ e igual a 3 2Ma2 onde M e a massa total da placa Fundac ao CECIERJ Consorcio CEDERJ