Calculo IV - EP1: Introdução às Integrais Duplas

Fundac ao Centro de Ciˆencias e Educac ao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac ao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Calculo IV EP1 Queridos alunos Sejam bemvindos ao curso de Calculo IV O meu nome e Rioco Kamei Barreto e sou a coordenadora da disciplina O livro adotado e Calculo Diferencial e Integral de Funcoes de Varias Variaveis Diomara Pinto e Maria Cˆandida F Morgado Editora UFRJ Para facilitar o estudo dos alunos pretendo incluir nos EPs resumos da teoria O conteudo do programa sera dividido em 17 EPs sendo que os EP 8 EP 16 e EP 17 serao destinados para a preparacao de AP1 AP2 e AP3 respectivamente Recomendo que setudem todos os EPs pois eles tˆem por objetivo complementar e fixar os topicos do livro texto Tenho observado ao longo desses anos que os alunos tem tido muita dificuldade em esbocar regioes planas que sao regioes de integracao e portanto nao conseguem resolver exercıcios mesmo que tenham entendido bem as tecnicas de integracao Por essa razao o EP1 sera um pouco extenso no sentido de ajudalos Bom estudo Rioco K Barreto Coordenadora de Calculo IV Aula 1 Integrais Duplas Objetivos Compreender a nocao de integral dupla Estudar algumas propriedades Estudar o Teorema de Fubini para retˆangulos No Calculo II vocˆe aprendeu as integrais definidas Agora no Calculo IV pretendemos estender essa ideia para integrais duplas e triplas de funcoes de duas ou trˆes variaveis Entao consideremos uma funcao f D R2 R onde D e um conjunto fechado e limitado tambem conhecido como conjunto compacto Como D e limitado entao existe um retˆangulo R a b c d tal que D R y d yn yj yj1 y0 c y a x0 xi1 xi b xn x x D R Rij x i y j f R Calculo IV EP1 2 Vamos dividir o retangulo R em subretangulos Rj da seguinte maneira dividimos os intervalos a bj e cd em n subintervalos de mesmo comprimento Ar boa e Ay fe respectivamente tracamos retas verticais e horizontais pelas extremidades desses subintervalos Vamos escolher 27u7 Rij formemos a soma n n n Sn DIDI wiuj AwAy DES wi yj AA jl il ijl onde f 347 0 se 347 D Esta soma é dita soma de Riemann de f Se existir o lim Sy L dizemos que f é integravel eo numero L é n CO dito integral de f sobre D e 6 indicado por fxy dxady ou fxy dA D D ou ftaa Assim D n a Ok If fxy dedy lim Du f a3 y AvAy jl OBS 1 Provase que se f é continua em D entao f é integravel 2 Se fxy 0 é continua em D entdo o grafico de f Gr esta asl acima do plano xy Entao o volume do sdlido W que esta abaixo ori de Gy e acima de D é dado por v f fxy dxdy D Logo para achar o volume do solido W integramos fz y o teto sobre D 0 piso Zz Griz fxy teto y piso x a7y5 Ri Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP1 3 3 Se fxy 1 em D entao I ldrdy dxdy AD area de D D D 4 Propriedades i irgaa paar ff gaa D D D ii kraakff faa keR D D iii DDUD faa fdAt fdA D Dy D2 Um Método Pratico para Calcular Integrais Duplas Teorema de Fubini Se fxy é continua no retangulo D ab x cd entao br pd dr pb teonacan tenay a tenar ay ou b pd dpb fen dady J fxy dyda I fxy dady avc cJva integrais iteradas ou repetidas Exemplo 1 Calcule I ry drdy sendo D 01 x 10 D Solucao Temos 1 0 zy drdy xy dydx D o1 Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP1 4 Primeiro calculamos a integral interna Logo 1 370 1 1 971 1 ev avdy x 3 x0 1de 4 adx 5 D 0 l 0 0 0 Aula 2 Calculo de Integrais Duplas em Regioes mais Gerais Objetivos e Estudar uma versdo mais geral do Teorema de Fubini e Calcular area e volume Suponhamos agora que D seja diferente do retangulo ab x cd Entao vamos definir dois tipos de regiao Definicao 1 Dizemos que D é uma regiao do tipo ou uma regido simples vertical se D for limitada a esquerda pela reta vertical x a a direita pela reta vertical x 0 inferiormente pela curva de equacao y gix e superiormente pela curva y goa onde gi gz sao continuas As figuras que se seguem ilustram regides do tipo y 92x y 92x y gox y i y y vente ete vv a x b r a x b r a x b r Logo D zy ER axbegiz y gox Provase que b g2z fxy dxdy I fxy dydz D a Jgix Definicao 2 Dizemos que D é uma regido do tipo II ou uma regido simples horizontal se D for limitada inferiormente e superiormente por retas horizontais y ce y d respectivamente pela esquerda pela curva x hiy e pela direita pela curva x hoy onde h e hz sdo continuas Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP1 5 As figuras que se seguem ilustram regides do tipo II y y y d d d xzhiy xhjy r haly ale ha ate haly we whay c C c x x x Logo D xy ER cydehiy x hay Provase que d phay fxy dady I fxy dady D ce Jhiy Exemplo 1 Calcule por dois métodos a integral de fxy xy sobre a regido D limitada pelas curvas y x eyx Solucao As curvas se interceptam quando x x ou xa 1 0 logo x 0 ou x 1 Assim os pontos de intersecdo sdo 00 e 11 Logo o esboco de D é y 1 ne yar zy eam x 1 x Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ CAlculo IV EP1 6 Método 1 Enquadrando D como tipo temos D xy ER 02rlery a Entdo 1 px Loe ae 1 1 f evdeay cy dyde x ax x x x dx a x dx D oJ a2 0 x 0 0 41 E a 24 6 Jo ili 6 3 7 3 ae 24 Método 2 y Lorn rrr rrr trop ry r Vy 1 x Enquadrando D como tipo II temos D xy ER 0yley2 vy Entdo Lpvy Lo ava 1 1 f evdeay cy dedy fy 3 ay 3f yyy dy s y y dy D oly 0 y 0 0 1 4 et 213 0 ili 333 ae 24 Exemplo 2 Calcule por integral dupla a drea da regido plana D limitada pelas curvas y 2 ey V2 Solucao O esboco de D é Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP1 7 y y all yaa L troy Veal y23 1 x Podemos descrever por Oaxrl D a yal Entao 1 pall 1 aq AD dxdy dydx a 2 dx 329 2 43 ua D 0 Ja 0 9 Exemplo 3 Calcule o volume do tetraedo W com faces nos planos coordenados e no plano xy 2 3 Solucao O plano z y z 3 passa pelos pontos A 300 B 030 e C 003 Assim o esboo de W é z C teto de W y 3 ry3 y32 B A Yy 3 x D piso y0 Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP1 8 Observemos que o teto de W é a porcdo do planoxy230uz3a2y fzy 0 piso de W éotridngulo D Entdao vv f renaedy 3 x y dady D 3 p3a 3 xa y dydx 0 Jo 3 2 32 3y ay dx 0 0 3 2 33 2 23 2 S dx 0 3 s 9 6a a dx 0 3 9x 32 Suv Exercicio 1 Calcule y7e ysenxdx dy onde D é 0 retangulo dado por0a272e0y1 D Exercicio 2 Determine a regido de integracdo e troque a ordem de integracdo das seguintes integrais 1 px a I fxy dyda oJo ley b I fxy dady oJo 1 pe c I fxy dyda OJ a 1 pxl d I fxy dyda OS 2x 2 p2y e fxy dxdy LT aie Exercicio 3 Calcule x cosxy dxdy onde D é a regido delimitada pelos graficos de y x7 yOe x 2 Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP1 9 Exercicio 4 Inverta a ordem de integracao e calcule 1 pl 3 a e 3 dady 0 vy 3 9 b y COS 2 dxdy 0 Jy 2 p2 c I rv1y dydx Ova Exercicio 5 Use integral dupla para calcular a drea da regido plana compreendida pelas curvas y 4 2 e0yx2exr0 Exercicio 6 Use integral dupla para calcular o volume do sdlido W compreendido pelas superficies y x zOer4z1 Exercicio 7 Use integral dupla para calcular o volume do sdlido no primeiro octante delimitado pelos graficos das equacdes z 427 r y4r10 y0ez0 Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ