Cálculo IV - Exercício 1: Volume e Centróide do Sólido W

lr fKcederj Fundacao CECIERJ Fundagao Centro de Ciéncias e Educagao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educagao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro 7 Calculo IV EP5 Tutor Exercicio 1 Determine o volume e 0 centrdide do sdlido W limitado pelo paraboldide z x y pelo cilindro x y 4 e pelo plano zy Solucdo De z 2 y e 22 y 4 temos z 4 Isto significa que as duas superficies se interceptam no plano z 4 segundo a circunferéncia x y 4 Considerando que o sdélido W é limitado também pelo plano xy de equacao z 0 temos o esboco de W Zz y a ae po 2 2 2 x Como o sélido W é limitado pelo cilindro x y 4 vamos aplicar a transformacao cilindrica x rcosé y rsend Z 2 dV r drdédz ety Pr O paraboldide z x y se converte em z r e o cilindro x y 4 se converte em 7 4 ou r 2 Observemos que a projecao de W sobre o plano xy 0 disco Dy 2 y 4 Como as variagdes de r e sao determinadas na projecdo D entao0 r 2e0 2z Considerando um ponto xyz no interior de W e pelo ponto uma paralela ao eixo z vemos que a essa paralela intercepta a fronteira inferior no plano xy onde z 0 e intercepta a fronteira superior no paraboldide z x y onde z r Entao 0 z r Assim a regido transformada é Wroz r02 0r2002702r7 Calculo IV EP5 Tutor 2 Como VW JI dV entao Ww VW II r drd0dz Woz 2 v2 p2r rf dOdzdr 0 Jo Jo 2 r2 ar rf dear 0 0 2 ar rr dr 0 2 an f r dr 0 r4 20 7 87 uv O centro de massa de um sdlido homogéneo é dito centrdide e como a densidade 6 y z constante ela pode ser cancelada e temos vrye ff x dV w vnya ff y dV w vines fff 2d w Calculo de JI x dV Ww Temos que xy lewffef dededy x a y drdy 0 Ww Dry 0 Day pois a funcdo xa y é impar na varidvel x e D tem simetria em relacdo ao eixo y Logo z0 Calculo de JI y dV Ww Temos que xy fl vvfuf dededy y a y dady 0 Ww Dey 0 Day pois a funcdo yx y impar na varidvel y e D tem simetria em relacdo ao eixo x Logo y 0 Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 3 Calculo de II z dV Ww Temos que I zdV II zr drdédz Ww Woz 2 r2 Qn rf d0dzdr 0 Jo 0 2 r2 an z dzdr 0 0 2 are an r B dr 0 2J0 2 rr dr 0 2 a r dr 0 E 5 2n Logo ganz 228 3 donde a4 3 Portanto o centrdéide localizase em 00 43 Exercicio 2 Um sdlido W é limitado pelo cone z x y pelo cilindro 7 y 4 e pelo plano xy Ache a seu volume b seu centrdide Solucao a De z zy2 e x y 4 temos z 2 Logo a intersecdo do cone z 2 4 y com o cilindro ocorre no plano z 2 O esboco de W esta representado na figura que se segue Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 4 Zz 2 x Como o sélido W é limitado pelo cilindro x y 4 vamos aplicar coordenadas cilfndricas x rcosé y rsend Z Zz dV r drdédz ey 7 Como a projecao de W sobre o plano ry é 0 disco x7 y 4 entio0 r2e0 6 2Qr Por um ponto xyz no interior de W tracamos uma paralela ao eixo z Esta paralela intercepta a fronteira inferior no plano xy onde z O e em seguida intercepta a fronteira superior no cone z xy onde z r Logo 0 z r Assim 0 novo solido em coordenadas cilfndricas é dado por 0Or2 W02 0 0 2m Ozr Como VW JI dV entao Ww 2 r 20 2 r 2 vw ff arava f atdedr 20 rf dedr 27 rrdr Woz 0 0 0 0 0 0 2 352 1 27 r dr 2n lon ULV 0 3 10 3 b Como o sdlido W é simétrico em relagdo ao eixo z entdo o centrdide y Z esta no eixo z Logo T y 0 este fato é valido para o caso de sdlido homogéneo Temos que Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 5 viWz II 2dV Ww II zr drdédz Woz 2 r 20 fel ddzdr 0 0 0 2 r 2 z dzdr 0 0 2 oar an r dr 0 2 Jo a 2 r dr 0 2 2 r dr 0 rt 7 47 ou tz 47 donde z3 1 Logo o centrdéide localizase em 00 34 Exercicio 3 Um sdlido W é limitado pelas superficies z 27 y 27 y 2y comz 07 0 ez0 a Ache o seu volume b Ache a sua massa se a densidade é dada por d2y 2 a Solucao a Inicialmente tracamos 0 paraboldéide z x y em seguida tragamos 0 cilindro x y 2y ou x2 y1 1 com x 0 Observamos que A 000 e B 02 4 so pontos comuns as duas superficies Liguemos A e B por uma curva que representa a intersecao do paraboldide com o cilindro Considerando que W 6 limitado pelos planos x 0 e z 0 temos o esboco de W na figura que se segue Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 6 Zz ee eee ccc eg 4 A Cr we 4f ean eee f di 4 Bie Li fy Js fy Lae x Temos que VW JI dV Em coordenadas cartesianas esta integral nao sera nada facil Ww Convém fazer uma transformacdo a coordenadas cilindricas pois W esta limitado por superficies que aparecem termos x y Temos entao x rcosé y rsend Z 2 dV r drdédz ey 7 A projecao de W sobre o plano xy é 0 semidisco D x y 2y com x 0 y 2 1 x Efetuando uma varredura em D no sentido antihordrio vemos que 0 0 72 De xy 2y temos r 2rsen donde r 0 our 2sen Entao 0 r 2sen Seja xy z no interior de W Por este ponto tracamos uma paralela ao eixo z que intercepta a fronteira inferior no plano xy onde z 0 e intercepta a fronteira superior no paraboléide z x7 y onde z r Logo 0 z vr Portanto temos W 702z 00720r2sen00271 Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 7 Como VW JI dV entao Ww m2 p2sen0 r m2 p2sen0 VW I r drdédz dzdrd0 r drd0 Woz 0 0 0 0 0 72 42sen0 a 2 a2 2 ama f sen do a do 0 4 Jo 0 0 2 am 2 am 2 m2 1 1 2cos 20 cos 20 a ao f cos 20 5 cos 20 2 do 0 0 0 ay sen 26 t 20 sua n 4a yy Ld 4 2 0 2 4 4 b A massa M é dada por M JI dxyz dV w x dV w JI rcosr drdédz Woz JI r cos drd6dz Woz am 2 2sen 0 r cost e dzdrdé 0 0 0 am 2 2sen 0 cost r drd0 0 0 n2 po 2sen 6 cos 6 do 0 5 Jo am 2 al cos sen 6 d 5 Jo 382 ES ae 5 6 Jo 6 am jp um Exercicio 4 Ache o volume do sdlido W exterior ao cone z7 x y e interior a esfera ertyt eal 2 2 2 pg 2 2 2 2 2 121 v2 Solucao De 2 4 y ea y 2 1 temos que x y 3e 5 0uzt Isto significa que as duas superficies se interceptam nos planos horizontais z ve ez segundo a circunferéncia x y O esboco de W esta representado na figura que se segue Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 8 z w4 wh git wag f SS SS525 eo W 2s an pl bene SS ee Sse s fee S ott 5 ee peas a ae om 1 4 p 0 x Z 3 2 NN Se a Temos que VW II dV Como o sdlido W é limitado por uma esfera convém calcular o Ww volume aplicando coordenadas esféricas x psencosé y psengsend Zz pcos dV psen dpdddé eryt2 A esfera x y 27 1 se transforma em p 1 donde p 1 Logo 0 p 1 Como a projecdo de W sobre 0 plano xy é 0 disco x7 y 1 entao 0 27 Efetuando uma varredura em W a partir do eixo z positivo vemos que 74 374 Assim a regido W em coordenadas esféricas é 02r W 00 0 P 1 tT46 304 Logo 1 374 2a 1 374 VW JI p sen dpdodé a send déddp an sen d dédp Wo 0 mA4 0 0 m4 1 1 1 27 374 T 3m 2 22 BE 227 n f p cos dp 2n cos 7 cos p dp2t l3alo7 3 UY Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 9 Exercıcio 5 Ache o volume do solido W comum as duas esferas x2y2z2 4 e x2y2z2 4z Solucao De x2 y2 z2 4 e x2 y2 z2 4z ou x2 y2 z 22 4 temos z 1 Isto significa que as esferas se interceptam no plano z 1 segundo a circunferˆencia x2 y2 3 O esboco de W esta representado na figura que se segue x y z W 3 1 2 2 2 4 Como o solido W e limitado por esferas vamos aplicar coordenadas esfericas x ρ sen φ cos θ y ρ sen φ sen θ z ρ cos φ dV ρ2 sen φ dρdφdθ x2 y2 z2 ρ2 A esfera x2 y2 z2 4 se transforma em ρ2 4 ou ρ 2 A esfera x2 y2 z2 4z se transforma em ρ2 4ρ cos φ ou ρ 4 cos φ Seja P x y z no interior de W Se P esta situado acima do cone φ π3 e ligandoo a origem O vemos que a semireta OP intercepta a fronteira do solido primeiramente na origem onde ρ 0 e em seguida na esfera x2 y2 z2 4 onde ρ 2 Logo 0 ρ 2 Se P esta situado abaixo do cone φ π3 vemos que a semireta OP intercepta a fronteira de W primeiramente na origem onde ρ 0 e em seguida na esfera x2 y2 z2 4z onde ρ 4 cos φ Entao 0 ρ 4 cos φ Portanto devemos dividir W em duas regioes W1 e W2 W W1 W2 onde W1 e a porcao de W acima do cone φ π3 e W2 e a porcao de W que esta abaixo do cone φ π3 Fundac ao CECIERJ Consorcio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 10 Zz og73 p2 Hio eo p Acosé y p0 x Efetuando uma varredura em W a partir do eixo z positivo vemos que 0 73 e efetuando uma varredura em W a partir de 73 vemos que 73 72 Projetando W e W2 sobre o plano xy vemos que 0 6 27 Entao Osps2 Wipe 4 0 d 23 027 Op4cos W260 T3 12 0627 Logo VW VW V4 av f dV Wi W2 I p sen dpdddé I psen dpdodé Wipe Wop0 w3 2 2a m2 4cos Qa sono dédpdo sono dédpd 0 0 0 13 0 0 n3 2 a 2 4cos ar sono p dpdo 2 sono p dpdd 0 0 13 0 r3 352 n2 374cos an f sen d B dg an f sen d B do 0 3 lo x3 3 lo w3 m2 44572 167 1287 3 16np x3 1287 é 5 sen ede sen cos dé 3 cos T dass 167 1 327 1 80 2x 107 F st Fle F Fa Fw Fundagao CECIERJ Consorcio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 11 Exercicio 6 Transforme J II fxy z dV para coordenadas cilfndricas quando o sdlido W é Ww limitado pelas superficies a 2z4 224 y2 coma y4e270 b a y 27 25com3242y1602320e724 Solucao a Dez 4 Vr y ex y 4 temos z 2 Isto significa que a interseao do cone 24x72 y com o cilindro x y 4 ocorre no plano z 2 e éa circunferéncia 77 y 4 Assim 0 esboco de W esta representado na figura que se segue Zz 4 Ceca est a Bags eee as a 2 y 2 x As coordenadas cilindricas sao x rcosé y rsend Z Zz dV r drdédz ey 7 A equacao do cone z 4 x y em coordenadas cilindricas 6 z 4 r ea do cilindro xy 4ér2 Projetando W sobre o plano xy encontramos o disco x y 4 Logo O0r2e00 2 Por um ponto xyz do interior de W consideramos uma paralela ao elxo Zz que vemos que intercepta a fronteira inferior no plano xy onde z 0 e intercepta a fronteira superior no cone z 4 ay ou z 4r Logo 0 z4r Assim a regido W em coordenadas cilindricas é Woz 702z 0r20027024r Entao 2 p2e pdr r f f rcos6rsen 6 zr ardsde f rcos6r sen 6 zr dzdédr Woz 0 Jo JO Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 12 b De 2 y 27 25 e 2 y 16 temos que z 9 donde z 3 pois z 0 Isto significa que estas duas suerficies se interceptam no plano z 3 segundo a circunferéncia x7 y 16 Considerando que o sélido é limitado pela porcdo da esfera x7 y 2 25 3 z 4 pelo cilindro 7 y 16 0 z 3 e pelos planos y 0 e y 4 temos 0 esboco de W na figura que se segue Zz 2S Strasse Ss ee Wan ji 234s 2 527 1 f ate eee x As coordenadas cilindricas sao dadas por x rcosé y rsend Z Zz dV r drdédz ey 7 A equacao da semiesfera x y 27 25 com z 0 em coordenadas cilindricas 6 z V25 r A equacao do cilindro x y 16 em coordenadas cilindricas 6 7 4 Para transformar W em coordenadas cilindricas devemos dividir W em duas partes W W U Wo onde W a regiao limitada pelo cilindro x7y 9 e pelos planos z Ve z 4e Wy a regiao limitada superiormente pela porcao da esfera internamente pelo cilindro x7y 9 externamente pelo cilindro 77y 16 e inferiormente pelo anel circular 9 x y 16 situado no plano xy Assim as regides W e W em coordenadas cilindricas sao Wires 792 O r3002702 4 Warez r02 3 7 4002702 V257 Entao JI f rcos6rsen 6 zr drdédz II f rcos6rsen 0 zr drdédz Wiroz Woroz 3 p2n 4 4 pn pr 25r2 I f rcos6rsen 6 zr dzdOdr I f rcos6rsen 6 zr dzdédr oo Jo 3 Jo Jo Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 13 Exercicio 7 Calcule a integral transformandoa para coordenadas esféricas V2 pV4a py4a2y r Va y 2 dzdxdy 0 y 0 Solucao Temos que I II Va y 22 daxdydz w onde W xy2 y Dey 0525 Vie h com Dry xy lO0yvV2y2 viP que representa a projecdo de W sobre o plano zy Vemos que D esta contida na faixa horizontal 0 y V2 e esta limitada a esquerda pela reta y x e a direita por um arco de circunferéncia 1 y 4 x 0 Temos entao y J2 eee ee ee yr 2 x Como 0 z 42y entao W é limitado inferiormente pelo plano z 0 plano xy e é limitado superiormente pela superficie z 4 2 y ou x2 y24 22 4 com z 0 Considerando que D a projecdo de W sobre o plano xy temos o esboo do grafico na figura que se segue Zz B00 2 a we oy 7 S 7 t ocn é a PF gt Sw A yr Meg AV2 V20 om y x Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP5 Tutor 14 Efetuando uma varredura a partir do eixo z positivo vemos que 0 72 Como a variaao de 0 é olhada na projecdo de W sobre o plano zy entao 0 6 74 Por um ponto P x y z no interior de W consideramos a semireta OP que corta a fronteira de W na origem onde pOe em seguida na esfera x y 2 4 onde p 2 Logo 0 p 2 Assim a descricao de W em coordenadas esféricas é Woo 098 OS p 2072050 04 Entao I JI J p2p sen dpddé Woo 2 am 2 m4 send dédédp 0 0 0 x 2 a 2 sen dédp 4 Jo 0 7 2 p cos 5 dp 2 10 f p dp 4 0 a AL4Io 7 Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ