Exercícios de Cálculo IV - Integrais Iteradas

ced NR hndocéo CECIERS Fundagao Centro de Ciéncias e Educagao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educagao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro Calculo IV EP4 Tutor 3 pl pV122 Exercicio 1 Calcule a integral iterada IT ze dxdzdy 0 Jo Jo Solucao Temos 3 pl pVlz2 3 pl 3 1 12 IT ze dededy ff zeVI FP dedy e 127 zdzdy o Jo Jo o Jo 0 0 3 1 3 1 ol Q 12 oil 2 Q 32 ef 1 27 22 dzdy e 12 dy if Ip ys 173 i e 01 dy 5le 1 Exercicio 2 Calcule I ee dxdydz onde W éo conjunto02710y27021 Ww Solucao Temos 2 2 2 II e dadydz e dzdxdy e dady Ww Dey 0 Dry Oal Lon onde Dry OyKx é a projecao de W sobre o plano xy y 1 x Entao 2 I 2 7 2 1 I 2 I e dadydz e ayde f code 5 e 2x dx Ww 0 0 0 2 Jo 1p yt 14 61 sle J 5le e 5leD Calculo IV EP4 Tutor 2 Exercıcio 3 Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do solido W no primeiro octante limitado pelos planos x z 1 y x y 0 e z 0 Calcule uma das integrais Solucao Esboco de W Como W esta no primeiro octante entao x y z 0 Inicialmente tracamos no plano xz o segmento de reta x z 1 x 0 z 0 Como esta equacao nao depende da variavel y entao por pontos do segmento tracamos paralelas ao eixo y Em seguida tracamos a semirreta y x x 0 Como esta equacao nao depende de z entao por pontos dela tracamos paralelas ao eixo z obtendo assim alguns pontos comuns como A 0 0 1 e B 1 1 0 Ligandoos obtemos a intersecao dos dois planos x y z A B 1 1 1 x y z W 1 1 Como W e tambem limitado pelos planos y 0 e z 0 temos o esboco de W Para obter as seis integrais triplas iteradas devemos projetar W sobre os trˆes planos coordenados sendo que cada projecao nos fornece duas integrais iteradas Projecao de W no plano xy Do esboco de W vemos que a sua projecao no plano xy esta representado na figura a seguir Fundac ao CECIERJ Consorcio CEDERJ Calculo IV EP4 Tutor 3 Zz 1 y yu y yar 7 sai em y a bi i Lae1 can entraem xy fi ipeca c1 saiemz1la2 Pe sai ema 1 oe fo ee ry fr entraemy0 y0 y0 i ee 1 entra em z 0 Considerando uma paralela ao eixo z por um ponto qualquer no interior de W vemos que ela entra em W em zOesai de W em z12 Logo 0 z12 Assim temos W 2y2 vy Dy 0S 2 12 Oal Oyl onde D comotipole D como tipo Il Entao ty bocves P wl yedl P 12 1 px pl VW II dV dzdxdy dzdydz w Day JO 0 Jo Jo 1 pl plx dzdixdy 0 vy J0 Projecao de W no plano xz Do esboco de W vemos que a Sua projecao no plano xz é Zz 1 Zz entra my 0 a saiem y 1 saiemz12 1 f Poa V4 saiem x 1z foresee entra em x 0 a ne POS OS Piste srs a aig eee Pe ee A y 1 x 1 x fp Vv a 1 ee entra em z 0 x Considerando uma paralela ao eixo y por um ponto qualquer no interior de W vemos que ela entra em W em y0esai de W em y x Logo 0 y x Assim temos W x Y 2 x 2 E Dr 0SyS x Fundagao CECIERJ Consoércio CEDERJ Calculo IV EP4 Tutor 4 Oal Ozl onde D 021x como tipole D 02r12 como tipo II Entao x 1 pla px VW v dydedz ff dydzdz w Dzz JO oJo Jo 1 plz rx dydaxdz oJo Jo Projecao de W no plano yz Do esboco de W vemos que a Sua projecao no plano yz esta representado na figura que se segue Zz 1 1 saiem z1y 1 a 1 y ae t 0 entra em y 0 saiem y1z saiem x z ee entra em x fw entra em z 0 1 a x Considerando uma paralela ao eixo x por um ponto qualquer no interior de W vemos que ela entra em W emxOesaideW emx12z Logo0 x 1 Assim temos W xy2 y2 Dyz0 u 12 Oyl Ozl onde D 021y como tipo le D 0y12 como tipo II Entao lz 1 ply plz VW II dV dxdydz I dxdzdy w Dy J0 oJo Jo 1 plz plz dadydz oJo Jo Calculemos o volume de W usando que 1 ra 1lax VW dzdydz oJo Jo Entao 1 pax 1 1 VW 12 aya f laxzx a c2 dx 0 Jo 0 0 x 237 1 uy 2 3 l 6 Fundagao CECIERJ Consoércio CEDERJ Calculo IV EP4 Tutor 5 1 pl 1y Exercicio 4 Esboce 0 sdlido W cujo volume é dado pela integral iterada J dzdydx 0 JVz Jo e reescreva na ordem diadydz Solucao Temos I JI dadydz w Oarl ae onde W 2yz R a y Dy O z1ye Dry JEy Projecdo de W sobre o plano xy y y1 1 x0 y Vr 1 x De 0 z 1 yy vemos que W limitado superiormente pelo cilindro parabdlico z 1 ye inferiormente pelo plano z 0 Assim o esboco de W esta representado na figura que se segue Zz 1 cilindro y x ve cilindro parabdlico z 1 y WwW plano z 0 NS p plano z 0 x Para expressar a integral na ordem dxdydz devemos projetar W sobre o plano yz Temos que D Ozl LO0sysvl2z Fundagao CECIERJ Consoércio CEDERJ Calculo IV EP4 Tutor 6 Zz 1 entra em x 0 2 Ww 1 2 y 2 entra em y 0 saiem y Vl z salem xy Se pote 1 y 1 a x Além disso a reta que passa por y z D e paralela ao eixo x entraem W em x 0 e sai de W em x y Logo 0 x y Entao y 1 pViz py I dxadydz dadydz Dyz JO 0 Jo 0 Exercicio 5 Use a integral tripla para encontrar o volume do sodlido W dado a W limitado pelo cilindro x y e os planos z Nexz21 b W limitado pelos planos z y8 zy84044e2z0 Solucao a Esbocando o cilindro x y e o plano x z 1 vemos que A 110 B 001 e C 110 sao comuns Ligandoos temos a curva intersecao Considerando que W é também limitado pelo plano z 0 temos 0 esboco de W e sua projecao D sobre o plano xy esta representado na figura que se segue Zz y a planoxz1 Bil l sat em t t BS E t saiem z1a2 Wye nos 72 cilindrow y 47 Wee entraem a y bie a 1 x pate tt Ny Be see hala Ce 2 y AWA yy 1 C x entra em z 0 Fundagao CECIERJ Consoércio CEDERJ Calculo IV EP4 Tutor 7 lyl 3 sys Temos W 2yz Rzye De 0z1aeD crcl Portanto temos 12 v w dededy 1 x drdy Ww Dey 0 Day 1 pl 1 541 1 1 1 1 2 drdy je ay a34 a Lf v fh a 5 y ay 1 1 1 op e 5 ye r 253 a G ta Y oY 5 ol 24273 tio 151043 8 2 UVv 30 15 b O esboo do sdlido W esta representado na figura que se segue Zz 84 plano zy8 y Go 8 fo es ON planozy8 Se x a a4 Projetando W sobre o plano xz temos o retangulo D nS ag A reta que passa por xz De paralela ao eixo y entraem W em y z8 e sai de W em y 8z Entao z8y8z Portanto temos 8z vw f v ff dyad 8z28drdz Ww Dez 28 Dez 4 p8 4 72 8 2 8 2dedz 2 8 2dede 2 sz 5 dx Dez 0 Jo 0 2 Jo 4 4 2 61 82 de 232 dz 644 256 uv 0 0 Fundagao CECIERJ Consoércio CEDERJ Calculo IV EP4 Tutor 8 Exercicio 6 Calcule a massa do sélido W no primeiro octante limitado por y x7 y 9 z O xOey29 sea densidade é dada por dzy z x Solucao Esbocando o cilindro y x e o plano y z 9 vemos que A 390 e B 00 9 sao pontos comuns Ligandoos temos a curva intersecao Considerando que W é limitado pelos planos x 0 e z 0 temos o esboco de W e a sua projecao D sobre o plano xy na figura que se segue Zz y sai em y 9 9p 9 cilindro y x VA oy saiem z9y STs XxX entra em y x Peay EN ee Tielee i of plano z 0 D9 entra em z0 NV y A reta que passa por zy D e é paralela ao eixo z entra em W em z 0 sai de W em z9y Entéo029y Logo W zyz R zy De 0 z 9y onde O0243 Days f a y9 A massa de W é dada por 9y uf steyyav fff viv ff x dzdxdy w Ww DJO 3 9 3 259 v9 y dedy 9 y dyte x dy dx D 0 2 0 2 J2 3 4 3 4 xs1 90 ar f 5 927 5 dx 0 2 2 0 2 2 3 3 8lt gs Ee 9x4 1 590 5 de a tpl 819 981 3 BF 8 4 4 2 4 4 Exercicio 7 Seja W um sélido limitado pelo cilindro x y 1 com z 0 e pelos planos y z e z 0 com funao densidade dx y z y Calcule a a massa de W b o momento de inércia em relacao ao eixo z Fundagao CECIERJ Consoércio CEDERJ Calculo IV EP4 Tutor 9 Solucao a Esbogando o cilindro x y 1 com z 0 e0 plano y z vemos que A 100 B 011 e C 100 sdo comuns as superficies Ligandoos temos a curva intersecao Considerando que W 6 limitado pelo plano z 0 temos o sdlido W e a sua projecdo D sobre o plano xy representado na figura que se segue Zz 1 salem z y B 4 y 1 She st e en BY a 1 re ey p yt J A 1 x A reta que passa por xy D e é paralela ao eixo z entraem W em z O esaideW emz y Logo 0 zy Assim W 2yz R zy Die yly0e02z yt Entao y u ff steyyav ff yavf y dzdady Ww w DJo yydedy y dxdy D D O0rl Pasando para coordenadas polares temos y rsend dxdy rdrdé e D Entao 00T M r sen Or drd0 r sen 6 drdé D6 Dro 1 T 1 2977 1 sen 6 ddr jo redr 0 0 2 2 Jo Jo 7 am 2L14o 8 b Temos L I x y Oa y2z dV I x 97 ydV w w y x y v dzdxdy x y y dxdy D 0 D Fundagao CECIERJ Consoércio CEDERJ Calculo IV EP4 Tutor 10 rrsen6rdrdd r sen 6 drdé D6 Dro 1 T T 1 671 e sen do 5 9 2 rdr 7 0 0 2 2 JoJo 2L6Jo 12 Exercicio 8 Encontre o momento de inércia de um cilindro circular sdlido de raio 1 e altura 2 em relacdo a uma reta que passa pelo centrdide e é perpendicular ao eixo do cilindro se a densidade for dx yz 1 Solucao Consideremos o sdlido cilindro circular W de raio 1 limitado pelos planos z lez1 Zz e a ee y t x Entdo W 2yz R xy D12z 1 onde D 2 y 1 O centrdide Z 7 Z é dado por vye ff x dV w vane ff wav w vye ff 2 dV Ww onde VW mr2h 7 12 2r Temos II x dV 0 pois fxy z x é impar na varidvel x e W tem simetria em relacdo ao Ww plano yz Logo 7 0 Temos JI y dV 0 pois fxy z y impar na variavel y e W tem simetria em relacdo ao Ww plano xz Logo y 0 Temos II z dV 0 pois fxy z z é impar na varidvel z e W tem simetria em relacdo ao Ww plano xy Logo Z 0 Assim 0 centrdide é 0 ponto 000 Uma reta que passa por 000 e é perpendicular ao eixo z eixo do cilindro 0 eixo y Entao calculemos Ty Fundagao CECIERJ Consoércio CEDERJ Calculo IV EP4 Tutor 11 Temos 1 ff 0 2 itay2av ff a 27dV Ww Ww 1 3 1 a 2 dzdady ae dxdy DJ1 D 31 22 22 2 II 20 dxdy 2r cos 6 r drd Q7r pl 2r cos 6 drd 28 cos 9 drd Dro 3 0 Jo 3 27 4 241 27 Teo he 1 06520 do 508 a ad 5 cos 0 d9 fll sen 20 1 m 20 Tr 5 3 Stare Fundagao CECIERJ Consoércio CEDERJ