Cálculo IV - Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

lr ceder WW CECIERJ Fundagao Centro de Ciéncias e Educagao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educagao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro 7 Calculo IV EP2 Aula 3 Mudanga de Variaveis na Integral Dupla Objetivo e Aprender a fazer mudanca de variaveis em integrais duplas No Calculo II vocé aprendeu a formula da mudanga de variavel para uma funcado de uma variavel b d tears faa awa Para as integrais duplas temos uma férmula andloga Uma mudanca de variadveis num subconjunto do R é dada por uma transformacao yg DyCcR PR uv ay uv wu 0 yuv de classe C e injetora no interior de Dyy U y p f R u x Suponhamos que 0 jacobiano de y Jyuv seja diferente de 0 isto é Ox Ox Ory Ou dv J Jyuv 0 elu Oluv Oy dy Ou Ov Provase que drdy J dudv Seja Dz y Dw Entdo se fxy é continua em D temos Jf tle navdy ff Fatuv vue a dude Day Duy Calculo IV EP2 2 OBS Pelo teorema da funcao inversa o jacobiano de y é dado por ly Ou Ou Se Ox Oy 1 Jp xy Jyuv py Ov Ov wl J yu v Ox Oy Exemplo 1 Calcule utilizando uma mudanga de variaveis conveniente a integral tw dedy sendo Dz Dey a regiao limitada pelas retas y x23yur5ycvley23 Solucao O esbogo de D é y 5 3 5 Facamos u xy v y2 que nos da utv2y r yv22r ou utv ones y Temos Ox Ox 1 1 O Ou dv 2 2 1 7 ey Ou Ov 2 2 40 Ou v Oy Oy 1 1 2 Ou Ov 2 2 Como drdy J dudv temos dxdy dudv A seguir vamos determinar D Como Dz é limitado por y x 3 yttu5yeley2x3 entdo Dy é limitado por u3u5vlevs Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP2 3 v 3 1 Ce I 3 5 U Segue da férmula da mudana de varidveis que a 8 u ue cea deay ff Fdudv f dudv Dey Duv Duv 5 p38 iful dudu 3 JI 5 3 u In o du 3 1 5 us u du 3 3 2 7 5737 88 Aula 4 Integrais Duplas em Coordenadas Polares Objetivo e Estudar uma mudanca de variaveis bastante usada coordenadas polares No Calculo Il vocé aprendeu coordenadas polares 74 onde r é a distancia de um ponto P 2 y a origem e 0 é 0 Angulo em radianos formado pelo eixo x positivo e o raio polar OP y Pay r 1Y Q O x x Da figura vemos que x rcos0 y rsen donde x y r Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP2 4 Entao consideremos a mudana de variaveis dada por J rcosé P y rsend onder 0 6 27 para algum 6 R O jacobiano de y é dado por Ox Ox Ox y dr 00 cos rsen 9 9 T Je 50 dy dy send rcosd rcos drsendr or 00 Entao fxy dxdy I f rcos6rsen0r drdé D Dro OBS aly 1 O termo daxdy nao é substituido por drd mas por rdrdé mi 2 A area de D em coordenadas polares é dada por AD r drdé Dro Exemplo 1 Calcule e tv drdy onde D é a regiao limitada pela curva y V1 22 0 eixo z D Solucao O esboco de D é y 1 ra r1 os ra 6 1 1 r0 Passando para coordenadas polares temos x rcosé y rsend dady rdrd6é ey r Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP2 5 Observemos que em D o angulo varia de 0 no eixo polar eixo x positivo a 7 no ponto 10 Fixado tal que 0 06 7 oralo polar r varia de 0 a 1 Entao D é dado por 00T be 95057 Logo 2 2 2 l 2 l 2 et ty dxdy ff e rdrao ff e rasar n e rdr D Dro 0 Jo 0 Temos dr 2r dr donde r dr dr Entao 2 2 t 2 2 1 Jfe ty dedy e dr ler fe1 D 0 0 Exemplo 2 Calcule I y dxdy onde D é limitado por x y 2y D Solucao Completando quadrado em x y 2y temos x y 1 1 Logo temos uma circunferéncia de centro 01 e raio 1 Assim o esbocgo de D é y 2 x Calcular J enquadrando D como tipo ou tipo II é uma tarefa dificil verifique entado passemos para coordenadas polares temos x rcosé y rsend dady rdrd6é ey Passando x y 2y para coordenadas polares temos r 2r sen ou r 2sen6 Observemos que como o eixo x é tangente a circunferéncia na origem entao 0 varia de 0 a 7 Fixando 6 tal que 0 617 oraio polar r varia de 0 a 2sen Logo o conjunto D é dado por 00T Do Or2sen0 Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP2 6 Entao I rsen6rdrdé Dro r sen 0 drd Dro wT 2sen 0 sen r drdo 0 0 wT 3 2sen0 sen BE do 0 0 a sen 6d0 0 Vale a pena lembrar que sen sen 9 1c0828 1 2cos 26 cos 26 cosudu 5 u sen 2u C Entao I 1 2 cos 26 cos 26 dé 0 2 1 2cos 20 cos 20 d20 420 2sen 20 4 20 sent 130 2sen 20 sen TT Até a proxima semana Rioco K Barreto Coordenadora de Calculo IV Exercicio 1 Ache a drea da regiao D limitada pelos arcos de pardbolas x7 ay x by y arey Bx coom0abe0a QZ 1 pla Exercicio 2 Calcule J I Jit yly 22 dydz 00 Exercicio 3 Calcule y dxdy onde D xy a y 4 a y 2ry2y 0 D Exercicio 4 Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a area da regiao interior a circunferéncia x y 4 e a direita da reta x 1 Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ Calculo IV EP2 7 Exercicio 5 Calcule a integral iterada convertendoa para coordenadas polares 92 V2 pr4y 1 a didy 0 y Vit xy Levy b 1 Vu y dxdy Ovy r12 2 pr1x1 ry oJo wy Exercicio 6 Calcule o volume do sdlido no primeiro octante limitado acima pelo plano z ye limitado lateralmente pelos planos coordenados e pelo cilindro x y 2y Fundagao CECIERJ Consércio CEDERJ