Álgebra Linear

58 03 03 07 56 19 35 20 CEFETRJ Maria da Graça Disciplina Álgebra Linear Curso Sistemas de Informação Bacharelado Profa Patricia Manso 2ª AVALIAÇÃO DE ÁLGEBRA LINEAR 1 10 pt Sejam u 210 1 v 2302 e w 0040 vetores do R4 Encontre escalares reais a b e c tais que au bv cw 8847 2 12 pt Dados os vetores do R3 u1 4 21 u2 35 2 e u3 11126 a Verifique que os vetores são ortogonais entre si ou seja formam um conjunto ortogonal 03 pt b Obtenha os vetores unitários correspondentes a u1 u2 e u3 03 pt c Mostre que u1 x u2 resulta num vetor paralelo a u3 03 pt d Determine cos θ onde θ é o menor ângulo entre u1 e w onde w u2 2u3 03 pt 3 12 pt Determine x tal que proj u1 u 213 326 126 onde u1 11x e u 4 3 1 Após isto encontre a projeção ortogonal de u1 em relação a u 4 12 pt O espaço vetorial euclidiano Rn é o conjunto de todos os vetores w w1 w2 wn onde w1 w2 wn podem ser números reais quaisquer Uma base u1 u2 un de um espaço vetorial Rn é um conjunto de vetores dentro deste espaço que É capaz de gerar qualquer vetor deste espaço ou seja qualquer vetor dele pode ser escrito como combinação linear dos vetores que formam a base É um conjunto Linearmente Independente LI ou seja nenhum dos vetores desse conjunto podem ser escritos como combinação linear dos demais Essa condição se traduz em verificarse que c1 u1 c2 u2 cn un 0 0 0 é satisfeita se e somente se c1 0 c20 cn0 ou seja os coeficientes da combinação linear dos vetores do conjunto são todos nulos Caso contrário dizemos que o conjunto é Linearmente Dependente LD e o conjunto não é uma base de Rn Além disso o número de vetores que formam uma base de Rn é chamada dimensão do espaço vetorial Para o R4 a dimensão é n pois uma base deste espaço possui n vetores A base canônica do R3 é o conjunto de 3 vetores 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Sabemos que qualquer vetor do R3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores dessa base Por exemplo o vetor 7 4 2 pode ser escrito como a combinação linear 7 4 2 7u1 4u2 2u3 Um espaço vetorial não tem uma única base a canônica é uma delas Seja o conjunto de vetores u1 u2 u3 0 1 2 1 1 1 0 2 0 do R3 a Uma vez que saibamos que esses vetores geram qualquer vetor de R3 mostre que este conjunto de vetores é uma base do R3 provando que ele é um conjunto Linearmente Independente LI 06 pt b Mostre que o vetor 25 u1 7u2 14 u3 tratase do mesmo vetor que 7 4 2 do exemplo do enunciado porém escrito em termos dos vetores da base u1 u2 u3 06 pt 5 12 pt Podemos trabalhar com as transformações lineares na criptografia associando um número para cada letra do alfabeto como por exemplo A B C D E F G H I J K L M 1 4 7 3 2 5 8 2 6 9 12 15 10 N O P Q R S T U V W X Y Z 3 11 17 4 0 13 25 29 30 1 5 22 35 Por exemplo para a palavra BATATA separamos as suas letras dois a dois e obtemos três blocos BA TA e TA Se escrevemos cada bloco na forma de matrizescoluna de duas entradas onde cada entrada é o número correspondente à letra de cada bloco na ordem dada temos BA 4 1 TA 25 1 TA 25 1 Considere agora o operador linear TA R2 R2 dado por TAX AX onde A 1 3 1 2 é chamada de matriz codificadora matriz canônica da transformação Se quisermos criptografar o 2º bloco acima por exemplo podemos fazer TAX AX TAX 1 3 1 225 1 22 27 que equivale ao bloco criptografado 22 27 Portanto o bloco TA quando criptografado aparecerá como 22 27 na mensagem a palavra BATATA quando criptografada aparecerá como 01 06 22 27 22 27 Supondo que a Profa de Álgebra Linear tenha escrito para seus alunos com a matriz codificadora A acima a seguinte mensagem criptografada e ela escreveu mesmo veja o topo da primeira folha acima do cabeçalho 58 03 03 07 56 19 35 20 descubra a mensagem verdadeira que foi criptografada 6 06 pt Parte I Use multiplicação vetorial para encontrar a imagem do vetor v 0 1 0 quando for girado por a 90º em torno do eixo x 03 pt b 90º em torno do eixo y 03pt 6 06 pt Parte II Mostre que fazer uma rotação de 90º em torno do eixo x seguida de uma rotação de 90º em torno do eixo y no vetor v 0 1 0 é equivalente a fazer uma única rotação de 90º em torno do eixo z no mesmo vetor