Álgebra Linear

Exercícios 1 30 pontos Em uma empresa de tecnologia foi realizado um estudo para prever o tempo médio de resposta Y em milissegundos de um servidor a partir de dois fatores explicativos o número de requisições simultâneas X1 e a carga média de CPU em percentual X2 Foram coletadas três observações experimentais Observação X1 X2 Y ms 1 2 1 7 2 1 2 6 3 1 1 5 Desejase ajustar um modelo linear para prever Y a partir de X1 e X2 O sistema linear correspondente pode ser representado na forma matricial A x b onde A X1 X2 e b Y com x β1 β2 representando os coeficientes do modelo linear Apresente a decomposição QR da matriz A e utilize essa decomposição para encontrar a solução de mínimos quadrados do sistema A x b ou seja o vetor x β1 β2 que melhor estima o tempo de resposta Y em função dos fatores X1 e X2 2 25 pontos Considere o conjunto β v1 v2 v3 de vetores de R3 definidos por v1 102 v2 2 1 1 v3 0 2 3 Verifique que β é uma base de R3 e a partir dela obtenha uma base ortogonal β q1 q2 q3 de R3 em relação ao produto interno usual e em seguida uma base ortonormal β q1 q2 q3 3 25 pontos Considere um triângulo no espaço R3 onde seus lados são definidos pelos vetores u 120 v 013 e w u v Considere ainda que o espaço vetorial R3 está munido de um produto interno Ω R3 x R3 R definido por Ωab 2a1b1 3a2b2 a3b3 Calcule o comprimento de cada um dos lados do triângulo em relação ao produto interno Ω e cada um dos três ângulos internos θ 4 20 pontos Seja o espaço vetorial R4 munido do produto interno usual e seja β uma a base ortonormal de R4 dada por β 12121212 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 Obtenha as coordenadas dos vetores w1 3 1 5 9 e w2 11 3 1 3 na base β QUESTÃO 1 Em uma empresa de tecnologia pretendese ajustar um modelo linear para prever o tempo de resposta Y em função do número de requisições simultâneas X1 e da carga média de CPU X2 Com três observações experimentais podese escrever o sistema na forma matricial A 2 1 1 2 1 1 x β1 β2 b 7 6 5 e buscase a solução de mínimos quadrados de A x b A decomposição QR permite transformar esse problema na resolução de um sistema triangular sem formar diretamente AT A Os vetores coluna de A são a1211T e a2121T Pelo processo de GramSchmidt obtêmse vetores ortonormais q1 e q2 e a matriz triangular superior R tais que AQ R Calculase primeiro r11a12²1²1²6 q1 a1r11 16 2 1 1 O termo r12q1T a2 vale r12 16 211211 56 Subtraise a projeção de a2 em q1 para obter o componente ortogonal u2a2r12 q1 1 2 1 56 16 2 1 1 23 76 16 O comprimento de u2 é r22 u2 23²76²16² 666 e o vetor q2 u2r22 666 23 76 16 166 4 7 1 Assim surge Q 26 466 16 766 16 166 R 6 56 0 666 Para encontrar o vetor x resolvese R x QTb Primeiro calculase QTb q1Tb q2Tb 16 271615 166 477615 256 61966 O segundo equacionamento triangular dá 666 β2 1966 β2 1911 Substituindo na primeira linha 6 β1 56 1911 256 6 β1 25 9511 18011 β1 3011 O estimador de mínimos quadrados fica portanto β1 3011 β2 1911 e o modelo ajustado é q 3011 x1 1911 x2 QUESTÃO 2 Verificase inicialmente que os vetores v1 102 v2 211 v3 023 não linearmente independentes calculando o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores det 1 2 0 0 1 2 2 1 3 1 13 21 2 03 22 0 5 2 4 3 0 o que confirma que v1v2v3 é base de R3 Aplicase então o processo de GramSchmidt no produto interno usual para obter uma base ortogonal q1q2q3 Começase por u1v1 u11²0²2²5 q1 u1u1 15 0 25 Projetase v2 sobre q1 a calculase r12q1v245 2 25145 de onde u2 v2 r12 q1 211 45 15 0 25 65135 O comprimento de u2 é u2 65² 1² 35² 7025 705 e então q2 u2u2 570 65135 670 570 370 Projetase v3 nas direções de q1 e q2 q1v315 0 25 3 65 q2v3670 0 570 2 370 3 1970 Dessa forma u3 v3 65 q1 1970 q2 37 914 314 O comprimento de u3 é u3 37² 914² 314² 914 314 portanto q3 u3u3 143 37 914 314 147 31414 1414 Obtémse assim a base ortogonal β q1q2q3 a a base ortonormal normalizando cada q1 já estão normalizados ou seja β 15025 670 570 370 147 31414 1414 QUESTÃO 3 Considerase o triângulo cujos vértices são O000 U tal que OU u 120 e V tal que OV v 013 O terceiro lado é UV w u v 113 O produto interno é dado por Ωab 2 a1b1 3 a2 b2 4 a3 b3 Para o comprimento de cada lado calculase u Ωuu 21² 32² 40² 14 v Ωvv 20² 31² 43² 42 23 w Ωww 21² 31² 43² 14 Os três ângulos internos correspondem a o ângulo no vértice O entre os vetores u e v o ângulo em U entre u a VU w o ângulo em V entre v a UV w No vértice O a fórmula do cosseno dá cos θ0 Ωuv u v 210 321 403 14 23 6 242 3 42 portanto θ0 arccos 3 42 No vértice U obtémse cos θU Ωuw u w Ωuw 14 14 814 47 e assim θU arccos 47 No vértice V surge cos θV Ωv w v w Ωv w 23 14 6242 3 42 de modo que θV arccos 3 42 Em graus esses valores valem aproximadamente θ0624 θU552 θV624 confirmando que a soma θ0 θU θV é 180 QUESTÃO 4 Considerase que em uma base ortonormal as coordenadas de um vetor w são dadas pelos produtos internos weI com cada vetor da base Aqui a base β e1 e2 e3 e4 é e1 12 12 12 12 e2 12 12 12 12 e3 12 12 12 12 e4 12 12 12 12 Para w13159 calculase w1 e1 12 31591829 w1 e2 12 3159 102 5 w1 e3 12 3159 22 1 w1 e4 12 3159 62 3 Logo as coordenadas de w1 em β são w1β 9 5 1 3 Para w2 11313 procedese de modo análogo w₂ e₁ 4214313 182 9 w₂ e₂ 4214313 102 5 w₂ e₃ 4214313 62 3 w₂ e₄ 4214313 102 5 Portanto as coordenadas de w₂ em β são w₂β 9 5 3 5