Aula 8 - Derivadas: Retas Secantes e Tangentes

Calculo Diferencial e Integral I Aula 8 Derivadas Turma Online Prof Rogerio Mol Universidade Federal de Minas Gerais 1o semestre 2020 Retas secantes Seja f I R R uma funcao onde I e intervalo Fixe a I A reta secante que passa pelos pontos P a f a e Q x f x com x a tem inclinacao mPQ f x f a x a Retas secantes Retas tangentes Caso essas retas secantes tenham uma reta limite quando x se aproxima de a essa reta limite e chamada de reta tangente ao grafico de f Isso equivale a pedir que as inclinacoes mPQ f xf a xa tenham um limite m quando x se aproxima de a Temos entao Definicao A reta tangente ao grafico y f x no ponto P a f a e a reta que passa por P com inclinacao m lim xa f x f a x a desde que o limite exista Retas tangentes Caso essas retas secantes tenham uma reta limite quando x se aproxima de a essa reta limite e chamada de reta tangente ao grafico de f Isso equivale a pedir que as inclinacoes mPQ f xf a xa tenham um limite m quando x se aproxima de a Temos entao Definicao A reta tangente ao grafico y f x no ponto P a f a e a reta que passa por P com inclinacao m lim xa f x f a x a desde que o limite exista Retas tangentes Retas tangentes Exemplo Reta tangente a y x2 no ponto P 1 1 Solucao Neste caso temos a 1 e f x x2 Logo a inclinacao da reta tangente e lim x1 f x f 1 x 1 lim x1 x2 1 x 1 lim x1 x 1x 1 x 1 lim x1x 1 1 1 2 Portanto a equacao da reta tangente e dada por y f a mx a y 1 2x 1 y 2x 1 Retas tangentes Exemplo Reta tangente a y x2 no ponto P 1 1 Solucao Neste caso temos a 1 e f x x2 Logo a inclinacao da reta tangente e lim x1 f x f 1 x 1 lim x1 x2 1 x 1 lim x1 x 1x 1 x 1 lim x1x 1 1 1 2 Portanto a equacao da reta tangente e dada por y f a mx a y 1 2x 1 y 2x 1 Exemplо Reta tangente a y 1x no ponto P 11 Retas tangentes Velocidade Suponha que f t descreva a posicao em funcao do tempo de uma partıcula se deslocando em uma reta No intervalo de tempo entre t a e t a h correspondendo a uma variacao no tempo igual a h 0 a variacao da posicao sera de f a h f a A velocidade media dessa partıcula nesse intervalo sera velocidade media deslocamento tempo f a h f a h A velocidade instantˆanea dessa partıcula em t a e o limite dessas velocidades medias quando o comprimento h do intervalo de tempo tende a zero va lim h0 f a h f a h caso o limite exista Fazendo t a h h t a podemos tambem escrever esse limite como va lim ta f t f a t a Assim a velocidade instantˆanea coincide com a inclinacao da reta tangente ao grafico y f t da funcao deslocamento Velocidade Suponha que f t descreva a posicao em funcao do tempo de uma partıcula se deslocando em uma reta No intervalo de tempo entre t a e t a h correspondendo a uma variacao no tempo igual a h 0 a variacao da posicao sera de f a h f a A velocidade media dessa partıcula nesse intervalo sera velocidade media deslocamento tempo f a h f a h A velocidade instantˆanea dessa partıcula em t a e o limite dessas velocidades medias quando o comprimento h do intervalo de tempo tende a zero va lim h0 f a h f a h caso o limite exista Fazendo t a h h t a podemos tambem escrever esse limite como va lim ta f t f a t a Assim a velocidade instantˆanea coincide com a inclinacao da reta tangente ao grafico y f t da funcao deslocamento Velocidade Suponha que f t descreva a posicao em funcao do tempo de uma partıcula se deslocando em uma reta No intervalo de tempo entre t a e t a h correspondendo a uma variacao no tempo igual a h 0 a variacao da posicao sera de f a h f a A velocidade media dessa partıcula nesse intervalo sera velocidade media deslocamento tempo f a h f a h A velocidade instantˆanea dessa partıcula em t a e o limite dessas velocidades medias quando o comprimento h do intervalo de tempo tende a zero va lim h0 f a h f a h caso o limite exista Fazendo t a h h t a podemos tambem escrever esse limite como va lim ta f t f a t a Assim a velocidade instantˆanea coincide com a inclinacao da reta tangente ao grafico y f t da funcao deslocamento Derivadas Seja f I R R uma funcao Definicao A derivada de f no ponto a I e o numero f a lim xa f x f a x a caso o limite exista Nesse caso dizemos que f e derivavel ou diferenciavel em x a Tambem usamos as seguinte notacoes f a df dx a dy dx a Note que fazendo h x a podemos tambem calcular a derivada da seguinte maneira f a lim h0 f a h f a h Interpretacao geometrica para a derivada f a e a inclinacao da reta tangente ao grafico de f x no ponto a f a Derivadas Seja f I R R uma funcao Definicao A derivada de f no ponto a I e o numero f a lim xa f x f a x a caso o limite exista Nesse caso dizemos que f e derivavel ou diferenciavel em x a Tambem usamos as seguinte notacoes f a df dx a dy dx a Note que fazendo h x a podemos tambem calcular a derivada da seguinte maneira f a lim h0 f a h f a h Interpretacao geometrica para a derivada f a e a inclinacao da reta tangente ao grafico de f x no ponto a f a Derivadas Seja f I R R uma funcao Definicao A derivada de f no ponto a I e o numero f a lim xa f x f a x a caso o limite exista Nesse caso dizemos que f e derivavel ou diferenciavel em x a Tambem usamos as seguinte notacoes f a df dx a dy dx a Note que fazendo h x a podemos tambem calcular a derivada da seguinte maneira f a lim h0 f a h f a h Interpretacao geometrica para a derivada f a e a inclinacao da reta tangente ao grafico de f x no ponto a f a Derivadas Seja f I R R uma funcao Definicao A derivada de f no ponto a I e o numero f a lim xa f x f a x a caso o limite exista Nesse caso dizemos que f e derivavel ou diferenciavel em x a Tambem usamos as seguinte notacoes f a df dx a dy dx a Note que fazendo h x a podemos tambem calcular a derivada da seguinte maneira f a lim h0 f a h f a h Interpretacao geometrica para a derivada f a e a inclinacao da reta tangente ao grafico de f x no ponto a f a Derivadas Exemplo Calcule a derivada de f x x2 no ponto x a Solucao Por definicao esta derivada e o limite lim xa f x f a x a lim xa x2 a2 x a lim xa x ax a x a lim xax a a a 2a Logo f a 2a Derivadas Exemplo Calcule a derivada de f x x2 no ponto x a Solucao Por definicao esta derivada e o limite lim xa f x f a x a lim xa x2 a2 x a lim xa x ax a x a lim xax a a a 2a Logo f a 2a Derivadas Derivadas Exemplo fx x é diferenciável em x 0 Exemplo fx x é diferenciável em x 0 Solução Não De fato temos fx x se x 0 x se x 0 Assim lim x0 fx f0 x 0 x x lim x0 x x lim x0 1 1 e lim x0 fx f0 x 0 lim x0 x x lim x0 x x lim x0 1 1 Logo não existe lim x0 fx f0 x 0 e portanto fx não é diferenciável em x 0 Taxas de variacao Seja f I R R uma funcao descrevendo a variavel y como funcao da variavel x Fixe a I A cada incremento na variavel x x x a com x 0 corresponde um incremento na variavel y y f x f a A razao entre esses incrementos e chamada de taxa de variacao media taxa de variacao media y x f x f a x a A taxa de variacao media corresponde a inclinacao da reta secante ao grafico de f x que passa pelos pontos a f a e x f x com x a a velocidade media quando f e a funcao deslocamento em relacao ao tempo x de uma partıcula se movendo em uma reta Taxas de variacao Seja f I R R uma funcao descrevendo a variavel y como funcao da variavel x Fixe a I A cada incremento na variavel x x x a com x 0 corresponde um incremento na variavel y y f x f a A razao entre esses incrementos e chamada de taxa de variacao media taxa de variacao media y x f x f a x a A taxa de variacao media corresponde a inclinacao da reta secante ao grafico de f x que passa pelos pontos a f a e x f x com x a a velocidade media quando f e a funcao deslocamento em relacao ao tempo x de uma partıcula se movendo em uma reta Taxas de variacao Seja f I R R uma funcao descrevendo a variavel y como funcao da variavel x Fixe a I A cada incremento na variavel x x x a com x 0 corresponde um incremento na variavel y y f x f a A razao entre esses incrementos e chamada de taxa de variacao media taxa de variacao media y x f x f a x a A taxa de variacao media corresponde a inclinacao da reta secante ao grafico de f x que passa pelos pontos a f a e x f x com x a a velocidade media quando f e a funcao deslocamento em relacao ao tempo x de uma partıcula se movendo em uma reta Taxas de variacao A taxa de variacao instantˆanea de uma funcao f x em x a e o limite das taxas de variacao media quando x 0 ou seja quando x a taxa de variacao instantˆanea lim x0 y x lim xa f x f a x a desde que o limite exista A taxa de variacao instantˆanea e igual a derivada f a df dx a A taxa de variacao instantˆanea corresponde a inclinacao da reta tangente ao grafico de f x no ponto a f a a velocidade instantˆanea quando f e a funcao deslocamento em relacao ao tempo x de uma partıcula se movendo em uma reta Taxas de variacao A taxa de variacao instantˆanea de uma funcao f x em x a e o limite das taxas de variacao media quando x 0 ou seja quando x a taxa de variacao instantˆanea lim x0 y x lim xa f x f a x a desde que o limite exista A taxa de variacao instantˆanea e igual a derivada f a df dx a A taxa de variacao instantˆanea corresponde a inclinacao da reta tangente ao grafico de f x no ponto a f a a velocidade instantˆanea quando f e a funcao deslocamento em relacao ao tempo x de uma partıcula se movendo em uma reta Taxas de variacao A taxa de variacao instantˆanea de uma funcao f x em x a e o limite das taxas de variacao media quando x 0 ou seja quando x a taxa de variacao instantˆanea lim x0 y x lim xa f x f a x a desde que o limite exista A taxa de variacao instantˆanea e igual a derivada f a df dx a A taxa de variacao instantˆanea corresponde a inclinacao da reta tangente ao grafico de f x no ponto a f a a velocidade instantˆanea quando f e a funcao deslocamento em relacao ao tempo x de uma partıcula se movendo em uma reta Derivada e continuidade Proposicao Se f e diferenciavel em a entao f e contınua em a Demonstracao Para x a temos f x f a f x f a x a x a Logo lim xaf x f a lim xa f x f a x a lim xax a f a 0 0 Portanto lim xa f x f a o que equivale a dizer que f e contınua em a A recıproca desse resultado nao e verdadeira uma funcao f x contınua em x a pode nao ser diferenciavel nesse ponto Esse e o caso por exemplo de f x x em x 0 Derivada e continuidade Proposicao Se f e diferenciavel em a entao f e contınua em a Demonstracao Para x a temos f x f a f x f a x a x a Logo lim xaf x f a lim xa f x f a x a lim xax a f a 0 0 Portanto lim xa f x f a o que equivale a dizer que f e contınua em a A recıproca desse resultado nao e verdadeira uma funcao f x contınua em x a pode nao ser diferenciavel nesse ponto Esse e o caso por exemplo de f x x em x 0 Derivada e continuidade Proposicao Se f e diferenciavel em a entao f e contınua em a Demonstracao Para x a temos f x f a f x f a x a x a Logo lim xaf x f a lim xa f x f a x a lim xax a f a 0 0 Portanto lim xa f x f a o que equivale a dizer que f e contınua em a A recıproca desse resultado nao e verdadeira uma funcao f x contınua em x a pode nao ser diferenciavel nesse ponto Esse e o caso por exemplo de f x x em x 0 A funcao derivada A funcao f I R R e derivavel ou diferenciavel se existir a derivada f a para todo a I Nesse caso temos uma nova funcao f I R R a funcao derivada definida como f x df dx x lim h0 f x h f x h Segue da proposicao anterior que uma funcao diferenciavel e contınua A funcao derivada A funcao f I R R e derivavel ou diferenciavel se existir a derivada f a para todo a I Nesse caso temos uma nova funcao f I R R a funcao derivada definida como f x df dx x lim h0 f x h f x h Segue da proposicao anterior que uma funcao diferenciavel e contınua A funcao derivada Exemplo Pelos exemplos anteriores temos f x x2 f x 2x f x 1x f x 1x2 A funcao derivada Exemplo Encontre f x para f x x3 Solucao Calculamos o seguinte limite lim xa f x f a x a lim xa x3 a3 x a lim xa x ax2 ax a2 x a lim xax2 ax a2 a2 a2 a2 3a2 Logo f x 3x2 A funcao derivada Exemplo Encontre f x para f x x3 Solucao Calculamos o seguinte limite lim xa f x f a x a lim xa x3 a3 x a lim xa x ax2 ax a2 x a lim xax2 ax a2 a2 a2 a2 3a2 Logo f x 3x2 Exemplo Encontre fx para fx x A função derivada Derivadas de ordem superior Derivadas de ordem superior Exemplo Encontre f x para f x x3 Solucao Queremos calcular f x onde f x 3x2 e a funcao derivada que ja calculamos Temos lim xa f x f a x a lim xa 3x2 3a2 x a 3 lim xa x2 a2 x a 32a 6a Logo f x f x 3x2 6x Derivadas de ordem superior Exemplo Encontre f x para f x x3 Solucao Queremos calcular f x onde f x 3x2 e a funcao derivada que ja calculamos Temos lim xa f x f a x a lim xa 3x2 3a2 x a 3 lim xa x2 a2 x a 32a 6a Logo f x f x 3x2 6x Derivadas de ordem superior Derivadas de ordem superior Exemplo Encontre f x para f x x3 Solucao Queremos calcular agora f x f x 6x Assim pela definicao de derivada lim xa f x f a x a lim xa 6x 6a x a 6 lim xa x a x a 6 lim xa 1 61 6 Portanto f x 6 Derivadas de ordem superior Exemplo Encontre f x para f x x3 Solucao Queremos calcular agora f x f x 6x Assim pela definicao de derivada lim xa f x f a x a lim xa 6x 6a x a 6 lim xa x a x a 6 lim xa 1 61 6 Portanto f x 6