Regra da Cadeia - Cálculo Diferencial e Integral I

Calculo Diferencial e Integral I Aula 11 Regra da Cadeia Turma Online Prof Rogerio Mol Universidade Federal de Minas Gerais 1o semestre 2020 Regra da cadeia Considere duas funcoes reais f e g tais que a funcao composta g f esta definida ou seja o conjunto imagem de f esta contido no domınio de g Seja x um ponto no domınio de f e considere u f x no domınio de g Temos gu gf x g f x A regra da cadeia diz que se f e derivavel em x e g e derivavel em u f x entao a funcao composta g f e derivavel em x Regra da cadeia Considere duas funcoes reais f e g tais que a funcao composta g f esta definida ou seja o conjunto imagem de f esta contido no domınio de g Seja x um ponto no domınio de f e considere u f x no domınio de g Temos gu gf x g f x A regra da cadeia diz que se f e derivavel em x e g e derivavel em u f x entao a funcao composta g f e derivavel em x Regra da Cadeia Um outro ponto da regra da cadeia diz respeito ao calculo da derivada da funcao composta g f x d dx g f x Lembrando que u f x temos a seguinte expressao para o calculo da derivada da funcao composta d dx g f x dg du f x du dx x Ou seja devivamos g em relacao a sua variavel u essa derivada e calculada em f x e multiplicamos pela derivada de u f x em relacao a variavel x calculada no ponto x Regra da Cadeia Um outro ponto da regra da cadeia diz respeito ao calculo da derivada da funcao composta g f x d dx g f x Lembrando que u f x temos a seguinte expressao para o calculo da derivada da funcao composta d dx g f x dg du f x du dx x Ou seja devivamos g em relacao a sua variavel u essa derivada e calculada em f x e multiplicamos pela derivada de u f x em relacao a variavel x calculada no ponto x Regra da Cadeia Essencialmente a formula anterior nos diz que a derivada da funcao composta g f e o produto das derivadas das duas funcoes g e f cada uma delas calculada no ponto apropriado d dx g f x dg du f x df dx ou equivalentemente g f x g f x f x Regra da cadeia Exemplo Se Fx x2 1 x2 1 1 2 calcule F x Solucao Fazemos u x2 1 Entao du dx 2x e d dx Fx d dx u 1 2 d du u 1 2 d dx u 1 2u 1 2 2x 1 2x2 1 1 2 2x x x2 1 1 2 Exemplo Derive a y senx2 e b y sen2x Solucao a Fazemos u x2 Entao du dx x e dy dx d dx senu d du senu du dx cosu 2x 2x cosx2 b Nesse caso y senx2 Fazemos u senx Assim du dx cos x e dy dx d dx u2 d du u2 du dx 2u cos x 2senx cos x Regra da cadeia Exemplo Se Fx x2 1 x2 1 1 2 calcule F x Solucao Fazemos u x2 1 Entao du dx 2x e d dx Fx d dx u 1 2 d du u 1 2 d dx u 1 2u 1 2 2x 1 2x2 1 1 2 2x x x2 1 1 2 Exemplo Derive a y senx2 e b y sen2x Solucao a Fazemos u x2 Entao du dx x e dy dx d dx senu d du senu du dx cosu 2x 2x cosx2 b Nesse caso y senx2 Fazemos u senx Assim du dx cos x e dy dx d dx u2 d du u2 du dx 2u cos x 2senx cos x Regra da cadeia Exemplo Se Fx x2 1 x2 1 1 2 calcule F x Solucao Fazemos u x2 1 Entao du dx 2x e d dx Fx d dx u 1 2 d du u 1 2 d dx u 1 2u 1 2 2x 1 2x2 1 1 2 2x x x2 1 1 2 Exemplo Derive a y senx2 e b y sen2x Solucao a Fazemos u x2 Entao du dx x e dy dx d dx senu d du senu du dx cosu 2x 2x cosx2 b Nesse caso y senx2 Fazemos u senx Assim du dx cos x e dy dx d dx u2 d du u2 du dx 2u cos x 2senx cos x Regra da cadeia Exemplo Se Fx x2 1 x2 1 1 2 calcule F x Solucao Fazemos u x2 1 Entao du dx 2x e d dx Fx d dx u 1 2 d du u 1 2 d dx u 1 2u 1 2 2x 1 2x2 1 1 2 2x x x2 1 1 2 Exemplo Derive a y senx2 e b y sen2x Solucao a Fazemos u x2 Entao du dx x e dy dx d dx senu d du senu du dx cosu 2x 2x cosx2 b Nesse caso y senx2 Fazemos u senx Assim du dx cos x e dy dx d dx u2 d du u2 du dx 2u cos x 2senx cos x Regra da cadeia Se gu un for uma funcao potˆencia de forma que Fx g f x f xn temos fazendo u f x d dx f xn d du un d dx u nun1f x nf xn1f x Temos a seguinte regra d dx f xn nf xn1f x Regra da cadeia Exemplo Derive y x 1 Regra da cadeia Exemplo Derive y x 1 Solucdo Fazendo u x 1 temos gu 3x Logo dy d too du 9932 273 99 ak due oe u3x 300xx Regra da cadeia Exemplo Derive y x 1 Solucdo Fazendo u x3 1 temos gu 3x2 Logo dy d oo du 992 23 99 100 1 ak due oe u3x 300xx Exemplo Derive y 2x 19x x 1 Regra da cadeia Exemplo Derive y x 100 Solucdo Fazendo u x3 1 temos gu 3x2 Logo dy d 100 du 9932 23 99 100u3x 300 1 dx du dx vo x Exemplo Derive y 2x 1x x 1 Solucao Devemos primeiro usar a regra do produto para depois usar a regra da cadeia y 2x 19 8 x 418 2x 41 08 x 14 Calculando as derivadas na expressdo anterior y 52x 142 x9x142x1 4x x 133x 1 Regra da cadeia Seja fx a onde a 0 é uma constante com a 1 Lembramos que a e Fazendo u x Ina d x d x Ina xIna a e e na dx dx Seo ae Regra da cadeia Seja fx a onde a 0 é uma constante com a 1 Lembramos que a e Fazendo u x Ina a x oF xina exina Ina dx dx Seo dev du du dx Portanto d x x x 3 Regra da cadeia Exemplo Derive f x sencostan x Solucao Devemos aplicar a regra da cadeia duas vezes f x coscostan x d dx costan x coscostan xsentan x d dx tan x coscostan xsentan x sec2 x Regra da cadeia Exemplo Derive f x sencostan x Solucao Devemos aplicar a regra da cadeia duas vezes f x coscostan x d dx costan x coscostan xsentan x d dx tan x coscostan xsentan x sec2 x Regra da cadeia Exemplo Derive f θ esec3θ Solucao Novamente aplicamos a regra da cadeia duas vezes dy dθ esec3θ d dθsec3θ esec3θ sec3θ tan3θ d dθ3θ esec3θ sec3θ tan3θ3 Regra da cadeia Exemplo Derive f θ esec3θ Solucao Novamente aplicamos a regra da cadeia duas vezes dy dθ esec3θ d dθsec3θ esec3θ sec3θ tan3θ d dθ3θ esec3θ sec3θ tan3θ3