Cálculo Diferencial e Integral I - Aula 9: Regras de Derivação

Calculo Diferencial e Integral I Aula 9 Regras de derivacao Turma Online Prof Rogerio Mol Universidade Federal de Minas Gerais 1o semestre 2020 Derivadas Seja f I R R uma funcao A derivada de f no ponto a I caso exista e calculada da seguinte forma f a lim xa f x f a x a lim h0 f a h f a h Assim podemos calcular a funcao derivada fazendo f x df dx x lim h0 f x h f x h Derivadas Seja f I R R uma funcao A derivada de f no ponto a I caso exista e calculada da seguinte forma f a lim xa f x f a x a lim h0 f a h f a h Assim podemos calcular a funcao derivada fazendo f x df dx x lim h0 f x h f x h Calculo de derivadas Funcao constante f x c d dx c 0 Funcao potˆencia f x xn n N Ja vimos que x 1 e x2 2x De mode geral temos d dx xn nxn1 Exemplo a f x x6 a gx x1000 Solucao a f x x6 f x d dx x6 6x61 6x5 b gx x1000 f x d dx x1000 1000x10001 1000x999 Calculo de derivadas Funcao constante f x c d dx c 0 Funcao potˆencia f x xn n N Ja vimos que x 1 e x2 2x De mode geral temos d dx xn nxn1 Exemplo a f x x6 a gx x1000 Solucao a f x x6 f x d dx x6 6x61 6x5 b gx x1000 f x d dx x1000 1000x10001 1000x999 Calculo de derivadas Funcao constante f x c d dx c 0 Funcao potˆencia f x xn n N Ja vimos que x 1 e x2 2x De mode geral temos d dx xn nxn1 Exemplo a f x x6 a gx x1000 Solucao a f x x6 f x d dx x6 6x61 6x5 b gx x1000 f x d dx x1000 1000x10001 1000x999 Calculo de derivadas Funcao constante f x c d dx c 0 Funcao potˆencia f x xn n N Ja vimos que x 1 e x2 2x De mode geral temos d dx xn nxn1 Exemplo a f x x6 a gx x1000 Solucao a f x x6 f x d dx x6 6x61 6x5 b gx x1000 f x d dx x1000 1000x10001 1000x999 Calculo de derivadas Funcao potˆencia em geral f x xn n R e x 0 Provaremos mais adiante que tambem vale a formula d dx xn nxn1 Exemplo a f x 3 x2 a gx 1 x2 Solucao af x 3 x2 x 2 3 f x d dx x 2 3 2 3x 2 3 1 2 3x 1 3 2 3 3x b gx 1 x2 x2 g x d dx x2 2x21 2 x3 Calculo de derivadas Funcao potˆencia em geral f x xn n R e x 0 Provaremos mais adiante que tambem vale a formula d dx xn nxn1 Exemplo a f x 3 x2 a gx 1 x2 Solucao af x 3 x2 x 2 3 f x d dx x 2 3 2 3x 2 3 1 2 3x 1 3 2 3 3x b gx 1 x2 x2 g x d dx x2 2x21 2 x3 Calculo de derivadas Multiplicacao por constante Se f x e derivavel e c R entao d dx cf x c d dx f x Exemplo a f x 3x4 a gx x Solucao a f x 3x4 f x d dx 3x4 3 d dx x4 12x3 b gx x g x d dx x d dx x 1 Calculo de derivadas Multiplicacao por constante Se f x e derivavel e c R entao d dx cf x c d dx f x Exemplo a f x 3x4 a gx x Solucao a f x 3x4 f x d dx 3x4 3 d dx x4 12x3 b gx x g x d dx x d dx x 1 Calculo de derivadas Multiplicacao por constante Se f x e derivavel e c R entao d dx cf x c d dx f x Exemplo a f x 3x4 a gx x Solucao a f x 3x4 f x d dx 3x4 3 d dx x4 12x3 b gx x g x d dx x d dx x 1 Calculo de derivadas Regra da soma Se f x e gx sao derivaveis entao d dx f x gx d dx f x d dx gx Como consequˆencia temos a regra da diferenca se f x e gx sao derivaveis entao d dx f x gx d dx f x d dx gx Calculo de derivadas Regra da soma Se f x e gx sao derivaveis entao d dx f x gx d dx f x d dx gx Como consequˆencia temos a regra da diferenca se f x e gx sao derivaveis entao d dx f x gx d dx f x d dx gx Calculo de derivadas Exemplo f x x8 12x5 4x4 10x3 6x 5 Solucao f x d dx x8 12x5 4x4 10x3 6x 5 d dx x8 d dx 12x5 d dx 4x4 d dx 10x3 d dx 6x d dx 5 d dx x8 12 d dx x5 4 d dx x4 10 d dx x3 6 d dx x d dx 5 8x7 125x4 44x3 103x2 6 8x7 60x4 16x3 30x2 6 Calculo de derivadas Exemplo f x x8 12x5 4x4 10x3 6x 5 Solucao f x d dx x8 12x5 4x4 10x3 6x 5 d dx x8 d dx 12x5 d dx 4x4 d dx 10x3 d dx 6x d dx 5 d dx x8 12 d dx x5 4 d dx x4 10 d dx x3 6 d dx x d dx 5 8x7 125x4 44x3 103x2 6 8x7 60x4 16x3 30x2 6 Calculo de derivadas Exemplo Ache os pontos onde a reta tangente a curva y x4 6x2 4 e horizontal Solucao A inclinacao da reta tangente a y x4 6x2 4 no ponto x y e dada por dy dx Uma reta e horizontal tem inclinacao m 0 Procuramos entao os valores de x tais que dy dx 0 Ou seja dy dx d dx x4 6x2 4 4x3 12x 0 4xx2 3 0 x 0 3 Para x 0 y 04 602 4 4 Para x 3 y 34 6 32 4 5 Para x 3 y 5 Portanto os pontos sao 0 4 3 5 3 5 Calculo de derivadas Exemplo Ache os pontos onde a reta tangente a curva y x4 6x2 4 e horizontal Solucao A inclinacao da reta tangente a y x4 6x2 4 no ponto x y e dada por dy dx Uma reta e horizontal tem inclinacao m 0 Procuramos entao os valores de x tais que dy dx 0 Ou seja dy dx d dx x4 6x2 4 4x3 12x 0 4xx2 3 0 x 0 3 Para x 0 y 04 602 4 4 Para x 3 y 34 6 32 4 5 Para x 3 y 5 Portanto os pontos sao 0 4 3 5 3 5 Calculo de derivadas Solucao continuacao Calculo de derivadas Derivada da exponencial Considere a funcao exponencial na base e 2 7182 ou seja f x ex Temos d dx ex ex Note que f 0 e0 1 A funcao exponencial e caracterizada como sendo a unica funcao f R R que satisfaz f x f x para todo x e f 0 1 Exemplo Em que ponto da curva y ex sua tangente e paralela a reta y 2x Solucao Duas retas sao paralelas se e somente se suas inclinacoes sao iguais Temos d dx ex 2 ex 2 x ln 2 Assim y eln 2 2 e o ponto procurado e ln 2 2 Calculo de derivadas Derivada da exponencial Considere a funcao exponencial na base e 2 7182 ou seja f x ex Temos d dx ex ex Note que f 0 e0 1 A funcao exponencial e caracterizada como sendo a unica funcao f R R que satisfaz f x f x para todo x e f 0 1 Exemplo Em que ponto da curva y ex sua tangente e paralela a reta y 2x Solucao Duas retas sao paralelas se e somente se suas inclinacoes sao iguais Temos d dx ex 2 ex 2 x ln 2 Assim y eln 2 2 e o ponto procurado e ln 2 2 Calculo de derivadas Derivada da exponencial Considere a funcao exponencial na base e 2 7182 ou seja f x ex Temos d dx ex ex Note que f 0 e0 1 A funcao exponencial e caracterizada como sendo a unica funcao f R R que satisfaz f x f x para todo x e f 0 1 Exemplo Em que ponto da curva y ex sua tangente e paralela a reta y 2x Solucao Duas retas sao paralelas se e somente se suas inclinacoes sao iguais Temos d dx ex 2 ex 2 x ln 2 Assim y eln 2 2 e o ponto procurado e ln 2 2 Calculo de derivadas Derivada da exponencial Considere a funcao exponencial na base e 2 7182 ou seja f x ex Temos d dx ex ex Note que f 0 e0 1 A funcao exponencial e caracterizada como sendo a unica funcao f R R que satisfaz f x f x para todo x e f 0 1 Exemplo Em que ponto da curva y ex sua tangente e paralela a reta y 2x Solucao Duas retas sao paralelas se e somente se suas inclinacoes sao iguais Temos d dx ex 2 ex 2 x ln 2 Assim y eln 2 2 e o ponto procurado e ln 2 2 Calculo de derivadas Solucao continuacao Regra do produto Regra do produto Se fx e gx sdo derivaveis entao SlFOda 0 a6 69 Fa Regra do produto Exemplo Se fx xe calcule fx Encontre também uma expressao para fx com n EN Regra do produto Exemplo Se fx xe calcule fx Encontre também uma expressdo para fx com n EN Solucao Pm nl fx Sxe Sxjet xZe e xe P n2 d fx e xe eX mee e xe 2e xe YKS fx Pm n 3 fx 2e xe 2e Sx 2e e xe 3e xe Fx Em cada etapa adicionamos e a etapa anterior Vemos entao que fx nex xe VneN Regra do produto Exemplo Se f x xgx calcule f 4 sabendo que g4 2 e g 4 3 Solucao Aplicamos a regra do produto f x d dx xgx x d dx gx 1 2x 1 2 1gx xg x 1 2x gx xg x Assim f 4 1 2 4 g4 4g 4 1 2 6 13 2 Regra do produto Exemplo Se f x xgx calcule f 4 sabendo que g4 2 e g 4 3 Solucao Aplicamos a regra do produto f x d dx xgx x d dx gx 1 2x 1 2 1gx xg x 1 2x gx xg x Assim f 4 1 2 4 g4 4g 4 1 2 6 13 2 Regra do quociente Regra do quociente Se fx e gx sdo derivaveis entao qd 55 F 8 F Ea dx gx gx Regra do quociente Regra do quociente Se fx e gx sdo derivaveis entao ad 55 F 8 F Ea dx gx gx xex2 Exemplo fx 46 Regra do quociente Regra do quociente Se fx e gx sdo derivaveis entao ad 55 GReFOD 8 F Ke8 dx gx gx xex2 Exemplo fx a6 Solucado Pela regra do quociente temos que Se x 2 x 6 x x 2 Se 6 Fx dx dx GF 6 2x 1x 6 x x 23x OE 2x4 4 x3 12x 6 3x4 3x3 6x FO x 2x3 6x 12x 6 eae Regra do quociente Exemplo f x 3x2 2x x nao vale a pena usar a regra do quociente Solucao f x 3x2 2x x 3x2 x 2x 1 2 x 3x 2x 1 2 Logo f x d dx 3x 2x 1 2 3 21 2x 1 2 1 3 1 x3 Regra do quociente Exemplo f x 3x2 2x x nao vale a pena usar a regra do quociente Solucao f x 3x2 2x x 3x2 x 2x 1 2 x 3x 2x 1 2 Logo f x d dx 3x 2x 1 2 3 21 2x 1 2 1 3 1 x3 Resumo das regras de derivacao c 0 x nxt ex e cf cf fgfie fgf f fig fg fg fg fe 5 3 fg gtfe 2