Derivação Implícita e Funções Implícitas - Aula 12

Calculo Diferencial e Integral I Aula 12 Derivacao implıcita Turma Online Prof Rogerio Mol Universidade Federal de Minas Gerais 1o semestre 2020 Funcoes implicitas Uma equacao envolvendo as variaveis x e y pode definir y como fungdo de x Por exemplo a equacao xe 4 y 25 quando resolvida para y nos da yV25 ee yV25x conseguimos expressar y explicitamente como fundo de x Funcoes implıcitas Nem sempre e simples ou mesmo possıvel obter essa funcao explıcita Como exemplo considere a equacao x3 y 3 6xy Essa equacao define uma curva no plano conhecida como folio de Descartes No entanto em geral fixado um ponto p a b dessa curva a equacao acima define implicitamente y como funcao de x Ou seja para pontos x proximos de a existe uma funcao f x tal que y f x satisfaz x3 f x3 6xf x Localmente perto do ponto p a b a curva definida pela equacao coincide com o grafico y f x Derivacao implicita Quando temos uma funcao definida implicitamente podemos calcular sua derivada mesmo sem conhecer sua expressdo explicita Derivacao implicita Quando temos uma funcdo definida implicitamente podemos calcular sua derivada mesmo sem conhecer sua expressdo explicita Tomemos como exemplo o félio de Descartes definido implicitamente pela equacao xo4 y3 6xy Derivacao implicita Quando temos uma funcdo definida implicitamente podemos calcular sua derivada mesmo sem conhecer sua expressdo explicita Tomemos como exemplo o félio de Descartes definido implicitamente pela equacao x3 y 6xy Sabendo que y é funcdo de x derivamos os dois lados da expressdo acima em relacdo a variavel x d d 3 3 e 6x dx y dx 6xy Derivacao implicita Quando temos uma funcdo definida implicitamente podemos calcular sua derivada mesmo sem conhecer sua expressao explicita Tomemos como exemplo o félio de Descartes definido implicitamente pela equacao x3 y 6xy Sabendo que y é funcdo de x derivamos os dois lados da expressdo acima em relacdo a variavel x d3 3 d 6 a ty ax OY Aplicamos as regras de derivacado conhecidas lembrando que y é uma fundo de x d3 ds 3 dy x 6y 6x dx dx ly y dx Note que no lado direito usamos a regra do produto Derivacao implicita Usando a regra da cadeia lembrando que y é funcdo de x temos d 3 2 dy 3y dx ly Ydx Derivacao implicita Usando a regra da cadeia lembrando que y é fundo de x temos d 13 2 dy 3y dx ly Y dx Substituindo na férmula anterior d d 3x 4 327 6o6y 6x dx dx Derivacao implicita Usando a regra da cadeia lembrando que y é fundo de x temos di 3 2 dy 3y dx ly Y dx Substituindo na férmula anterior dy dy 2 29 oY 3x 3y ox Oy Ox Colocando oy em evidéncia dy 2 6 YW 22 3y 6x ok 6y 3x Derivacao implicita Usando a regra da cadeia lembrando que y é fundo de x temos d 3 2 dy 3y dx y y dx Substituindo na férmula anterior d d 3x 4 327 6o6y 6x dx dx Colocando oy em evidéncia dy 3y 6x by 3x Finalmente obtemos dy 6y 3x 2y x dx 3y26x y2 2x Note que a derivada x é expressa em funcdo tanto de x quanto de y Derivacao implıcita Exemplo Calcule y se senx y y 2 cos x Solucao Derivaremos ambos os lados da igualdade com relacao a x Lembre sempre que aqui y yx Assim d dx senx y d dx y 2 cos x cosx y d dx x y d dx y 2 cos x y 2 d dx cos x cosx y1 y 2yy cos x y 2senx cosx y y cosx y 2yy cos x y 2senx Isolando y obtemos y y 2senx cosx y cosx y 2y cos x Derivacao implıcita Exemplo Calcule y se senx y y 2 cos x Solucao Derivaremos ambos os lados da igualdade com relacao a x Lembre sempre que aqui y yx Assim d dx senx y d dx y 2 cos x cosx y d dx x y d dx y 2 cos x y 2 d dx cos x cosx y1 y 2yy cos x y 2senx cosx y y cosx y 2yy cos x y 2senx Isolando y obtemos y y 2senx cosx y cosx y 2y cos x Derivadas das funcoes trigonométricas inversas Temos que y arcsenx com 1 x 1le72y72 se e somente se seny x Derivadas das funcoes trigonométricas inversas Temos que y arcsenx com 1 x 1le72y72 se e somente se seny x Derivando essa expressdo dos dois lados em relacao a x d d dy ely aX cos y dx donde dy 1 dx cosy Derivadas das funcoes trigonométricas inversas Temos que y arcsenx com 1 x 1le72y72 se e somente se seny x Derivando essa expressdo dos dois lados em relacao a x d d dy ely aX cos y dx donde dy 1 dx cosy Como 12 y 72 temos cos y 0 donde cosy 1sen2y V1 x Derivadas das funcoes trigonométricas inversas Temos que y arcsenx com 1 x 1le72y72 se e somente se seny x Derivando essa expressdo dos dois lados em relacao a x d d dy ely aX cos y ok donde dy 1 dx cosy Como 12 y 72 temos cos y 0 donde cosy 1sen2y V1 x Portanto dy d 1 dx qa aresenx VI xe Derivadas das funcoes trigonométricas inversas Exemplo Calcule z arccos x Derivadas das funcoes trigonométricas inversas Exemplo Calcule z arccos x Solucado Seguindo os mesmos passos anteriores temos y arccosx cosy x com 1x10y7 Derivando implicitamente a segunda igualdade obtemos d d 1 cosyx ysenyl y dx dx seny Mas como y 07 temos seny 0 Assim seny V1cosy V1 x Portanto d x 1 arccosx dx V1 x Derivadas das funcoes trigonometricas inversas Exemplo Calcule d dx arctan x Solucao Como no exemplo anterior y arctan x tan y x Derivando a segunda igualdade com relacao a x obtemos d dx tan y d dx x y sec2 y 1 y 1 sec2 y Usamos a identidade trigonometrica sec2 y tan2 y 1 x2 1 Portanto d dx arctanx 1 1 x2 Derivadas das funcoes trigonometricas inversas Exemplo Calcule d dx arctan x Solucao Como no exemplo anterior y arctan x tan y x Derivando a segunda igualdade com relacao a x obtemos d dx tan y d dx x y sec2 y 1 y 1 sec2 y Usamos a identidade trigonometrica sec2 y tan2 y 1 x2 1 Portanto d dx arctanx 1 1 x2 Derivadas das funcoes logarıtmicas Considere a funcao logaritmo natural base e Temos y ln x x ey Derivando em relacao a x d dx x d dx ey donde 1 ey dy dx dy dx 1 ey 1 x Portanto d dx ln x 1 x Derivadas das funcoes logarıtmicas Para derivar a funcao logarıtmica na base a a 0 e a 1 usamos a formula de mudanca de base loga x ln x ln a Basta entao derivar essa expressao d dx loga x 1 x ln a Derivadas das funcoes logarıtmicas Para derivar a funcao logarıtmica na base a a 0 e a 1 usamos a formula de mudanca de base loga x ln x ln a Basta entao derivar essa expressao d dx loga x 1 x ln a Derivadas das funcoes logaritmicas Exemplo Derive fx Inx 1 Derivadas das funcoes logaritmicas Exemplo Derive fx Inx 1 Solucao Pela regra da cadeia e usando o que acabamos de mostrar d 1 od 3x fx Inx 1 x 1 x nO 1 Sa aa Derivadas das funcoes logaritmicas Exemplo Derive fx Inx 1 Solucao Pela regra da cadeia e usando o que acabamos de mostrar d 1 od 3x fx Inx 1 x 1 x nO 1 Sa aa Exemplo Derive fx VInx Derivadas das funcoes logaritmicas Exemplo Derive fx Inx 1 Solucao Pela regra da cadeia e usando o que acabamos de mostrar d 1 d 3x fx Inx 1 x 1 x nO 1 Sa aa Exemplo Derive fx VInx Solucao Mais uma vez d 1 1 1 d 1 1 2 2 2 fx ay ilnx Fn Sinx 5 lnx 2 ou seja Fx x 2xvV In x Derivadas das funcoes logaritmicas Exemplo Derive fx log2 senx Derivadas das funcoes logaritmicas Exemplo Derive fx log2 senx Solucao d 1 d f log2 Boao dx 08102 senx 2 senx In 10 ax senx COSX 2senxIn 10 Derivadas das funcoes logaritmicas Exemplo Derive fx log2 senx Solucao d 1 d f log2 Boao dx 08102 senx 2 senx In 10 ax senx COSX 2senxIn 10 Exemplo Derive fx In x Derivadas das funcoes logaritmicas Exemplo Derive fx log 2 senx Solucao d 1 d f log2 Boao x x B10 senx es indo ax Sm Ccosx 2senxIn 10 Exemplo Derive fx In x Solucao d 1 d 1 x x x f ES alii Te ae Ging eo xe Sa 1 se x0 1 se x0 logo 1 fx x Derivacao logaritmica A derivacao de fundes que envolvem produtos e poténcias pode ser simplificada tomando logaritmos e derivando em seguida Esse método é chamdo de derivaao logaritmica Derivacao logaritmica A derivacao de fundes que envolvem produtos e poténcias pode ser simplificada tomando logaritmos e derivando em seguida Esse método é chamdo de derivaao logaritmica Consideramos o seguinte exemplo x34x2 4 1 3x 2 Derivacao logaritmica A derivacao de fundes que envolvem produtos e poténcias pode ser simplificada tomando logaritmos e derivando em seguida Esse método é chamdo de derivaao logaritmica Consideramos o seguinte exemplo x34x2 4 1 3x 2 Tomando logaritmos dos dois lados x344x2 4 1 Iny In 3x 2 e simplificando o lado direito obtemos 3 1 5 Iny qinx 5 Inx 1 5In3x 2 Derivacao logaritmica Derivando a expressdo 3 1 Iny q inx 5 nx 1 5In3x 2 Derivacao logaritmica Derivando a expressdo 3 lo Iny q inx 5 Inx 1 5In3x 2 optemos id 311041 1 Y oY 4 oy 5 3 y dx ax 2x41 3x2 ou seja dy 3 x 1 dx a4x 3241 3x42 Derivacao logaritmica Derivando a expressdo 3 1 5 Iny q inx t 5 Inx 1 5In3x 2 obtemos id 311 1 dx 5 1 3 ydx 4x 2x2 41 3x 42 ou seja dy 3 4 x 15 dx 4x x241 3x42 Finalizamos substituindo a expressdo de y dy x4Vx2 41 3 4 15 dx 3x 28 4x x241 3x42 Regra da potˆencia Seja f x xn onde n R e x 0 Vamos usar a derivacao logarıtmica para calcular sua derivada y xn ln y ln xn n ln x Derivando d dx ln y d dx n ln x de onde obtemos 1 y dy dx n x dy dx ny x nxn x nxn1 Portanto para qualquer n R dy dx nxn1 Regra da potˆencia Seja f x xn onde n R e x 0 Vamos usar a derivacao logarıtmica para calcular sua derivada y xn ln y ln xn n ln x Derivando d dx ln y d dx n ln x de onde obtemos 1 y dy dx n x dy dx ny x nxn x nxn1 Portanto para qualquer n R dy dx nxn1 Regra da potˆencia Seja f x xn onde n R e x 0 Vamos usar a derivacao logarıtmica para calcular sua derivada y xn ln y ln xn n ln x Derivando d dx ln y d dx n ln x de onde obtemos 1 y dy dx n x dy dx ny x nxn x nxn1 Portanto para qualquer n R dy dx nxn1 Regra da potˆencia Seja f x xn onde n R e x 0 Vamos usar a derivacao logarıtmica para calcular sua derivada y xn ln y ln xn n ln x Derivando d dx ln y d dx n ln x de onde obtemos 1 y dy dx n x dy dx ny x nxn x nxn1 Portanto para qualquer n R dy dx nxn1 Derivacao logaritmica Exemplo Calcule a derivada de y xv Derivacao logaritmica Exemplo Calcule a derivada de y xv Solugao Calculando o logaritmo em ambos os lados da igualdade temos Iny Inx Recordando que In a bina temos Iny xInx Derivando ambos os lados com relacdo a x obtemos 1 1 1 Inx 1 y yy aR DX VXL aR tT Isolando y e utilizando a expressdo de y em funcdo de x finalmente conclufmos Inx 1 Inx 1 vx a ys e yz O numero e Temos os seguinte limite e lim x01 x1x De fato se f x ln1 x entao f 0 lim x0 f x f 0 x lim x0 ln1 x ln 1 x lim x0 ln1 x1x Por outro lado f x lnx 1 1 x 1 f 0 1 Portanto e e1 elimx0 ln1x1x lim x0 eln1x1x lim x01 x1x O numero e Temos os seguinte limite e lim x01 x1x De fato se f x ln1 x entao f 0 lim x0 f x f 0 x lim x0 ln1 x ln 1 x lim x0 ln1 x1x Por outro lado f x lnx 1 1 x 1 f 0 1 Portanto e e1 elimx0 ln1x1x lim x0 eln1x1x lim x01 x1x