Primitivas em Cálculo Diferencial e Integral I - Aula 20

Calculo Diferencial e Integral I Aula 20 Primitivas Turma Online Prof Rogerio Mol Universidade Federal de Minas Gerais 1o semestre 2020 Primitivas Definicao Seja f I R uma funcao Uma primitiva de f e uma funcao F I R tal que F x f x para todo x I Exemplo f x x primitiva Fx 1 2x2 pois 1 2x2 1 22x x Exemplo De um modo mais geral f x xn com n 1 primitiva Fx 1 n1xn1 pois 1 n1xn1 1 n1n 1xn xn Exemplo f x x1 1 x primitiva Fx ln x pois ln x 1 x Primitivas Definicao Seja f I R uma funcao Uma primitiva de f e uma funcao F I R tal que F x f x para todo x I Exemplo f x x primitiva Fx 1 2x2 pois 1 2x2 1 22x x Exemplo De um modo mais geral f x xn com n 1 primitiva Fx 1 n1xn1 pois 1 n1xn1 1 n1n 1xn xn Exemplo f x x1 1 x primitiva Fx ln x pois ln x 1 x Primitivas Definicao Seja f I R uma funcao Uma primitiva de f e uma funcao F I R tal que F x f x para todo x I Exemplo f x x primitiva Fx 1 2x2 pois 1 2x2 1 22x x Exemplo De um modo mais geral f x xn com n 1 primitiva Fx 1 n1xn1 pois 1 n1xn1 1 n1n 1xn xn Exemplo f x x1 1 x primitiva Fx ln x pois ln x 1 x Primitivas Definicao Seja f I R uma funcao Uma primitiva de f e uma funcao F I R tal que F x f x para todo x I Exemplo f x x primitiva Fx 1 2x2 pois 1 2x2 1 22x x Exemplo De um modo mais geral f x xn com n 1 primitiva Fx 1 n1xn1 pois 1 n1xn1 1 n1n 1xn xn Exemplo f x x1 1 x primitiva Fx ln x pois ln x 1 x Primitivas Definicao Seja f I R uma funcao Uma primitiva de f e uma funcao F I R tal que F x f x para todo x I Exemplo f x x primitiva Fx 1 2x2 pois 1 2x2 1 22x x Exemplo De um modo mais geral f x xn com n 1 primitiva Fx 1 n1xn1 pois 1 n1xn1 1 n1n 1xn xn Exemplo f x x1 1 x primitiva Fx ln x pois ln x 1 x Primitivas Definicao Seja f I R uma funcao Uma primitiva de f e uma funcao F I R tal que F x f x para todo x I Exemplo f x x primitiva Fx 1 2x2 pois 1 2x2 1 22x x Exemplo De um modo mais geral f x xn com n 1 primitiva Fx 1 n1xn1 pois 1 n1xn1 1 n1n 1xn xn Exemplo f x x1 1 x primitiva Fx ln x pois ln x 1 x Primitivas Definicao Seja f I R uma funcao Uma primitiva de f e uma funcao F I R tal que F x f x para todo x I Exemplo f x x primitiva Fx 1 2x2 pois 1 2x2 1 22x x Exemplo De um modo mais geral f x xn com n 1 primitiva Fx 1 n1xn1 pois 1 n1xn1 1 n1n 1xn xn Exemplo f x x1 1 x primitiva Fx ln x pois ln x 1 x Primitivas Proposicao Se F e uma primitiva para f em um intervalo I entao todas as primitivas de f em I sao da forma F c onde c e constante real Demonstracao Suponha que G seja outra primitiva para f em I Entao G x f x e F x f x x I Logo Gx Fx G x F x f x f x 0 x I Portanto existe uma constante c R tal que Gx Fx c donde Gx Fx c como querıamos Primitivas Proposicao Se F e uma primitiva para f em um intervalo I entao todas as primitivas de f em I sao da forma F c onde c e constante real Demonstracao Suponha que G seja outra primitiva para f em I Entao G x f x e F x f x x I Logo Gx Fx G x F x f x f x 0 x I Portanto existe uma constante c R tal que Gx Fx c donde Gx Fx c como querıamos Primitivas Proposicao Sejam F e G primitivas para funcoes f e g em um intervalo I e seja α R uma constante Entao a F G e uma primitiva para f g b αF e uma primitiva para αf Demonstracao Basta observar que a F G F G f g b αF αF αf Primitivas Proposicao Sejam F e G primitivas para funcoes f e g em um intervalo I e seja α R uma constante Entao a F G e uma primitiva para f g b αF e uma primitiva para αf Demonstracao Basta observar que a F G F G f g b αF αF αf Lista de primitivas funcao f x primitiva Fx funcao f x primitiva Fx xn n 1 1 n 1xn1 1 x ln x senx cos x cos x senx sec2x tanx sec x tanx sec x 1 1 x2 arctanx 1 1 x2 arcsenx ex ex Primitivas Exemplo Encontre uma primitiva de 2x fx 4senx axe vx x Primitivas Exemplo Encontre uma primitiva de 2x fx 4senx ext vx x Solucao Temos fx 4 senx 2 x4 x 712 engee7 MY OAS cos x 3x 2x12 Portanto a primitiva procurada é qualquer fundo da forma 25 12 4cosx 5 2x c onde c R é uma constante Primitivas Exemplo Encontre a primitiva Fx de f x ex 20x2 11 tal que F0 2 Solucao Temos que ex ex e arctan x 1 1 x2 Portanto as primitivas de f sao da forma Fx ex 20 arctan x c c R Para determinar a constante c fazemos F0 2 2 F0 e0 20 arctan 0 c 1 c c 3 Primitivas Exemplo Encontre a primitiva Fx de f x ex 20x2 11 tal que F0 2 Solucao Temos que ex ex e arctan x 1 1 x2 Portanto as primitivas de f sao da forma Fx ex 20 arctan x c c R Para determinar a constante c fazemos F0 2 2 F0 e0 20 arctan 0 c 1 c c 3 Primitivas Exemplo Encontre f x sabendo que f x 12x2 6x 4 f 0 4 e f 1 1 Solucao Temos que f x e uma primitiva de f x Assim f x 121 3x3 61 2x2 4x c 4x3 3x2 4x c c R Agora f x e uma primitiva de f x f x 41 4x431 3x341 2x2cxd x4x32x2cxd c d R Usamos as condicoes iniciais para determinar c e d f 0 d 4 e f 1 c d 1 Encontramos c 3 e d 4 Primitivas Exemplo Encontre f x sabendo que f x 12x2 6x 4 f 0 4 e f 1 1 Solucao Temos que f x e uma primitiva de f x Assim f x 121 3x3 61 2x2 4x c 4x3 3x2 4x c c R Agora f x e uma primitiva de f x f x 41 4x431 3x341 2x2cxd x4x32x2cxd c d R Usamos as condicoes iniciais para determinar c e d f 0 d 4 e f 1 c d 1 Encontramos c 3 e d 4 Movimento retilıneo Exemplo Uma bola e lancada para cima com uma velocidade de 15 ms da borda de um penhasco a 140 m acima do solo Encontre a posicao da bola altura acima do solo t segundos apos o lancamento a Quando ela atinge a altura maxima b Quando ela atinge o solo Solucao Vamos denotar por g a aceleracao da gravidade em ms2 Suponhamos que o eixo y esteja orientado verticalmente de baixo para cima com a origem ao nıvel do solo Sela y f t a posicao do objeto no instante t Portanto a aceleracao do objeto e at f t g Sua velocidade e vt f t gt c onde c R Temos v0 15 portanto c 15 Sua posicao e f t 1 2gt2 15t d onde d R Temos f 0 140 portanto d 140 Portanto f t 1 2gt2 15t 140 Movimento retilıneo Exemplo Uma bola e lancada para cima com uma velocidade de 15 ms da borda de um penhasco a 140 m acima do solo Encontre a posicao da bola altura acima do solo t segundos apos o lancamento a Quando ela atinge a altura maxima b Quando ela atinge o solo Solucao Vamos denotar por g a aceleracao da gravidade em ms2 Suponhamos que o eixo y esteja orientado verticalmente de baixo para cima com a origem ao nıvel do solo Sela y f t a posicao do objeto no instante t Portanto a aceleracao do objeto e at f t g Sua velocidade e vt f t gt c onde c R Temos v0 15 portanto c 15 Sua posicao e f t 1 2gt2 15t d onde d R Temos f 0 140 portanto d 140 Portanto f t 1 2gt2 15t 140 Movimento retilineo Solucdo continuaao a A altura maxima é atingida quando vt ft 0 ou seja a gida q j quando t 15s b o objeto atinge o solo quando ft 0 ou seja quando J g J 1 58t 151400 As raizes dessa equacao sao te 15 152 2g x 140 z A unica raiz positiva é p D v15 2g x 140 z