Estudo de Limites na Função f(x) = x^4

CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL ESTUDO DE LIMITES PROFESSOR RAMON PINTO SILVA DOS SANTOS SALES EMAIL SALESRAMON78GMAILCOM Considere a função fx x 4 Se montarmos uma tabela com valores se aproximando de x 1 pela esquerda e pela direita vamos observar de quanto os valores de y irão se aproximar Estudo de limites x y x 4 12 52 11 51 105 505 103 503 101 501 1001 5001 1001 5001 x y x 4 05 45 07 47 085 485 095 495 099 499 0999 4999 09999 49999 Observem que quanto mais se aproxima de 1 mais x se aproxima de 5 𝑥 𝑓 De fato podemos tornar os valores de fx tão próximos de 5 quanto quisermos tornando x suficientemente próximo de 1 Expressamos isso dizendo que o limite da função fx x 4 quando x tende a 1 é igual a 5 A notação para isso é Se prestarmos atenção temos também que para fx x 4 f1 5 ou seja ao substituirmos x 1 na função obtemos o mesmo valor do limite Isso significa que 1 pertence ao domínio da função Será que SEMPRE o valor de x deve pertencer ao domínio de fx para calcularmos o limite VEJAMOS O SEGUINTE EXEMPLO Estime o valor de Observe que a função ao lado não está definida para x 1 Mas isso não importa pois observe pelas tabelas do slide anterior que mesmo assim conseguimos fazer os valores de y se aproximarem de um valor que é 32 quando x se aproximou de 1 Portanto Definição de limite Escrevemos e dizemos limite de fx quando x tende a a é igual a L se podemos tornar os valores de fx arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente próximo de a porém NÃO IGUAL A a LIMITES LATERAIS Escrevemos e dizemos limite à esquerda de fx quando x tende a a é igual a L se podemos tornar os valores de fx arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente próximo de a porém MENOR QUE a Escrevemos e dizemos limite à direita de fx quando x tende a a é igual a L se podemos tornar os valores de fx arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente próximo de a porém MAIOR QUE a O limite de fx para x a existe se e somente se os limites laterais à direita a esquerda são iguais ou seja Exemplo 1 Continuidade de funções Percebemos que o limite de uma função quando x tende a a pode muitas vezes ser encontrado simplesmente calculando o valor da função em a Funções com essa propriedade são chamadas de contínuas em a Observando a definição temos que implicitamente requer três situações para a continuidade de f em a fa está definida ou seja a pertence ao domínio da função existe ou seja Exemplo Limite com indeterminação Anteriormente vimos que não se faz necessário o valor de a pertencer ao domínio da função para se fazer o cálculo de um limite O exemplo visto foi o seguinte Estimar o valor de Ao analisarmos as tabelas da tendência de a quando tende a 1 verificamos que os valores de y tendiam a 15 Sem uso de tabela podemos calcular esse tipo de limite fazendo uso de operações algébricas Para isso devemos simplificar um termo na forma x a chamando INDETERMINAÇÃO que aparece no limite Ao fazer uso dessas operações algébricas conseguimos eliminar um termo na forma x a que chamamos de indeterminação Este termo zera numerador e denominador da fração Vejamos algumas dessas operações PRODUTOS NOTÁVEIS e FATORAÇÃO Racionalização de denominadores ou numeradores Técnica utilizada quando uma fração tem um número irracional no denominador ou numerador e se deseja encontrar uma segunda fração equivalente à primeira fração onde Ao racionalizarmos o denominador não apareça mais número irracional nele Ao racionalizarmos o numerador não apareça mais número irracional nele 1 Quando aparece apenas a raiz quadrada ou um número multiplicado por uma raiz quadrada no numerador ou denominador QUANDO ISSO APARECE NUMA FRAÇÃO O FATOR RACIONALIZANTE TERMO QUE FAZ NÃO APARECER O NÚMERO IRRACIONAL SERÁ SEMPRE A PROPRIA RAIZ QUADRADA 2 Quando aparece uma expressão com raiz quadrada Quando temos uma fração um denominador com uma soma ou subtração o fator racionalizante é o seguinte o fator racionalizante é o fator racionalizante é b o fator racionalizante é b b o fator racionalizante é b a o fator racionalizante é a a o fator racionalizante é a Dispositivo prático de BriotRuffini O dispositivo prático de BriotRuffini é uma forma de dividir um polinômio de grau n 1 por um binômio do 1º grau da forma x a Esse método é uma maneira simples de realizar a divisão entre um polinômio e um binômio uma vez que para realizar essa operação utilizando a definição é bastante trabalhoso EXEMPLO