Tópicos de Trigonometria: Triângulo Retângulo e Suas Relações Métricas

Tópicos de Trigonometria Profa Dra Cristiane Rachel de Paiva Felipe O material de apoio para a presente aula tem como fonte Pereira Santos Júnior A Matemática no Contexto da Área Ciências Agrárias 91 Trigonometria no Triângulo Retângulo O triângulo retângulo tem grande importância na história da Matemática principalmente no que diz respeito ao cálculo de distâncias Para Boyer 1996 no antigo Egito cerca de 3000 ac as enchentes anuais do rio Nilo desfaziam os marcos de delimitação dos campos de plantações que margeavam o rio Por isso depois de cada inundação os agrimensores tinham de remarcar esses campos Contase que esse trabalho era feito com o auxílio de uma corda com 12 nós espaçados igualmente a uma distância d em que eles esticavam sob a forma de um triângulo de lados 3 4 e 5 na unidade d Os esticadores de corda como eram chamados tinham conhecimento de que um triângulo com essas medidas determinava um ângulo reto e desse modo calculavam distâncias e áreas para a demarcação das fronteiras 911 Elementos de um Triângulo Retângulo Considerando o triângulo ABC retângulo em A é possível observar os seguintes elementos 1 Os lados AB e AC são chamados de catetos e suas medidas são c e b respectivamente 2 O lado BC é chamado de hipotenusa e sua medida é a Esse lado sempre será oposto ao ângulo de 90 3 AH é a altura do triângulo ABC relativa à base BC e sua medida é h lembrando que a altura sempre forma ângulo de 90 com a base relativa a ela 4 BH é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa Sua medida é n 5 HC é a projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa Sua medida é m Ao conhecer esses elementos podese destacar as relações métricas que existem entre eles Todo triângulo retângulo pode ser subdividido em outros dois triângulos retângulos traçando a altura h relativa à base a 912 Relações métricas no Triângulo Retângulo As relações métricas são igualdades que relacionam lados altura e projeções ortogonais de um triângulo retângulo sendo elas 1 c2 ma 2 bc ah 3 h2 mn 4 b2 na 5 a2 b2 c2 teorema de Pitágoras 912 Relações métricas no Triângulo Retângulo Exemplo Um grupo de pescadores precisa ir até uma ilha mas antes precisam passar pelos pontos B e C No esquema ao lado a reta AB representa a trajetória do barco e no ponto I localizase a ilha Quando o barco se encontra no ponto A AI 60 km e quando o barco está em B BI48 km Quando o barco estiver em C qual será a distância dele à ilha em quilômetros 912 Relações métricas no Triângulo Retângulo Solução IBh altura AIb ICa ACi Primeiramente vamos aplicar o Teorema de Pitágoras olhando para o triângulo retângulo em B IBA Neste triângulo conhecemos os valores de h IB e b IA e precisamos encontrar o valor de m BA Teorema de Pitágoras a2 b2 c2 912 Relações métricas no Triângulo Retângulo Na sequência vamos calcular o valor de n usando a relação métrica 3 que relaciona o lado n m e h km IBh altura AIb ICa ACi 912 Relações métricas no Triângulo Retângulo Para finalizar e encontrar a distância CI vamos aplicar a relação métrica 2 Logo a distância do barco até a ilha com origem em C é de 80 Km IBh altura AIb ICa ACi 913 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Essas igualdades relacionam razões entre os lados de um triângulo retângulo com um de seus ângulos agudos Para tanto é necessário fixar um dos dois ângulos e observar no triângulo retângulo as definições de cateto oposto e cateto adjacente 913 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Considerando o triângulo retângulo com destaque para o ângulo α 1 BC é o cateto oposto ao ângulo αlpha 2 AC é o cateto adjacente ao ângulo αlpha Considerando o triângulo retângulo com destaque para o ângulo β 1 AC é o cateto oposto ao ângulo β 2 BC é o cateto adjacente ao ângulo β Diante destas informações é possível estabelecer as razões trigonométricas de um triângulo retângulo sendo elas 913 Razões trigonométricas no triângulo retângulo sen α Cateto oposto a α Hipotenusa cos α Cateto adjacente a α Hipotenusa tg α Cateto oposto a α Cateto adjacente a α 913 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Exemplo Em uma propriedade rural o vento quebrou uma árvore durante uma tempestade A copa dessa árvore encosta no solo a 10 metros de sua base Com o intuito de decidir o que fazer com a madeira da árvore um agricultor decidiu calcular sua altura Diante deste contexto sabendo que o ângulo formado entre a copa da árvore e o solo é de 30º determine a altura da árvore EDIGLEV 2012 Adaptado Solução Cateto adjacente 10 m Cateto oposto h altura da árvore Ângulo formado entre a copa da árvore e o solo 30º Relação trigonométrica entre Cateto oposto e hipotenusa tangente de 30º Pelo princípio fundamental da multiplicação onde o produto dos meios é igual o produto dos extremos temos 10 30º 92 Trigonometria em um triângulo qualquer Há uma grande diversidade de problemas que envolvem trigonometria que podem ser resolvidos por meio das relações de triângulos retângulos Porém em alguns contextos não encontramos essas relações estabelecidas pois se apresentam em triângulos acutângulos ou triângulos obtusângulos Nesses casos necessitamos do auxílio da lei dos senos ou dos cossenos 921 Lei dos Senos Segundo Iezzi et al 2016 p 34 as medidas dos lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos respectivos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é igual à medida do diâmetro da circunferência circunscrita a esse triângulo isto é 921 Lei dos Senos Exemplo RIVED A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa dágua a 50 m de distância Sabemos que o ângulo formado pelas direções caixa dágua casa e casa bomba é de 45º e que o ângulo formado pelas direções bomba caixa dágua e caixa dágua casa é de 60º Se pretendermos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa quantos metros de encanamento são necessários 921 Lei dos Senos Solução Vamos considerar casa como vértice A Bomba como vértice B e caixa dágua como vértice C Substituindo os valores na lei dos senos Substituindo os valores de sen 45 e sen 60 Aplicando a relação fundamental da proporção Logo para captar água da bomba até a casa são necessários de cano 922 Lei dos Cossenos Em todo triângulo o quadrado da medida de qualquer lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois menos o dobro do produto da medida desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado IEZZI et al 2016 p38 Logo as relações para a lei dos cossenos estabelecidas para qualquer triângulo ABC são 922 Lei dos Cossenos RIVED Numa fazenda o galpão fica 50 m distante da casa Sejam x e y respectivamente as distâncias da casa e do galpão ao transformador de energia conforme a figura abaixo Deseja se trocar as fiações que levam energia ao transformador tanto até a casa como até o galpão Sabendo que o ângulo α oposto a y é de 35º e que a distância x 68 m quantos metros de fio serão necessários