Introdução às Matrizes e Seus Tipos

71 Nogao de Matriz e Dados dois numeros m e n naturais e nao nulos chamase matriz m por n indicase m x n toda tabela M formada por numeros reais distribuidos em m linhas e n colunas IEZZI e HAZZAN 2013 p45 Exemplos 24 5 8 e matriz 2x3 0 é matriz 3 x 1 3 7 é matriz 2 x 2 71 Nogao de Matriz Segundo lIezzi e Hazzan 2013 p46 em uma matriz qualquer M cada elemento é indicado por aj O indice i indica a linha e o indice j coluna as quais o elemento pertence Com a convencao de que as linhas sejam numeradas de cima para baixo de 1 até m e as colunas da esquerda para a direita de 1 até n uma matriz m x n é representada por Elemento cada valor da Qi Ay in Matriz oM a22 linha i Imi m2 Amn Fileira uma linha ou uma coluna coluna j 71 Nogao de Matriz O41 G2 Gn M a2 2 Ami m2 Amn Uma matriz M do tipo m x n também pode ser indicada por M aij 123mej 123n ou simplesmente M 4mxn Diante da definicao dada é possivel citar exemplos de tabelas que apresentam dados pertinentes a area Ciéncias Agrarias e que podem ser representados por meio de matrizes Lei de Formacao Exemplo Escrever a matriz B aem que aj i j A144 412 443 A 421 422 3 43 4327 33 2 3 4 B3 4 5 4 5 6 PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES 2 Matriz Coluna B 6 Matriz Linha1 4 7 1 4 Matriz Quadrada ls sl ay Diagonal secundaria Em uma matriz cumin ON Diagonal principal PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES Matriz Diagonal 2 0 0 0 4 0 0 0 6 Matriz Identidade 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriz Nula 0 0 0 0 0 0 0 0 0 PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES Matriz A 2 2 3 1 4 5 2 3 6 Calcule o Oposto de A 1𝑥 2 2 3 1 4 5 2 3 6 Oposto de A 2 2 3 1 4 5 2 3 6 Matriz Transposta Exemplos Efetuar o produto entre as matrizes 𝐴 𝑒 𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 AT 2 4 5 1 2 3 A 2 1 4 2 5 3 Matriz Identidade A matriz identidade ou matriz unidade indicada pela letra I é um tipo de matriz quadrada e diagonal Isso porque todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a 0 A matriz identidade é indicado por In onde o n corresponde a ordem da matriz Assim se ela tiver três linhas e três colunas ela é chamada de matriz identidade de ordem 3 I3 1 0 0 0 0 1 0 0 1 Nota A matriz identidade é o elemento neutro na multiplicação de matrizes A x I I x A Matriz Simétrica Exemplos Quando Matriz e sua Transposta são iguais A 1 2 2 5 At 1 2 2 5 It 1 0 0 1 I 1 0 0 1 Toda Matriz Identidade é simétrica 71 Noção de Matriz Exemplo Estados brasileiros com maior produção de soja na safra 20162017 Produtividade kgha Área Plantada milhões de hectares Produção milhões de toneladas Estado 3273 9323 30514 Mato Grosso 3721 5250 19534 Paraná 3360 5570 18714 Rio Grande do Sul 𝐴 30514 19534 18714 9323 5250 5570 3273 3721 3360 é a matriz que representa o contexto dos estados com maior produção de soja da safra 20162017 72 OPERAÇÕES COM MATRIZES 721 Adição de Matrizes Exemplos Dadas as matrizes 𝐴 0 3 5 2 e 𝐵 1 1 1 0 vamos calcular a seguinte matriz adição a A B Solução 𝐴 𝐵 0 3 5 2 1 1 1 0 0 1 3 1 5 1 2 0 0 1 3 1 5 1 2 0 1 2 6 2 722 Propriedades da adição de Matrizes A adição de matrizes do tipo m x n apresenta as seguintes propriedades Exemplos Dadas as matrizes 𝑨 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝑩 𝟑 𝟒 𝟐 𝟏 𝒆 𝑪 𝟑 𝟏 𝟒 𝟓 Sejam A B e C quaisquer matrizes do tipo mxn Propriedade 2 3 1 2 3 4 2 1 3 4 2 1 2 3 1 2 6 1 3 3 A B B A quaisquer que sejam A e B do tipo m x n Comutativa 2 3 1 2 3 4 2 1 3 1 4 5 2 3 1 2 3 4 2 1 3 1 4 5 8 0 7 8 A B C A B C Associativa 2 3 0 0 0 0 1 2 2 3 1 2 A 0 A ou 0 A A Elemento Neutro 723 Subtragao de Matrizes Dadas duas matrizes A ijmxn B bijmxn chamase A B a matriz C Cjjmxn tal que a bj para todo ie todo j IEZZI e HAZZAN 2013 p50 ec Exemplos 70 3f1 1 1 Dadas as matrizes A 5 aA B 1 0 vamos calcular a seguinte matriz subtracao a AB Solucao apaefo 37f1 1foCn so Cul O1 31f1 4 A B FE al 51 20 54 ee al 724 Propriedades da subtragao de matrizes Na subtracao de matrizes as propriedades comutativa associativa e elemento neutro nao se aplicam Mas podese definir a existéncia da matriz oposta Dada a matriz A dmxn chamase oposta de A indicase A a matriz A tal que A A 0 IEZZI e HAZZAN 2013 p52 Exemplo 2 3 2 3 a 32 3 2 5 2 725 Poduto de um numero por Matriz De acordo com lezzi e Hazzan 2013 dado um numero real k e uma matriz A 4jmxn chama se produto kA a matriz B bijmxn tal que b ka para todo i e todo j com k ER Isso significa que multiplicar uma matriz A por um numero k é construir uma matriz B formada pelos elementos de A todos multiplicados por B Exemplos 0 3 Dada a matriz A s Sh vamos calcular 3A Solugao 20 330 33 so 9 3A 3 5 3s 32 lis 726 Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A dij mxn B bijmxn chamase produto AB a matriz C Cjxmxn tal QUE Cig jy yx Aja b2 Aig D3 Dig LVi1 Gj bjx para todo i 12me todo k 12p IEZZI e HAZZAN 2013 p57 Observacoes A definicao dada arante a existéncia do produto AB somente se GinumeroldelcolunasidelAlfon iguallaolnumerodellinhasidelB pois A é do tipo mx neB édo tipon xp A definigao dada afirma que o produto AB é uma matriz que tem o numero de linhas de Ae o numero de colunas de B pois CAB é do tipo m x p IEZZI e HAZZAN 2013 p57 727 Produto de matrizes ATENGAO O produto AB é normalmente diferente do produto BA A ORDEM IMPORTA 2 1 11 Exemplos Efetuar o produto entre as matrizes A4 2e B lo 4 5 3 Solugao 1 26400 2114 2 2 fs a 4 4H420 4124 a 580 5134 5 7 727 Produto de matrizes Bo a 0 4 Solugao 2H400 2114 2 2 A a 4m420 4124 i 5380 5134 5 7 O produto de matrizes apresenta as seguintes propriedades p A Ex los Dad la are ere 8S oe SDE sl Tel quaisquer que sejam as matrizes A 15 2 7 3 16 13 4ijman B Bix nxp C Cie pxr ae 1 Ih sl Fe 31 oe A BCACBC f 6 Wu l Distributiva a direita em relagao a 2 3173 1 3473 1 adigao quaisquer que sejam as matrizes A f 5 ft sI 5 1 It sl Gijmxns B bij mxn C Gk nxp 0 21 18 CACB eC eR CCC ECC ete care sl i ab i PCr quaisquer que sejam as matrizes A 3 12 3 3 173 4 718 0 4ij mxns B bry mxn C Ckipxm s i 2 al D 1 F les ral BAkB kAB Associativa em relagao ao produto por a Gh DE lel 3 k C 1 eet quaisquer que sejam o numero k as 2 3173 4 12 5 matrizes A ij mxns B bjxmxn k Ei a 1 7 728 Divisao de matrizes ATENGAO Tecnicamente nao se faz divisdo de matrizes A operacdo equivalente é a multiplicagao de A pelo inverso de B 2 1 2 J il 5 3 ai 12 11 Correspondéncia produto entre as matrizes Ae o inversodeB4 2e B I 5 3 13 14 Determinante de uma Matriz Exemplos Efetuar o produto entre as matrizes A oF ad be 75 4 A 5 52 411046 Determinante de uma Matriz de ordem 1 Exemplos Efetuar o produto entre as matrizes 𝐴 10 det 𝐴 10