Operações Básicas e Conjuntos Numéricos - Aula 1

Slide 1 Cálculo Aula 1 OPERAÇÕES BÁSICAS E COMPLEMENTARES PROFA DRA CRISTIANE RACHEL DE PAIVA FELIPE Slide 2 O material de apoio para a presente aula tem como fonte Luciana Boemer Cesar Pereira Guataçara dos Santos Júnior A MATEMÁTICA NO CONTEXTO DA ÁREA CIÊNCIAS AGRÁRIAS Slide 3 11 CONJUNTOS NUMÉRICOS Um conjunto pode ser definido como a união de elementos que possuem características semelhantes DUARTE 2013 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 4 11 CONJUNTOS NUMÉRICOS Naturais ℕ O primeiro elemento do conjunto é 1 e cada um dos elementos seguintes é determinado pela operação elementar de adicionar uma unidade ou seja a existência de um sucessor 1 2 3 4 5 Fonte adaptado de Duarte 2013 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 5 11 CONJUNTOS NUMÉRICOS Inteiros ℤ Todo elemento tem sucessor e antecessor isto é dado um número inteiro n sempre existem seu sucessor n1 e seu antecessor n1 3 2 1 0 1 2 3 Fonte adaptado de Duarte 2013 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 6 11 CONJUNTOS NUMÉRICOS Racionais ℚ Todo elemento formado por um número do tipo 𝑚𝑛 com 𝑛 0 no qual se m for divisível por n o número 𝑚𝑛 coincide com um número inteiro que é o quociente da divisão Se m não for divisível por n o número 𝑚𝑛 é dito fracionário e pode ser escrito na forma decimal 10 2 1 02 2 04 5 5 5 Fonte adaptado de Duarte 2013 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 7 11 CONJUNTOS NUMÉRICOS Irracionais 𝐼 Todo elemento obtido pela divisão de dois números inteiros que resulta em decimais infinitos e não periódico 𝜋31415926536 2 14142135624 Fonte adaptado de Duarte 2013 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 8 11 CONJUNTOS NUMÉRICOS Reais ℝ Todos os números racionais e Irracionais Fonte adaptado de Duarte 2013 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 9 12 Adição Dados os números reais a e b chamase adição a soma de a com b ou seja 𝑺 𝒂 𝒃 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 10 121 Propriedades da Adição Propriedade Seja a b e c ℝ Exemplo Comutativa a b b a 23 32 Associativa a b c a b c 234 342 Elemento Neutro 0 a a 03 3 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 11 Fonte Pereira Santos Júnior De acordo com um boletim técnico da EMBRAPA 2010 para o cultivo de 1 hectare de melancia em solo semiárido é necessário o investimento em fertilizantes Estimase um gasto de R 20000 em calcário dolomítico R 33600 em MonoAmônioFosfato MAP R36000 em ureia R48250 em cloreto de potássio e R11200 em micronutrientes de solo Qual é o gasto total GT com fertilizantes Para solucionar esta situação é necessário realizar a operação de adição entre os números que representam fertilizantes certo Então a solução seria Slide 12 Fonte Pereira Santos Júnior De acordo com um boletim técnico da EMBRAPA 2010 para o cultivo de 1 hectare de melancia em solo semiárido é necessário o investimento em fertilizantes Estimase um gasto de R 20000 em calcário dolomítico R 33600 em MonoAmônioFosfato MAP R36000 em ureia R48250 em cloreto de potássio e R11200 em micronutrientes de solo Qual é o gasto total GT com fertilizantes Para solucionar esta situação é necessário realizar a operação de adição entre os números que representam fertilizantes certo Então a solução seria 𝐺𝑇33600360004825011200129050 Logo o gasto com fertilizantes será de R 129050 Obs Notem que o valor do calcário não foi incluído pois ele é um corretivo de solo e não um fertilizante Slide 13 Para Saber mais 28022023 Slide 14 13 Subtração Dados dois números reais a e b chamase subtração a diferença de a com b ou seja 𝑫 𝒂 𝒃 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 15 Silveira 2014 ao realizar a avaliação econômica da produção de madeira de Paricá schizolobium amazonicum huber ex ducke sob diferentes espaçamentos de plantio precisou encontrar a margem bruta MB que é um índice econômico de produção calculada pela subtração do custo operacional efetivo COE da renda bruta RB em que 𝑀𝐵𝑅𝐵𝐶𝑂𝐸 ou seja é a retirada de todos os custos ocorridos sendo mais produtiva à medida que resulta em valores positivos Para a venda da madeira em pé de um povoamento de Paricá de 5 anos com espaçamento 4x4 a renda bruta é R166887 e o custo operacional efetivo é de R388309 Há viabilidade econômica na venda dessa madeira para esse índice Ao interpretar a situação descrita subtração do custo operacional efetivo COE da renda bruta RB em que 𝑀𝐵𝑅𝐵𝐶𝑂𝐸 Desta forma a resposta para o questionamento sobre viabilidade econômica na venda dessa madeira para esse índice será Fonte Pereira Santos Júnior Slide 16 Silveira 2014 ao realizar a avaliação econômica da produção de madeira de Paricá schizolobium amazonicum huber ex ducke sob diferentes espaçamentos de plantio precisou encontrar a margem bruta MB que é um índice econômico de produção calculada pela subtração do custo operacional efetivo COE da renda bruta RB em que 𝑀𝐵𝑅𝐵𝐶𝑂𝐸 ou seja é a retirada de todos os custos ocorridos sendo mais produtiva à medida que resulta em valores positivos Para a venda da madeira em pé de um povoamento de Paricá de 5 anos com espaçamento 4x4 a renda bruta é R166887 e o custo operacional efetivo é de R388309 Há viabilidade econômica na venda dessa madeira para esse índice Ao interpretar a situação descrita subtração do custo operacional efetivo COE da renda bruta RB em que 𝑀𝐵𝑅𝐵𝐶𝑂𝐸 Desta forma a resposta para o questionamento sobre viabilidade econômica na venda dessa madeira para esse índice será 𝑀𝐵𝑅𝐵𝐶𝑂𝐸 𝑀𝐵166887388309 𝑀𝐵221422 Como o resultado foi um valor negativo isso indica que não há viabilidade econômica na venda da madeira de Paricá em pé Fonte httpwwwcelplaccombrparica Fonte Pereira Santos Júnior Slide 17 Para Saber mais 28022023 Com relação às propriedades a comutação associação e o elemento neutro são propriedades que não se aplicam à operação de subtração Mas a propriedade de anulação é válida 𝑎 ℝ𝑎𝑎0 Slide 18 14 Multiplicação Dados dois números reais a e b chamase multiplicação o produto de a por b ou seja 𝑷 𝒂 𝒃 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 19 141 Propriedades da Multiplicação 3 Seja a b e c ℝ Exemplo Comutativa a x b b x a 5 x 3 3 x 5 Associativa a x b x c a x b x c 5 x 3 x 4 5 x 3 x 4 Elemento Neutro a x 1 a 5 x 1 5 Distributiva a x b c a x b a x c 5 x 34 5 x 3 5 x 4 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 20 Na nutrição de animais a Proteína Bruta PB é o resultado do teor de Nitrogênio N do alimento multiplicado por 625 Medeiros e Marino 2015 ao analisarem uma amostra de capim Tanzânia encontraram 054 de Nitrogênio no FDA Fibra em Detergente ácido Qual o valor da proteína bruta ligada ao FDA 28022023 Slide 21 Na nutrição de animais a Proteína Bruta PB é o resultado do teor de Nitrogênio N do alimento multiplicado por 625 Medeiros e Marino 2015 ao analisarem uma amostra de capim Tanzânia encontraram 054 de Nitrogênio no FDA Fibra em Detergente ácido Qual o valor da proteína bruta ligada ao FDA 28022023 Para solucionar esta situação de acordo com o contexto apresentado temse que 𝑃𝐵054 6253375 Esse resultado significa que para cada 100 g de FDA do capim Tanzânia temos 337 g de Proteina Bruta Fonte httpwwwuniphosnet Slide 22 15 Divisão Dados dois números reais a e b chamase divisão o resultado da razão de a por b ou seja 𝑹 𝒂 𝒃 com 𝒃 𝟎 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 23 151 Propriedades da Divisão Propriedade Seja a ℝ Exemplo Elemento Neutro a 1 a 8 1 8 Anulação 0 a 0 08 0 Fonte Pereira Santos Júnior Slide 24 Para realizar a regulagem de uma semeadora de fluxo contínuo de acordo com Molin 2017 é necessário calcular o comprimento de sulco por hectare dado pela divisão de 10000 m²ha pelo espaçamento em metros Logo qual será o comprimento de sulco por hectare para semear 60 kg de aveia preta com um espaçamento de 020 m Ao interpretar esta situação é citado no problema que precisamos realizar a divisão de 10000 m²ha pelo espaçamento que neste caso é 020 m Diante destes dados a solução do problema será dado por Fonte httpwwwjuinaagoracombr Fonte Pereira Santos Júnior Para realizar a regulagem de uma semeadora de fluxo contínuo de acordo com Molin 2017 é necessário calcular o comprimento de sulco por hectare dado pela divisão de 10000 m³ha pelo espaçamento em metros Logo qual será o comprimento de sulco por hectare para semear 60 kg de aveia preta com um espaçamento de 020 m Ao interpretar esta situação é citado no problema que precisamos realizar a divisão de 10000 m³ha pelo espaçamento que neste caso é 020 m Diante destes dados a solução do problema será dada por Comprimento de sulco 10000 m²ha 020 m Comprimento de sulco 50000 mha Logo o comprimento de sulco para semear 60 kg de aveia preta com um espaçamento de 020 m é 50000 mha 16 Fração Fonte Pereira Santos Júnior Slide 28 Fração é uma forma de se representar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais 16 4 Slide 29 16 Fração A fração ab é a representação genérica do valor a que é dividido por b partes iguais sendo b 0 164 Divisão de Frações Para dividir uma fração por outra multiplicase a primeira fração pelo inverso da segunda fração 16 37 16 x 73 718 162 Adição e Subtração de Frações Com denominadores diferentes Quando os denominadores são diferentes é preciso tornálos iguais para aplicar a regra anterior Para isso utilizase o MMC Mínimo Múltiplo Comum 16 34 Solução O MMC entre 6 e 4 é 12 212 912 1112 Se a probabilidade do descendente do retrocruzamento ser preto for dada pela expressão Ppreto 23 x 14 a probabilidade será de 23 x 1421216 Logo a probabilidade do descendente do retrocruzamento ser preto é de 16 Slide 39 DIVISÃO DE FRAÇÕES João tem 14 de uma pizza e quer dividila em 6 partes iguais Que fração da pizza representará cada parte 24 1 6 4 1 1 1 6 4 1 6 4 1 x x Slide 40 DIVISÃO Um inteiro Um terço Um terço dividido por dois Slide 41 Um inteiro Um meio metade do inteiro Um meio dividido por três DIVISÃO Slide 42 Dois dividido em meios metades ou quantas vezes a metade cabe em dois inteiros 2 inteiros Um meio Quantas vezes um meio cabe em 2 inteiros DIVISÃO Slide 43 Um quarto Um meio DIVISÃO Slide 44 28022023 Dada o número misto para transformálo em fração imprópria teremos que seguir a regra repetir o denominador e multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o produto com o numerador veja Canseiros produtores de lã preta são devidos ao alelo recessivo p e os que produzem lã branca ao alelo dominante P Um carneiro branco é cruzado com uma ovelha branca sendo ambos portadores do alelo para lã preta Eles procriam um carneiro branco que por sua vez é retrocruzado com a ovelha genitora Se a probabilidade do descendente do retrocruzamento ser preto for dada pela expressão Ppreto23x14 qual será essa probabilidade FCMSCSP Slide 47 Símbolo Significado Símbolo Significado Símbolo Significado mais positivo menos negativo mais ou menos ou multiplicado por vezes ou dividido por igual igual a aproximadamente igual equivalente a congruente diferente de não igual a menor que menor ou igual menor ou próximo que muito menor que não é menor que maior que maior ou igual maior ou próximo que muito maior que não é maior que proporcional a infinito por cento por mil por milhão existe não existe ou pertence a é elementomembro de em está em ou existe ao menos um não pertence a não é elemento de para qualquer que seja para todos para cada ou implica se então ou se e só se e ou menos sem de para valor absoluto de módulo de norma de comprimento de ou conjunto vazio cardinalidade interseção intersecta com intersecta união a união de com contém não contém é subconjunto próprio de não está contido nem é igual está contido mas não é igual contém não contém nem é igual contém mas não é igual está contido é subconjunto de não está contido não é subconjunto de Fonte Wiktionary 2020 Slide 48 Símbolo Significado Símbolo Significado Símbolo Significado colchetes parênteses chaves radiciação raiz quadrada radiciação raiz cúbica radiciação raiz quarta log logaritmação logaritmo exponenciação potência x¹ xis à primeira potência x² xis ao quadrado x³ xis ao cubo ½ um meio ⅓ um terço ⅔ dois terços ⅙ um sexto ⅖ dois quintos ⅗ três quintos ⅘ quatro quintos ⅚ cinco sextos ⅟ um sobre nada ¼ um quarto ¾ três quartos ⅛ um oitavo ⅜ três oitavos ⅝ cinco oitavos ⅞ sete oitavos n n fatorial ou dyd x derivada integral gradiente produtório somatório sen seno cos cosseno tg ou tan tangente cotg ou cot cotangente sec secante cossec ou csc cosecante grau minuto segundo π pi 3141 φ fi o número de ouro proporção áurea 1618 ângulo agudo ângulo reto perpendicular a ou paralelo a ou não negação lógica então portanto porque ℕ conjunto dos números naturais ℤ conjunto dos números inteiros ℚ conjunto dos números racionais ℝ conjunto dos números reais ℂ conjunto dos números complexos ℍ conjunto dos números quaterniões 𝕊 conjunto dos números sedeniões ℙ número primo Fonte Wiktionary 2020 17 Potenciação Seja a um número real e n um número natural Potência de base a e expoente n é o número an tal que ao 1 a1 a n n 1 dessa definição decorre que a1 aoa 1a a a2 a1a aa a5 5555 3125 171 Propriedades da Potenciação Propriedade Se a R b R e m n N então Exemplo Qualquer número real elevado ao expoente 1 é igual ao próprio número a1 a 51 5 Qualquer número real não nulo elevado ao expoente 0 é igual a 1 a0 1 250 1 Qualquer potência que possua na base o número 1 é igual a 1 1m 1 123 1 Qualquer potência que na base o número 10 o resultado é o número 1 seguido da quantidade de zeros de acordo com o valor do expoente 10n 1000 m quantidade de zeros 105 100000 Uma potência com expoente inteiro negativo indica que temos uma inversão entre o numerador com o denominador 181 Propriedades da Radiciação 191 Expressões Numéricas 192 Expressões algébricas 161 Classificação das Frações Tipo de Fração Característica Exemplo Própria São frações em que o numerador é menor que o denominador ou seja representa um número menor que um inteiro 25 Imprópria São frações em que o numerador é maior ou seja representa um número maior que o inteiro 32 Aparente São frações em que o numerador é múltiplo ao denominador ou seja representa um número inteiro escrito em forma de fração 93 3 Mista É constituída por uma parte inteira e uma fracionária representada por números mistos 162 Adição e Subtração de Frações Com denominadores iguais Se os denominadores são iguais somase ou subtraise apenas os numeradores conservando o denominador comum Exemplos 18 28 38 711 511 211