Sistemas de Equações Lineares - Aula de Matemática

wae sl L o rr Aa yt oe F nS Wn ns e oF ne A a On ae w Ww a f he EVO UL RUE a rz SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES oe E S PROFA DRA CRISTIANE RACHEL DE PAIVA FELIPE 9 O material de apoio para a presente aula tem como fonte Luciana Boemer Cesar Pereira Guatacara dos Santos Junior A Matematica no Contexto da Area Ciéncias Agrarias AT Try ie 75 on lp I in o ee te beg igieied Pearse ms 81 Equacao Linear oe ae fi Ym tL 4 o Ve forbi x ux Ss ae be yy t pie Pi Chamamos de equacdo linear nas incdgnitas paar ee X4X2X3Xpn toda equacdo do tipo a4x a al Ay 2X2 043X302 AynX dD Os numeros A is ce ifs A414 442413 A4n todos reais sdo chamados een iA tn pewmeaae coeficientes e b também real 6 o termo re 7 bog independente da equacdo IEZZI e HAZZAN 2013 Op r x SHRED V 59 td SS 4 Aa j ee e 2 rae Exemplos de Equacées lineares eee he y X 2x2 4x3 xX4 3 ae f o 2 2x 2x2 3x35 Siren a 811 Solucdo de uma equaao linear Com relacdo a solugdo de uma equagao linear lezzi e Hazzan 2013 p54 definem que a sequéncia ou énupla ordenada de numeros reais k1 kz k3 ky 6 solugdo de uma equacdo linear a44X1 Ay2Xz A3X3AynXn Db sea equacdo a44k ay2k2 a43k3 1nkn b for uma sentenca verdadeira Seja a equagao linear x 2x2 4x3 x4 4 a sequéncia 1 0 2 5 6 solugdo para os valores de X4X2X3Xq pois 11204251 4 mostrando que a sentenca verdadeira O método de resolugdo de sistemas por adicaosubtracao 8 3 METODOS DE RESOLUCAO consiste em eliminar uma das incdgnitas pela soma ou subtragdo dos termos semelhantes das equagdes que o compée oH Eq 1 2x3y1 1 Eq 2 x2y 4 831 Método de eacso 1 dex do si si pod iad Passo 1 para zerar o termo de x do sistema S1 podese AdiaoSubtracao multiplicar a equagao 2 por 2 2x 24y 24 2x3y1 2x4y8 Ox 7y 7 assim y logo y1 Passo 2 zerar o termo de y multiplicase a eq1 por 2 22x 23y 21e aequacdo 2 por 33x 32y 34 je opal 7x Oy 14assimx logo x 2 Solugdo do sistema S2 1 571 J ya P a ae a an RS a og 832 Método da Substituicdo Wh wr Isolase uma das incdgnitas em uma das 2 Substituir a incdgnita x isolada na equagdo 2 equacdes e substitui na outra equacdo Na 2 ae ay a sequéncia substituise este resultado na 46y4y6 10y64 equacao isolada inicialmente 10 10y 10 y 10 Exemplo y1 Resolver o sistema 3 Voltar na equagao 1 com o y encontrado e tyce x23y 2x 4y 6 x 231 1 Isolar a incognita x na equacado 1 x23logox1 x3y2 x23y Logo a solugao do sistema é dada por S1 1 y Tabela 1 Tabela 2 axy5 x3y6 y 5 2x y X3V6 xly xly a 13 1 166 Gam 2x05 21 2 133 Saya aE Logo a solucdo de um sistema linear possivel e 43 4 066 determinado é interpretado geometricamente pela 515 5 033 interseccdo das retas que representam graficamente 617 60 suas equagdes Neste exemplo a solucdo é o par ordenado 31 TF yp TRA 233 f 2x4 Gi ap dh q 834 Método de Cramer VS l De acordo com lezzi e Hazzan 2013 p143 se considerarmos um sistema linear em que o numero de equacoées é igual ao numero de incdgnitas mn e nessas condides tomar A matriz que representa o sistema uma matriz quadrada e D det Acom D0 o sistema linear sera possivel e tera solugdo unica a X1X2X3 Ay tal que i J D x D Vi 123n c Ae Em que D é 0 determinante da matriz obtida de A substituindo se a iésima coluna pela coluna dos termos independentes das equacées do sistema s x3y2z2 834 Método de Cramer Exemplo Dado o sistema 4 x 3y 2z 2 x2y3z1 Déo oF determinante da 1632 Dx Dy Dz matriz formada p1 3 2 Regra de 1 3 21 3 xQ VED a com os sarrus D1 3 21 3 a 1 2 3 1 2 311 2 coeficientes Z x3y2z2 834 Metodo de Cramer Exemplo Dado o sistema 4 x 3y 2z 2 x2y3z1 Déo oF determinante da 132 Dx Dy Dz matrizformada p 3 9 Regra de MX 3 1 3 x VERD Z com os sarrus D1 3 2h 3 D D D 1 2 3 1 2 coeficientes 1339 3216 2124 Soma96411 Z x3y2z2 834 Metodo de Cramer Exemplo Dado o sistema 4 x 3y 2z 2 x2y3z1 Déo ss determinante da 1 3 2 Dx Dy Dz matriz formada p1 3 2 Regra de tT 3s a xQD YD a com os Sarrus D 1 21h 3 D 1 2 3 oR coeficientes 1339 1326 3216 2214 2124 3139 Soma96411 D6497 D11740 Z x3y2z2 834 Metodo de Cramer Exemplo Dado o sistema 4 x 3y 2z 2 x2y3z1 Déo ss determinante da 1 3 2 Dx Dy Dz matriz formada p1 3 2 Regra de 1 35 XD YD com os 162 3 Sarrus D1 d Py coeficientes D4 0 Z x3y2z2 834 Metodo de Cramer Exemplo Dado o sistema x 3y 2z 2 x2y3z1 Déo fT determinante da 1 3 2 Dx Dy Dz matriz formada p13 2 Regra de tT 35 oe A D y D a D com os 1 2 3 Sarrus D1 a Sy coeficientes L D4 x 3y2z x3y2z 2 x 2y 3z 51 3 2 Dy 4 2 3 3 Dx 3 24 x 3G 471 2 a 3 2 4 2 18 6 8 6 8 18 16 20 DX 4 Z x3y2z2 834 Metodo de Cramer Exemplo Dado o sistema 4 x 3y 2z 2 x2y3z1 Déo a determinante da 1 3 2 Dx Dy Dz matriz formada Regra de I 3s b x yes D1 3 2 s D1 rt 3 D D D com os 1 2 3 arrus ja coeficientes to2 D4 x 3y2z x3y2z 2 x 2y 3z 51 d 1 2 Dy 4 1 2 y 1 2 4 y 471 1 2 1 3 a 4 6 4 2 4 2 6 8 4 Dy4 Z x3y2z2 834 Metodo de Cramer Exemplo Dado o sistema 4 x 3y 2z 2 x2y3z1 Déo a determinante da 1 3 2 Dx Dy Dz matriz formada D Regra de a 3s x y i 1 3 2 Ss D1 21 k3 D D D com os 1 2 3 arrus ZN coeficientes gr 2 D4 x 3y2z x3y2z 2 x 2y 3z 51 I 3 D 0 i D1 3 0 z 5 70 1 3 1 2 2 3 6 4 6 4 3 13 13 Solugao S110 Dz0 F 835 METODO DE ESCALONAMENTO ha Qw O método de escalonamento busca a simplificagéo do sistema por meio de operacgdes entre os r elementos pertencentes as linhas da matriz a os Possibilita solugdes para sistemas que nado tenham mesmo numero de equacées e incdgnitas o que A nao é permitido na Regra de Cramer A 836 Sistemas Escalonados e Ps eocee Apoiandose na definido lezzi e Hazzan 2013 p149 temse que de dado um sistema linear r Oe Ay 1X1 Ay2Xz Ay 3X3 te AyyXy Dy eooeee 24X14 Az2X2 A93X3 AgnXn be ee Ce S 34X41 Ag2X2 Ag3X3 t AgnXy bz Am1X1 Am2X2 Am3xX3 7 AmnXn Dm em que em cada equacdo existe pelo menos um coeficiente ndo nulo dizemos que S esta na forma escalonada se o numero de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente ndo nulo aumenta de equacdo para equacdo se aiayiion a met Pn ek te ee ae pe cone ae eine gimm SséB3 37 Prrcocclesssco le Esscalonameenntto 2 fs Ss es a Passos para escalonar um sistema IEZZI HAZZAN 2013 p158 2 oe oS Go oe 1 Colocar como 1 equagao aquela em que o coeficiente da te Se Py an eke oe 1 incdgnita seja diferente de zero 4 ee E 2 Anular o coeficiente da 17 incdgnita de todas as equagées a S E com excegao da 1 0 substituindo a iésima equagao i 2 4 y pela soma desta com a 1 multiplicada por um numero Bs conveniente ee Site 2 3 Deixar de lado a 1 equagao e aplicar 0 1 e 0 2 passos 3 Pe nas equacoes restantes 2 Oe ee 4 Deixar de lado a 1 e a 2 equagées e aplicar 0 1 e os 2 eees nae passos nas equagées restantes e assim por diante até o SE es pe sistema ficar escalonado 837 Processo de Escalonamento x2yz9 Eq 1 Exemplo 2xyz3 Eq2 3xy2y4 Eq3 1 Fixar uma das equacgées com coeficiente da 1 incdgnita zero neste caso a Equacao 1 2 Para eliminar a incdgnita x da Equagao 2 multiplicamos a Equacao 1 por 2 e somamos com a Equagao 2 Para eliminar a incognita x da Equagao 3 multiplicamos a equagao 1 por 3 e somamos com a equagao 3 2x2yz9 sth Ay 22 18 Pe yz3 3y 3z15 x2yz9 Eq 1 Exemplo 2xyz3 Eq2 3xy2y4 Eq3 1 Fixar uma das equacgées com coeficiente da 17 incdgnita zero neste caso a Equacao 1 2 Para eliminar a incdgnita x da Equagao 2 multiplicamos a Equacao 1 por 2 e somamos com a Equagao 2 Para eliminar a incognita x da Equaga4o 3 multiplicamos a equacao 1 por 3 e somamos com a equagao 3 2x2yz9 ageney Pe yZz3 3y 3z15 3x2yz9 3 6y 32 27 Be y2z4 Ty 5z31 x2yz9 Eq 1 Exemplo 2xyz3 Eq2 3xy2y4 Eq3 1 Fixar uma das equacgées com coeficiente da 17 incdgnita zero neste caso a Equacao 1 2 Para eliminar a incdgnita x da Equagao 2 multiplicamos a Equacao 1 por 2 e somamos com a Equagao 2 Para eliminar a incognita x da Equaga4o 3 multiplicamos a equacao 1 por 3 e somamos com a equagao 3 2x42yz29 4 be 4y 22 18 xyZz3 Novo sistema sem x 8y 32 15 x2yz9 Eq 1 3x2yz9 thy 63227 a oe Bey 2a4 Ty 52 Eq 3 Ty 5z31 x2yz9 Eq 1 3y 3z15 Eq 2 Ty5z31 Eq3 3 passo Para eliminar a incdgnita y da equagao 3 multiplicamos a equagao 2 por 7 e a equagao 3 por 3 4d somamos as equacées 2 e 3 x2yz9 Logo o sistema escalonado fica dessa forma 3y 3z 15 7 3y 3z 15 z2 Fazendo as substituigdes temos hay 212 105 z2 ly 15z 93 62 12 3y 3z15 42 3y 32 15 Z zZ2 6 3y615 x2yz9 3y9 Logo o sistema escalonado fica dessa forma 3y 3z 15 Z2 9 y y3 837 Processo de Escalonamento Fazendo as substituig6es temos z2 x2yz9 Eq 1 3y 3z15 Eq 2 3y 3z15 x23429 3y3 15 x629 3y615 x89 3y9 x98 x1 y3 y3 S 132