Atividade de Cálculo Diferencial e Integral III - Teleaula 02

AULA ATIVIDADE ALUNO AULA ATIVIDADE ALUNO AULA ATIVIDADE ALUNO Disciplina Cálculo Diferencial e Integral III Teleaula 02 Olá Você está bem Espero que sim Pois bem chegou o momento de interagirmos e desenvolvermos competências importantes para sua formação Tenho certeza de que se dedicando e se esforçando você será em breve um excelente profissional Nossa atividade terá dois momentos dispostos da seguinte forma Etapa 1 1h20 Intervalo 20 min Etapa 2 1h20 Etapa 1 Essa etapa tem o objetivo de abordar os conteúdos vistos ao longo da teleaula Questão 1 Um pesquisador precisa calcular o volume de um sólido tridimensional utilizando integrais triplas e mudança de coordenadas devido às características da região em estudo e a dificuldade em expressála segundo o sistema de coordenadas cartesianas Para a resolução de seu problema o pesquisador adotou uma mudança de coordenadas de modo que 𝑥 𝑦 e 𝑧 deverão ser representados por 𝑥 𝑣 𝑤2 𝑦 𝑤 𝑢2 𝑧 𝑢 𝑣2 Qual é o jacobiano associado a essa transformação Questão 2 Quando empregamos a mudança de variáveis utilizando coordenadas esféricas devemos considerar o jacobiano associado o qual é dado por 𝑥 𝑦 𝑧 𝜌 𝜙 𝜃 𝜌2 sen𝜙 Partindo das equações de transformação em coordenadas esféricas 𝑥 𝜌 sen𝜙 cos𝜃 𝑦 𝜌 sen𝜙 sen𝜃 AULA ATIVIDADE ALUNO 𝑧 𝜌 cos𝜙 mostre que o jacobiano associado corresponde à 𝜌2 sen𝜙 Evidencie todos os procedimentos necessários para a obtenção da expressão do jacobiano associado às coordenadas esféricas Questão 3 Considere o sólido S limitado superiormente pela esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 inferiormente pelo plano 𝑥𝑂𝑦 𝑧 0 no interior do cilindro 𝑥2 𝑦2 1 Empregando a mudança para coordenadas cilíndricas determine o volume aproximado para o sólido S empregando o cálculo de integrais triplas Questão 4 Seja a região 𝐸 no primeiro octante limitada pelas esferas 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 e 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 cuja representação gráfica é dada no que segue Desejase calcular a integral tripla da função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 2𝑧 sobre a região 𝐸 descrita anteriormente Qual o valor assumido por 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝐸 𝑑𝑉 Observação o primeiro octante corresponde à parte do espaço cartesiano limitada pelos planos 𝑥 0 𝑦 0 e 𝑧 0 Questão 5 Seja o sólido C limitado superiormente por 𝑧 4 𝑥2 𝑦2 e inferiormente pelo plano 𝑥𝑂𝑦 𝑧 0 A representação desse sólido é dada na figura apresentada no que segue Suponha que a densidade em um ponto P do sólido C é proporcional à distância de P ao plano 𝑥𝑂𝑦 ou seja 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑘𝑧 𝑘 ℝ Determine o momento de inércia do sólido C em relação ao eixo 𝑧 AULA ATIVIDADE ALUNO Questão 6 Quando desejamos representar sólidos geométricos como esferas ou cones os quais possuem partes que não se ajustam adequadamente ao sistema de coordenadas cartesianas podemos empregar as coordenadas esféricas visando a simplificação dos cálculos e da representação dessas figuras Nesse sentido considere o sólido 𝑆 localizado no interior da folha superior do cone descrito pela equação 𝜙 𝜋 3 e limitado entre as esferas 𝜌 1 e 𝜌 2 Com base nesse sólido calcule o volume do sólido 𝑆 por meio de integrais triplas Questão 7 Adaptado de Stewart 2013 p930 Uma empresa precisa determinar o volume de uma peça de determinado motor que possui estrutura semelhante à um sorvete de casquinha A peça em questão é aproximada pelo sólido S limitado superiormente pelo cone z x2 y2 e inferiormente pela esfera x2 y2 z2 z A representação gráfica do sólido S pode ser observada nas figuras a seguir Fonte STEWART J Cálculo volume 2 São Paulo Cengage Learning 2013 Como podemos determinar o volume do sólido S Etapa 2 AULA ATIVIDADE ALUNO Uma importante estratégia de estudo em Matemática é a elaboração de esquemas com os principais conceitos e conteúdo Neste momento você deverá focar apenas nas informações da primeira unidade e segunda unidade e inserir as principais definições fórmulas propriedades etc ou seja todas as informações que forem importantes para você Para elaborar os esquemas você pode utilizar o Power point o canva httpswwwcanvacom ou ainda o seu caderno Bons Estudos