Atividade Cálculo 2

1 As integrais duplas fazem parte dos conceitos fundamentais de Cálculo Diferencial e integral quando estamos interessados em trabalhar com noções espaciais de volumes ou até mesmo áreas de superfícies Com base nesse conceito julgue as informações a seguir I Para o cálculo de uma integral dupla em uma região retangular procederemos com o uso de dodecaedros para a aproximação do volume de uma superfície II O vetor gradiente é utilizado para o cálculo de integrais iteradas III O volume da superfície é aproximado pelo limite da soma de Riemann para funções de duas variáveis É correto o que se afirma em Alternativas a I apenas b II apenas c III apenas d I e III apenas e II e III apenas 2 Podemos aplicar o vetor gradiente em diversas situações uma delas é encontrar o valor do vetor gradiente em um ponto de uma superfície Pensando nesse conceito qual seria o valor do vetor gradiente no ponto descrito pelas coordenadas 2 1 3 do elipsoide de equação descrita x24 y29 z27 3 Assinale a alternativa correta Alternativas a f2 1 3 5 2 69 b f2 1 3 1 2 69 c f2 1 3 1 0 69 d f2 1 3 1 2 32 e f2 1 3 0 2 19 3 Suponha que em uma empresa de caixas de papelão são fabricados três tamanhos diferentes pequena média e grande O custo para fabricação de uma caixa pequena é de R 150 de uma caixa média é de R250 e de uma caixa grande é de R400 O custo fixo da empresa é de R 550000 Com base nessa situação analise os itens que seguem I O problema tem duas variáveis a quantidade de caixas produzidas que pode ser denotado por x e o custo total da produção que pode ser denotado por Cx II O problema tem como variáveis dependentes a quantidade de caixas médias produzidas a quantidade de caixas pequenas produzidas e o custo fixo e como variável independente o custo de produção III O problema tem como variável dependente o custo de produção e como variáveis independentes a quantidade produzida de caixas pequenas a quantidade produzida de caixas média e a quantidade produzida de caixas grandes Assinale a alternativa correta Alternativas a Apenas o item I está correto b Apenas o item II está correto c Apenas o item III está correto d Apenas os itens I e II estão corretos e Apenas os itens I e III estão corretos 5 Se Txy for a temperatura em um ponto xy sobre uma placa delgada de metal no plano então as curvas de nível de T são chamadas de curvas isotérmicas Todos os pontos sobre tal curva têm a mesma temperatura Suponha que uma placa ocupa o primeiro quadrante e Txy x y Com base nessas afirmações analise os itens que seguem I Quando T 1 temos uma curva de nível cujo esboço é uma reta II O domínio da função Txy é D xy R2 x y III Uma formiga inicialmente em 14 anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante logo podemos afirmar que a temperatura ao longo de sua trajetória é 5 Assinale a alternativa correta Alternativas a Apenas o item I está correto b Apenas os itens I e III estão corretos c Apenas os itens I e II estão corretos d Apenas os itens II e III estão corretos e Os itens I II e III estão corretos 4 Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais xy de um conjunto D um único valor real denotado por fxy O conjunto D é denominado domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f Com base nessas informações analise a função fxy 3x y Assinale a alternativa que contém o domínio da função Alternativas a D xy R2 y 3x b D xy R2 y 3x c D xy R2 y 3x d D xy R2 y 3x e D xy R2 y 3x 1 As integrais duplas fazem parte dos conceitos fundamentais de Cálculo Diferencial e Integral quando estamos interessados em trabalhar com noções espaciais de volume ou até mesmo áreas de superfícies Com base nesse conceito julgue as informações a seguir I Para o cálculo de uma integral dupla em uma região retangular procedemos com o uso de dodecaedros para aproximação do volume de uma superfície II O vetor gradiente é utilizado para o cálculo de integrais iteradas III O volume da superfície é aproximado pelo limite da soma de Riemann para funções de duas variáveis É correto o que se afirma em Solução I Para o cálculo de uma integral dupla em uma região retangular não usamos dodecaedros para a aproximação do volume de uma superfície Na verdade para regiões retangulares geral mente utilizamos retângulos pequenos ou paralelepípedos que cobrem a região e formam uma grade sobre ela Portanto a afirmação I está incorreta II O vetor gradiente não é utilizado para o cálculo de integrais iteradas O vetor gradiente é usado principalmente para estudar derivadas direcionais e o máximo e mínimo de funções de várias variáveis Para calcular integrais iteradas geralmente usamos métodos como Fubini ou mudança de variáveis Portanto a afirmação II está incorreta III Esta sentença está correta Resposta Final c III apenas 2 Podemos aplicar o vetor gradiente em diversas situações uma delas é encontrar o valor do vetor gradiente em um ponto de uma superfície Pensando nesse conceito qual seria o valor do vetor gradiente no ponto descrito pelas coordenadas 213 do elipsóide de equação descrita por x²4 y² z²9 3 Solução Para encontrar o valor do vetor gradiente no ponto descrito pelas coordenadas x 213 do elipsóide de equação x²4 y² z²9 3 primeiro precisamos calcular o gradiente da função que define a superfície do elipsóide A equação da superfície do elipsóide pode ser escrita na forma de uma função de 3 variáveis conforme configuração a seguir Fxyz x²4 y² z²9 3 Para encontrar as coordenadas do vetor gradiente de F precisamos das derivadas parciais que seguem Fx x x²4 y² z²9 3 x2 Fy y x²4 y² z²9 3 2y Fz z x²4 y² z²9 3 2z9 Portanto o vetor gradiente da função que define a superfície do elipsóide é Fxyz x2 2y 2z9 Agora podemos calcular o valor do vetor gradiente no ponto 213 F213 22 21 239 1 2 69 Resposta Final b F213 1 2 69 3 Suponha que em uma empresa de caixas de papelão são fabricadas três tamanhos dife rentes pequena média e grande O custo para fabricação de uma caixa pequena é de R 150 de uma caixa média é de R 250 e de uma caixa grande é de R 400 O custo fixo da empresa é de R 550000 Com base nessa situação analise os itens que seguem I O problema tem duas variáveis a quantidade de caixas produzidas que pode ser denotado por x e o custo total da produção que pode ser denotado por Cx II O problema tem como variáveis dependentes a quantidade de caixas médias produzidas a quantidade de caixas pequenas produzidas e o custo fixo e como variável independente o custo de produção III O problema tem como variável dependente o custo de produção e como variáveis inde pendentes a quantidade produzida de caixas pequenas a quantidade produzida de caixas médias e a quantidade produzida de caixas grandes Assinale a aternativa correta Solução I O problema tem três variáveis independentes que seriam as quantidades de cada tipo de caixa e poderiam ser denotadas por x y e z A função custo seria então Cxyz Portanto essa afirmação esta incorreta II As variáveis dependentes e independentes estão apresentadas de forma invertida o pro blema tem como variáveis independentes a quantidade de caixas médias produzidas e a quanti dade de caixas pequenas produzidas e como variável dependente o custo de produção O custo fixo nem sequer é uma variável é uma constante Portanto essa afirmação esta incorreta III É a única alternativa correta Resposta Final c Apenas o item III está correto 4 Uma função f de duas variáveis é uma regra qua associa a cada par ordenado de números reais xy de um conjunto D um único valor real denotado fxy O conjunto D é denotado domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f Com base nessas informações analise a função fxy 3x y Assinale a alternativa que contém o domínio da função Solução Para analisar o domínio de uma expressão precisamos verificar se há alguma restrição de valores reais admissíveis Considerando que a expressão que deve ser analisada contém uma raiz quadrada é importante que o conteúdo dentro da raiz não seja negativo dado que as raízes pares com número negativo resultam em números imaginários Temos então que 3x y 0 y 3x Logo podemos escrever o domínio da expressão como D xy R² y 3x Resposta Final c D xy R² y 3x 5 Se Txy for a temperatura em um ponto xy sobre uma placa delgada de metal no plano então as curvas de nível T são chamadas de curvas isotérmicas Todos os pontos sobre tal curva têm a mesma temperatura Suponha que uma placa ocupa o primeiro quadrante e Txy xy Com base nessas informações analise os itens que seguem I Quando T 1 temos uma curva de nível cujo esboço é uma reta II O domínio da função Txy é D xy R2 x y III Uma formiga inicialmente em 14 anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante logo podemos afirmar que a temperatura ao longo de sua trajetória é 5 Assinale a alternativa correta Solução I Quando T 1 temos x y 1 que é uma equação de uma reta no plano Portanto a curva de nível correspondente é uma reta Logo a sentença I está correta II O domínio da função Txy é o conjunto de todos os pontos xy no plano tal que a função está definida No entanto a função Txy xy está definida para todos os pontos do plano não apenas para aqueles em que x y Portanto a sentença II está incorreta III Se a formiga se move em uma trajetória em que a temperatura permanece constante isso significa que ela está se movendo sobre uma curva de nível de Txy ou seja sobre uma curva onde x y é constante Como a formiga começa em 14 e a função de temperatura é Txy x y então a temperatura inicial é 1 4 5 Assim a temperatura ao longo de sua trajetória é 5 Portanto a sentença III está correta Resposta Final b Apenas os itens I e III estão corretos