Teorema Fundamental do Cálculo: Relacionamento entre Derivação e Integração

1 O nome Teorema Fundamental do Cálculo é apropriado pois ele estabelece uma conexão entre os dois ramos do cálculo o cálculo diferencial e o cálculo integral O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado o problema da área O mentor de Newton em Cambridge Isaac Barrow 16301677 descobriu que esses dois problemas estão na verdade estreitamente relacionados Ele percebeu que a derivação e a integração são processos inversos O Teorema Fundamental do Cálculo dá a relação inversa precisa entre a derivada e a integral Foram Newton e Leibniz que exploraram essa relação e usaramna para desenvolver o cálculo como um método matemático sistemático Em particular eles viram que o Teorema Fundamental os capacitava a calcular áreas e integrais muito mais facilmente sem que fosse necessário calculálas como limites de somas Considerando o contexto apresentado e seu conhecimento introdutório sobre integrais assinale a alternativa correta na qual apresenta resumidamente uma passo a passo para a solução da integral 0 a 14x3 8x 5dx Alternativas a 0 a 14x3 8x 5dx x4 4x2 5x₀¹ 14 4 x 02 5 x 0 14 4 12 5 x 1 0 2 2 b 0 a 14x3 8x 5dx x4 4x2 5x₀¹ 14 4 x 12 5 x 1 04 4 x 02 5 x 0 2 0 2 c 0 a 14x3 8x 5dx x4 4x2 5x₀¹ 14 4 x 12 5 x 1 04 4 x 02 5 x 0 2 0 2 d 0 a 14x3 8x 5dx 4x4 8x2 5x₀¹ 4 14 8 x 12 5 x 1 4 x 04 8 x 02 5 x 0 1 0 1 e 0 a 14x3 8x 5dx x4 4x2 5₀¹ 14 4 12 5 04 4 02 5 2 0 2 3 O cálculo do comprimento de uma curva é uma das informações importantes que usamos para avaliar a área dessa curva Seja em coordenadas cartesianas L a a b 1 dydx2 dx ou em coordenadas polares L a a b fθ2 fθ2 dθ o comprimento de um arco é calculado utilizando integrais definidas Calcule o comprimento do da circunferência descrita pela equação ρ 4 Alternativas a 8π b 2π c 4π d 16π e 3π Para convertermos um ponto Pxy do plano cartesiano para coordenadas polares precisamos ter em mente que para cada ponto P do plano são associadas coordenadas ρθ descritas da seguinte forma é a distância do polo O ao ponto P é o ângulo entre o eixo polar e o segmento de reta OP Para auxiliar nessa visualização observe o gráfico a seguir Fonte Elaborada pela autora Diante dessa informação e dos conteúdos da unidade converta a reta y2 em coordenadas polares e assinale a alternativa que descreve esse resultado Alternativas a ρ 2 tan θ b ρ 2 cos θ c ρ 2 sin θ d ρ 2 cos θ e ρ 2 sin θ 4 Um dos grandes avanços da geometria clássica foi a obtenção de fórmulas para determinar a área e o volume de triângulos esferas e cones Contudo há um método para calcular áreas e volumes das formas mais gerais Esse método chamado integração é uma ferramenta para calcular muito mais do que áreas e volumes A integral é de fundamental importância em estatística ciências e engenharia Ela nos permite calcular quantidades que vão desde probabilidades e médias até consumo de energia e forças que atuam contra as comportas de uma represa Estudaremos uma variedade dessas aplicações no próximo capítulo mas neste iremos nos concentrar no conceito de integral e em seu uso no cálculo de áreas de várias regiões com contornos curvos Tendo como referência seu conhecimento as integrais e sua relação com áreas de curvas julgue as afirmações abaixo em V Verdadeiras ou F A integral fxdx pode ser utilizada para calcular a área da região delimitada pela função contínua fx pelas retas verticais x a x b e pelo eixo X A área delimitada superiormente pela curva fx inferiormente pela curva gx e delimitado pelas retas x a e x b pode ser calculada por fxgxdx A única aplicação para as integrais em engenharia são os cálculos de área abaixo de uma curva e entre duas curvas Além disso a integral se restringe a uma ferramenta matemática pouco útil Ao calcular a integral fxdx de uma função contínua estamos calculando um valor que representa o comprimento total do arco dessa curva de x a até x b Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta Alternativas a FVVV b VFVF c VVFV d VVFF e FVVF 5 É muito frequente em se tratando de modelar um fenómeno ou um experimento qualquer obtermos equações que envolvam as variações das quantidades variáveis presentes e consideradas essenciais Desta forma as leis que regem tal fenómeno são traduzidas por equações de variações Quando estas variações são instantâneas o fenómeno se desenvolve continuamente e as equações matemáticas são de nominadas equações diferenciais ao passo que se as variáveis envolvidas forem discretizadas isto é funções de uma rede de pontos em que temos as médias das variações então as equações que descrevem o fenómeno serão denominadas equações de diferenças Tendo como referência seu conhecimento sobre Equações Diferenciais Ordinárias EDO Separáveis julgue as afirmações abaixo em V Verdadeira ou F Falsa A EDO 3x dydx y ex é separável e pode ser escrita como dydx ex3x A EDO y dydx ex é separável e pode ser escrita como dydx exy A EDO 3y dydx 1x2 é separável e pode ser escrita como dydx y1x23 A EDO 1y2 dydx x3 é separável e pode ser escrita como dydx x31y2 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta Alternativas a FVVV b VFVF c VVFV d FFVV e FFVF 1 ₀¹ 4x³ 8x 5 dx 4x⁴4 8x²2 5x x0x1 x⁴ 4x² 5x x0x1 1⁴ 41² 51 0⁴ 40² 50 1 4 5 0 0 0 2 Alternativa B 2 Como y p sen θ eutas p sen θ 2 p 2sen θ Alternativa E 3 Como em uma circunferência θ 0 2π e sendo fθ p 4 fθ 0 Assim L ₀²π 4² 0² dθ ₀²π 16 dθ ₀²π 4 dθ 4θ θ0θ2π L 42π 0 42π L 8π Alternativa A V A a to b fx dx V Δ a to b fx gx dx F Há várias aplicações de integrais além de áreas abaixo de curvas F O comprimento de curva é L a to b 1 fx2 dx Alternativa D 5 3x dydx y ex não é separável pois 3x dydx ex y dydx ex y 3x 13x ex y gxhy F y dydx ex dydx ex y 1y ex hygx V 3y dydx 1 x2 dydx y 1 x23 hygx V 1 y2 dydx x3 dydx x3 1 y2 x3 11 y2 gx hy V Alternativa A