Atividade de Multipla Escolha Calculo 2

1 O nome Teorema Fundamental do Cálculo é apropriado pois ele estabelece uma conexão entre os dois ramos do cálculo o cálculo diferencial e o cálculo integral O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado o problema da área O mentor de Newton em Cambridge Isaac Barrow 16301677 descobriu que esses dois problemas estão na verdade estreitamente relacionados Ele percebeu que a derivação e a integração são processos inversos O Teorema Fundamental do Cálculo dá a relação inversa precisa entre a derivada e a integral Foram Newton e Leibniz que exploraram essa relação e usaramna para desenvolver o cálculo como um método matemático sistemático Em particular eles viram que o Teorema Fundamental os capacitava a calcular áreas e integrais muito mais facilmente sem que fosse necessário calculálas como limites de somas Considerando o contexto apresentado e seu conhecimento introdutório sobre integrais assinale a alternativa correta na qual apresenta resumidamente uma passo a passo para a solução da integral Alternativas a b c d e 2 Para convertermos um ponto Pxy do plano cartesiano para coordenadas polares precisamos ter em mente que para cada ponto P do plano são associadas coordenadas descritas da seguinte forma é a distância do polo O ao ponto P é o ângulo entre o eixo polar e o seguimento de reta Para auxiliar nessa visualização observe o gráfico a seguir Fonte Elaborada pela autora Diante dessa informação e dos conteúdos da unidade converta a reta y2 em coordenadas polares e assinale a alternativa que descreve esse resultado Alternativas a b c d e 3 O cálculo do comprimento de uma curva é uma das informações importantes que usamos para avaliar a área dessa curva Seja em coordenadas cartesianas ou em coordenadas polares o comprimento de um arco é calculado utilizando integrais definidas Calcule o comprimento do da circunferência descrita pela equação Alternativas a 8p b 2p c 4p d 16p e 3p 4 Um dos grandes avanços da geometria clássica foi a obtenção de fórmulas para determinar a área e o volume de triângulos esferas e cones Contudo há um método para calcular áreas e volumes das formas mais gerais Esse método chamado integração é uma ferramenta para calcular muito mais do que áreas e volumes A integral é de fundamental importância em estatística ciências e engenharia Ela nos permite calcular quantidades que vão desde probabilidades e médias até consumo de energia e forças que atuam contra as comportas de uma represa Estudaremos uma variedade dessas aplicações no próximo capítulo mas neste iremos nos concentrar no conceito de integral e em seu uso no cálculo de áreas de várias regiões com contornos curvos Tendo como referência seu conhecimento as integrais e sua relação com áreas de curvas julgue as afirmações abaixo em V Verdadeiras ou F A integral pode ser utilizada para calcular a área da região delimitada pela função contínua pelas retas verticais e e pelo eixo A área delimitada superiormente pela curva inferiormente pela curva e delimitado pelas retas e pode ser calculada por A única aplicação para as integrais em engenharia são os cálculos de área abaixo de uma curva e entre duas curvas Além disso a integral se restringe a uma ferramenta matemática pouco útil Ao calcular a integral de uma função contínua estamos calculando um valor que representa o comprimento total do arco dessa curva de até Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta Alternativas a F V V V B V F V F C V V F V D V V F F f F V V F 6 As integrais duplas fazem parte dos conceitos fundamentais de Cálculo Diferencial e Integral quando estamos interessados em trabalhar com noções espaciais de volumes ou até mesmo áreas de superfícies Com base nesse conceito julgue as informações a seguir I Para o cálculo de uma integral dupla em uma região retangular procedemos com o uso de dodecaedros para a aproximação do volume de uma superfície II O vetor gradiente é utilizado para o cálculo de integrais iteradas III O volume da superfície é aproximado pelo limite da soma de Riemann para funções de duas variáveis É correto o que se afirma em Alternativas aI apenas bII apenas cIII apenas dI e III apenas eII e III apenas 7 Podemos aplicar o vetor gradiente em diversas situações uma delas é encontrar o valor do vetor gradiente em um ponto de uma superfície Pensando nesse conceito qual seria o valor do vetor gradiente no ponto descrito pelas coordenadas 2 1 3 do elipsoide de equação descrita Assinale a alternativa correta Alternativas a b c d e 8 Suponha que em uma empresa de caixas de papelão são fabricados três tamanhos diferentes pequena média e grande O custo para fabricação de uma caixa pequena é de R 150 de uma caixa média é de R250 e de uma caixa grande é de R400 O custo fixo da empresa é de R 550000 Com base nessa situação analise os itens que seguem I O problema tem duas variáveis a quantidade de caixas produzidas que pode ser denotado por x e o custo total da produção que pode ser denotado por Cx II O problema tem como variáveis dependentes a quantidade de caixas médias produzidas a quantidade de caixas pequenas produzidas e o custo fixo e como variável independente o custo de produção III O problema tem como variável dependente o custo de produção e como variáveis independentes a quantidade produzida de caixas pequenas a quantidade produzida de caixas média e a quantidade produzida de caixas grandes Assinale a alternativa correta Alternativas a Apenas o item I está correto b Apenas o item II está correto c Apenas o item III está correto d Apenas os itens I e II estão corretos e Apenas os itens I e III estão corretos 9 Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais x y de um conjunto D um único valor real denotado por fx yO conjunto D é denominado domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f Com base nessas informações analise a função Assinale a alternativa que contém o domínio da função Alternativas a b c d e 10 Se Txy for a temperatura em um ponto xy sobre uma placa delgada de metal no plano então as curvas de nível de T são chamadas de curvas isotérmicas Todos os pontos sobre tal curva têm a mesma temperatura Suponha que uma placa ocupa o primeiro quadrante e Txy x yCom base nessas afirmações analise os itens que seguem I Quando T 1 temos uma curva de nível cujo esboço é uma reta II O domínio da função Txy é III Uma formiga inicialmente em 1 4 anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante logo podemos afirmar que a temperatura ao longo de sua trajetória é 5 Assinale a alternativa correta Alternativas a Apenas o item I está correto b Apenas os itens I e III estão corretos c Apenas os itens I e II estão corretos d Apenas os itens II e III estão corretos e Os itens I II e III estão corretos 1B II 2 y 2 p senθ 2 E II λ 2 senθ 3 pθ 4 pθ 0 L 0 to 2π 16 0 dθ 0 to 2π 4 dθ 4θ 8π II 4 V V F F D 5 Not existe 6 I F II F III V C 7 x²4 y² z²9 3 f 12 x 2y 29 z f2 1 3 12 2 21 29 3 f2 1 3 1 2 69 B 8 I F II F III V C 9 fxy 3x y 3x y 0 y 3x C 10 Tx y x y I V II F DT x y R² x 0 y 0 III T1 4 1 4 5 V B