Prova de Cálculo Avançado 2 - Áreas, Comprimentos, Coordenadas e Derivadas

Questão 1 05 ponto Calcule a área da superfície de uma esfera determinada pelas equações x cos t y sin t 0 t π a 4π b π c 2π d 3π e Nenhuma das Alternativas Questão 2 05 ponto Calcule o comprimento da curva polar r 2 cos θ para 0 θ π a 2π b π c 4π d π2 e Nenhuma das Alternativas Questão 3 05 ponto Encontre a área da curva polar r θ² para 0 θ π4 a 25π⁴ b 25π⁴ c 0 d π⁵240 e Nenhuma das Alternativas Questão 4 05 ponto Analise em verdadeiro V ou falso F I A função do tipo fxy possui apenas uma derivada de primeira ordem II A fxy associa um par ordenado de números reais de um conjunto D a um outro par ordenado de número reais III A função fxy possui duas coordenadas independentes x e y IV Sabemos que a inclinação da reta tangente é dada pela derivada Baseado nessa informação a função contínua fxy possui duas retas tangentes no ponto x₀ y₀ a F V F e V b F F V e V c V F V e F d V V V e F e Nenhuma das Alternativas Questão 5 05 ponto Determine a derivada parcial fxyx da função fxy x⁴y² x³y a 2x³y² 3x²y b 8x²y² 3x² c 24x²y 6x d 6x²y² 6xy e Nenhuma das alternativas anteriores Questão 6 05 ponto Represente o ponto com coordenadas cartesianas 1 1 em termos de coordenadas polares a 2 7π4 b 3 π4 c 22 π d 2 π3 e Nenhuma das alternativas anteriores Questão 7 05 ponto Aplique a integração por partes para resolver x cos x dx a Fx senx cosx C b Fx x cosx cosx C c Fx x senx cosx C d Fx x senx cosx C e Fx x senx cosx C Questão 8 05 ponto Encontre a área sob um arco da cicloide x 2θ sin θ y 21 cos θ 0 θ 2π a 0 b 3π c 4π d 12π e Nenhuma das alternativas anteriores Questão 9 15 pontos Utilizando integral imprópria calcule a área abaixo da função fx x² x³ 1 para x 0 Questão 10 15 pontos Determine a equação do plano tangente à superfície z 2x² y² 5y no ponto 1 2 Questão 01 x cost y sent 0 t π 1 x² y² r² cos²t sen²t r² r² 1 r 1 2 3 Área S 2π y 1 y² dx y² x² 1 y 1 x² y x1 x² S 2π from 1 to 1 1 x² 1 x²1 x² dx S 2π from 1 to 1 1 x² 1 x² x²1 x² dx S 2π from 1 to 1 1 x² 11 x² dx S 2π from 1 to 1 1 dx S 2π x from 1 to 1 2π 1 1 4π Letra A Questão 02 r 2 cosθ 0 θ π 1 L from a to b r² drdθ² dθ 2 drdθ 2 senθ L from 0 to π 2cosθ² 2senθ² dθ L from 0 to π 4cos²θ 4sen²θ dθ L from 0 to π 4 dθ L from 0 to π 2 dθ 2θ from 0 to π L 2 π 0 L 2π Letra A Questão 03 1 A 12 from α to β r² dθ A 12 from 0 to π4 θ²² dθ A 12 from 0 to π4 θ4 dθ A 12 θ55 from 0 to π4 4 π5 10240 Letra E Questão 04 i Falso Existem 2 derivadas parciais de 1ª ordem Fx Fy ii Falso Associa um par ordenado a um único valor iii Verdadeiro x e y são independentes iv Verdadeiro são duas tangentes Letra B Questão 05 1 fx fx 4x³y² 3x²y 2 fxy fxy 8x³y 3x² 3 fxyx fxyx 24x²y 6x Letra C Questão 06 1 x² y² r² 1² 1² r² r² 1 1 r 2 2 x r cos θ y r sen θ 1 2 cos θ cos θ 22 1 2 sen θ sen θ 2 2 3 cos θ sen θ θ 2π π4 7π4 4 2 7π4 Letra A Questão 07º x cos x dx 1 Integração por partes u dv uv v du u x cos x dv du dx sen x v 2 x cos x dx x sen x sen x dx x cos x dx x sen x cos x C Fx x sen x cos x C Letra C Questão 08º x 2θ sinθ y 21 cosθ 0 θ 2π 1 A 0 2π y dx i x 2θ sinθ dx 21 cosθdθ A 0 2π 21 cosθ21 cosθdθ k 4 0 2π 1 cosθ² dθ A 4 0 2π 1 2cosθ cos²θdθ A 4 0 2π 32 2cosθ cos2θ2dθ A 4 32θ 2sinθ sin2θ4 2π 0 A 4 32 2π 0 A 12π Letra D Questão 09º 1 A 0 x²x³1 dx 2 A lim t 0 t x²x³1 dx i 0 t x²x³1 dx u x³ 1 du 3 x² dx 13 1u du 13 lnu c 0 t x²x³1 dx 13 lnx³ 1 0 t 13 lnt³ 1 3 A lim t 13 lnt³ 1 A integral diverge Área infinita Questão 10º z 2x² y² 5y 1 2 1 plano tangente z Fx0 y0 Fx x0 y0x x0 Fy x0 y0y y0 2 Fx y0 y0 Fx 4x Fx 12 4 3 Fy x0 y0 Fy 2y 5 Fy 12 1 4 Fx0 y0 F12 21² 2² 52 F12 4 5 plano z 4 4x 1 1y 2 4x y z 6