Cálculo do Deslocamento em um Sistema Cursormanivela

Prof Flavio Maldonado Bentes flaviobentesgmailcom Mecanismo cursormanivela Mecanismo utilizado para conversão de movimento linear em rotativo e viceversa Sua utilização passou a ser mais usual com o desenvolvimento dos motores de combustão interna Seja um dispositivo cursormanivela em pleno funcionamento conforme a figura 1 Figura 1 mecanismo cursormanivela Podemos entender o funcionamento do dispositivo conforme a figura 2 onde buscamos o cálculo do deslocamento x Figura 2 deslocamento do cursor Podemos dizer que 𝐿𝑠𝑒𝑛 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 eq 1 Dessa forma temos que 𝑥 𝑅 𝐿 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐿𝑐𝑜𝑠 eq 2 Prof Flavio Maldonado Bentes flaviobentesgmailcom Desenvolvimento 𝑥 𝑅 𝐿 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐿𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑅 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐿 𝐿𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑅1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐿1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑅1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐿 1 1 𝑅 𝐿 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 05 eq 3 Utilizaremos a seguinte série para a solução 1 𝑎2 1 2 1 1 2 𝑎2 𝑎4 24 13𝑎6 246 13 5𝑎8 2468 1357𝑎10 246810 Então com 𝑎 𝑅 𝐿 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 e considerando até o segundo termo temos que 1 𝑅 𝐿 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 05 1 1 2 𝑅 𝐿 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 eq 4 Substituindo a equação 4 na equação 3 𝑥 𝑅1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐿 1 1 1 2 𝑅 𝐿 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑅1 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 2 𝐿 𝑅 𝐿 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑅1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑅2 2𝐿 𝑠𝑒𝑛2𝜃 Prof Flavio Maldonado Bentes flaviobentesgmailcom Dessa forma chegamos a expressão final que permite o cálculo do deslocamento do sistema cursormanivela 𝑥 𝑅1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑅2 2𝐿 𝑠𝑒𝑛2𝜃 eq 5 Consideramos a velocidade angular ω constante sendo assim podemos afirmar que 𝜃 𝜔𝑡 eq 6 A partir do deslocamento podemos derivar no tempo e seguidamente obtermos a velocidade conforme a equação 7 𝑣 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑅𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑅 2𝐿 𝑠𝑒𝑛2𝜃 eq 7 Da mesma forma podemos obter a aceleração do sistema se derivarmos novamente a velocidade conforme a equação 8 𝑎 𝑥 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑅𝜔2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑅 𝐿 𝑐𝑜𝑠2𝜃 eq 8 Prof Flavio Maldonado Bentes flaviobentesgmailcom Exercício Um sistema cursormanivela está em funcionamento e movimenta um pistão que se desloca linearmente Sabese que a manivela mede 20 cm e que a biela mede 50 cm A velocidade angular do ω é constante e foi calculada em 2 rads Determine a o ângulo de rotação da manivela θ em t 05 segundos b o deslocamento x c a velocidade 𝑥 d a aceleração 𝑥 neste mesmo instante Dados R 20 cm 02 m L 50 cm 05 m ω 2 rads t 05 s Solução a Cálculo do ângulo de rotação da manivela 𝜃 𝜃 𝜔𝑡 𝜃 205 1 𝑟𝑎𝑑 𝜃 1 180 𝜋 573 Prof Flavio Maldonado Bentes flaviobentesgmailcom b Cálculo do deslocamento x 𝑥 𝑅1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑅2 2𝐿 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑥 021 𝑐𝑜𝑠573 022 205 𝑠𝑒𝑛2573 𝑥 021 054 0040708 𝑥 0092 002832 𝑥 012 𝑚 c Cálculo da velocidade 𝑥 𝑣 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑅𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑅 2𝐿 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑣 022 𝑠𝑒𝑛573 02 205 𝑠𝑒𝑛2573 𝑣 0408415 02𝑠𝑒𝑛1146 0408415 020909 𝑣 0410233 0409 𝑣 041 𝑚𝑠 Prof Flavio Maldonado Bentes flaviobentesgmailcom d Cálculo da aceleração 𝑥 𝑎 𝑥 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑅𝜔2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑅 𝐿 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑎 02 22 𝑐𝑜𝑠573 02 05 𝑐𝑜𝑠2573 𝑎 0805402 04 𝑐𝑜𝑠1146 0805402 04 041628 𝑎 0805402 0166512 080373688 02989 𝑎 03 𝑚𝑠²