Notas de Aula 12 Produto Vetorial

UCL — Faculdade do Centro Leste Produto Vetorial Geometria Analítica Definição: sejam \(\vec{u} = x_1^i + y_1^j + z_1^k\) e \(\vec{v} = x_2^i + y_2^j + z_2^k\) vetores quaisquer do espaço. Tomado nesta ordem, chama-se produto vetorial dos vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) ao vetor: \(\vec{u} \times \vec{v} = (y_1z_2 - z_1y_2)^i - (x_1z_2 - z_1x_2)^j + (x_1y_2 - y_1x_2)^k\) \(\vec{u} \times \vec{v}\) \((\vec{u} \times \vec{v})\) Podemos expressar \(\vec{u} \times \vec{v}\) usando determinantes: \(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}^i & ^j & ^k \\ y_1 & z_1 & \begin{array}{cc} z_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{array} \\ \begin{array}{cc} y_2 & x_2 \\ z_2 & z_2 \end{array}\end{vmatrix}\) Ou ainda \(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} ^i & ^j & ^k \\ y_1 & z_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 & z_2 \end{vmatrix}\) \vec{u}=(2,1,5) \\ Calcule\ \vec{u} \wedge \vec{v} \ para \ \vec{v}=(1,4,-1) e \\ i\quad j\quad k \\ 2\quad 1\quad 5 \\ 1\quad 4\quad -1\\ -\vec{i}-2\vec{j}+k-2k+4\vec{i}+5\vec{j}\\ =5\vec{i}-6\vec{j}-\vec{k}\\ isto\ \é, \quad \vec{u} \wedge \vec{v} = (5,-6,-1) Calcule\ agora \ \vec{v} \wedge \vec{u}\\ i\quad j\quad k \\ 1\quad 4\quad -1\\ 2\quad 1\quad 5 \\ -4\vec{i}-5\vec{j}+k-(-\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k})\\ = -5\vec{i}+6\vec{j}+\vec{k}\\ isto\ \é, \quad \vec{v} \wedge \vec{u} = (-5,6,1) mostre\ que \\ \vec{j}\wedge \vec{k} = \vec{i}\\ \vec{k}\wedge \vec{i} = \vec{j}\\ \vec{i}\wedge \vec{j} = \vec{k}\\ \in \quad \{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \}\quad é \ a \ base \ canônica \\ \vec{j}\\ 0\\ 1 \\ \wedge \\ \vec{k}\\ 0\\ 0\\ 1 \\ 0+0\vec{j}+k = \vec{i}\\ \vec{k}\\ 1\\ 0\\ \wedge \\ \vec{i}\\ 0\\ 0\\ 1\\ = \vec{j}\\ \vec{i}\\ 0\\ 0\\ \wedge \\ \vec{j}\\ 1\\ 0\\ 0\\ = \vec{k} 1) \vec{u} \times \vec{u} = \vec{0} \text{ qualquer que seja o vetor } \vec{u} \begin{vmatrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix} = \vec{0} 2) \vec{u} \times \vec{v} = - (\vec{v} \times \vec{u}) \text{ (O produto vetorial não é comutativo) } \text{no produto vetorial a ordem dos fatores é importante} 3) \vec{u} \times (\vec{w} + \vec{v}) = \vec{u} \times \vec{w} + \vec{u} \times \vec{v} 4) (\lambda \vec{u}) \times \vec{v} = \lambda (\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{u} \times (\lambda \vec{v}) \lambda \vec{u} = (\lambda u_1, \lambda u_2, \lambda u_3) \begin{vmatrix} i & j & k \\ \lambda u_1 & \lambda u_2 & \lambda u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \lambda \begin{vmatrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \lambda (\vec{u} \times \vec{v}) 5) \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \text{ se, e somente se um dos vetores é nulo ou se } \vec{u} \text{ e } \vec{v} \text{ são paralelos.} a) \text{ Se } \vec{u} = \vec{0} = (0,0,0), \text{ então } \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 0 & 0 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k} = \vec{0} b) \text{ Se } \vec{u} \text{ e } \vec{v} \text{ não nulos e colineares, então existe } k \in \mathbb{R} \text{ tal que } \vec{u} = k \vec{v}, \text{ isto é } \vec{u} = (kx_1, ky_2, kz_3) \text{Dai } \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ kx_1 & ky_2 & kz_3 \\ x_1 & y_2 & z_3 \end{vmatrix} = (ky_2z_3 - kz_3y_2) \vec{i} - (kx_1z_3 - kz_3x_1) \vec{j} + (kx_1y_2 - ky_2z_3) \vec{k} = \vec{0}