Notas de Aula 26 Conicas Introducao

As seções cônicas Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não-perpendiculares. Conservemos fixa a reta e e façamos g girar 360 graus em torno de e mantendo constante o ângulo entre estas retas. Nestas condições, a reta g gera uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice. A reta g é chamada de geratriz, ou simplesmente cônica, ao conjunto de pontos que formam a interseção de um plano com uma superfície cônica. Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano π qualquer que não passa pelo vértice O, a cônica será: a) Uma parábola, se π for paralelo a uma geratriz da superfície. b) Uma elipse, se π não for paralelo a uma geratriz e intercepta apenas uma das folhas da superfície. c) Uma hipérbole, se π não é paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da superfície. A hipérbole deve ser vista como uma curva só, constituída de dois ramos, um em cada folha da superfície. Observações: As superfícies cônicas devem ser encaradas como ilimitadas, isto é, constituídas de duas folhas que se estendem indefinidamente em ambos os sentidos. Se cada um dos planos secantes for transladado paralelamente até chegarem ao vértice 0, obtemos as respectivas cônicas “degeneradas”. a) Uma reta b) Um ponto c) Duas retas É importante observar que as cônicas são curvas planas e, portanto, tudo o que for dito sobre parábola, elipse e hipérbole se passa num plano. Uma equação quadrática nas variáveis x e y tem a forma: Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 em que a, b, c, d, e, f são números reais, com a, b, e não simultaneamente nulos. Esta equação representa cônica, por poder ser obtida da interseção de um cone circular com um plano. As cônicas mais importantes são elipses, hipérboles e parábolas, que são chamadas cônicas não degeneradas. As outras que incluem um único ponto, um par de retas, são chamadas cônicas degeneradas. Uma equação do tipo: Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 tal que {A, B, C, D, E, F} ⊂ R, com A, B e C não simultaneamente nulos, representa um dos seguintes conjuntos de pontos: • circunferência • elipse • hipérbole • parábola • par de retas • conjunto com um único ponto • conjunto vazio Coeficiente do produto xy nulo (C = 0) 1. Se na sentença Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0 temos A = B (A e B não nulos), então a equação pode representar uma circunferência, um ponto ou o conjunto vazio. Para concluir sobre qual dessas possibilidades ocorre, reduzimos a equação à forma: (x - x₀)² + (y - y₀)² = k, k ∈ R Essa equação representa: • Uma circunferência se, e somente se, k > 0 ; • Um ponto se, e somente se, k = 0 ; • O conjunto vazio se, e somente se, k < 0 . 2. Se na sentença Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0 temos A e B não nulos, diferentes e com mesmo sinal, então a equação pode representar uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio. Para concluir sobre qual dessas possibilidades ocorre, reduzimos a equação à forma: (x - x₀)² (y - y₀)² ----- + ----- = k, {a, b, k} ⊂ R, a ≠ 0 e b ≠ 0 a² b² Essa equação representa: • Uma elipse se, e somente se, k > 0 ; • Um ponto se, e somente se, k = 0 ; • O conjunto vazio se, e somente se, k < 0 . 3. Se na sentença Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0 temos A e B não nulos, e com sinais opostos, então a equação pode representar uma hipérbole ou um par de retas. Para concluir sobre qual dessas possibilidades ocorre, reduzimos a equação à forma: ((x − x_0)^2)/(a^2) − ((y − y_0)^2)/(b^2) = k, {a, b, k} ∈ R, a ≠ 0 e b ≠ 0 Essa equação representa: • Uma hipérbole se, e somente se, k ≠ 0 ; • Um par de retas se, e somente se, k = 0 ; 1. Qual a figura representada por cada uma das equações abaixo? a) x^2 + y^2 + 2x − 6y + 6 = 0 b) 5x^2 + 5y^2 − 10x − 20y + 25 = 0 c) x^2 + y^2 − 2x − 4y + 9 = 0 2. Obter k, k ∈ R, de modo que a equação x^2 + y^2 − 4y + 1 − k = 0 represente uma circunferência. 3. Para que valores reais de k a equação x^2 + y^2 + 6x − 4y + k = 0 representa: a) uma circunferência? b) um ponto? c) o conjunto vazio? 1. a) Uma circunferência b) Um ponto c) Conjunto vazio 2. K > -3 3. a) K < 13 b) K = 13 c) K > 13 1. Qual a figura representada por cada uma das equações abaixo? a) x² + y² - 2x - 6y + 6 = 0 b) 5x² + 5y² - 10x - 20y = 0 c) 4x² - y² - 4y = 0 d) 9x² - 16y² - 16x + 54 = 0 e) 16x² - 3y² - 10x + 56y = 0 f) x² + 4xy + 5y² - 9x - 3 = 0 g) y² - 2x + 29y - 156 = 0 h) 25x² + 4y² - 25x + 40y - 35 = 0 i) \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25}=1 \) j) \( x^3 + 5y^3 = 0 \) 2. Obter k, k ∈ R, de modo que a equação x² - y² - 4y + 1 - k = 0 represente uma circunferência. 3. Dar o gráfico cartesiano determinado pela equação x - 5x + 6 = 0 4. Para que valores reais de k a equação x² + y² + 6x - 4y + k = 0 representa: a) uma circunferência? b) um ponto? c) o conjunto vazio? 5. Obtenha m e k reais, de modo que a equação mx² + 3y² - 6x + k = 0 represente uma circunferência passando pela origem do sistema cartesiano. 6. Qual a figura representada pela equação 5x - 5y² - 8xy - 9 = 0