Notas de Aula 25 Distancias 2 Retas Reta e Plano 2 Planos

UCL – Faculdade do Centro Leste\n\nDistâncias\nDistância entre duas retas\nDistância entre reta e plano\nDistância entre dois planos\n\nGeometria Analítica Distância entre duas retas\n\nDadas as retas x e y, sua distância d(x,y) é igual à distância u entre os pontos A e B em que uma reta perpendicular comum à x e ao y intercepta.\n\n1) Se x e y são concâneos, os pontos A e B coincidem, logo d(x,y) = 0 2) Se x e y são paralelas, existem infinitas perpendiculares comuns a d(x,x) = d(P,B) onde P é... Distância entre duas retas\n3) Se x e b são retas não reversas, digamos que:\n x: X = A + xt\n s: X = B + yt\n\n Os retas x, y e z, por serem não coplanares, determinam um paralelepípedo cujo altura é d(x,y). Distância entre duas retas\n\n O volume desse paralelepípedo é:\n a) V = (área da base) · (altura) | x^s ^ d|,\n b) V = |(x, y, z) |.\n\n d(x, o) = |(x,y,z) ^ (A,B)|\n | x^s ^ d |. Calcule a distância entre as retas.\n x: X = (-1,2,0) + t(1,3,1)\n y: x = -1 + 2t\n y = 2 + 3t\n z = 3t\n\n Temos: A = (-1,2,0) B = (1,2,0)\n x = (1,3,1) y = (2,3,3)\n\n AB = (2,0,0) x \n y \n z \n \n(6, -1, -3) + 0 \n \n \n=> r\u0302, s\u0302 b\u00e3o d.I. \n \n(r\u0302, s\u0302) = (k\u0302 \u00d7 r\u0302)\u00d7 A\u0302 = (6,-1,-3), (2,0,0) = 12 \n \nAssumindo, x e b\u00e3o reversas e \n \nd(x, y) = 121 = 12 \n| (6, -1, -3) / \\sqrt{36+9} \n Dado o ponto P = (1, 3, -1), o plano \u03c0: x + y + z = 2 e a reta s: x - 3y + 2z = 2 + t, obtemos equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta x que passa por P , e \nparalela a \u03c0 e dista 3 da reta s. \n \nSeja x\u0302 = (a, b, c) reto distinto de x. \n \nn\u0302=(i, 0, 1) normal a \u03c0 \u21d2 n\u0302.x\u0302 = 0 para x\u0302 \n \n(a + C = 0 \n) => \u03b1 = -c\n x = 2 + t \ny = 0 \nz = t \nB = (2, 0, 0) e s \n=> {r\u0302 = (1, 0, 1) \n \n / \n \n/n\u0302 \u21d2 r\u0302 \u21d2 \u03c0 e s, e x e b\u00e3o reversas (obv.x, 0) \nA m = (1, -3, -1) \u2208 \n(BP : = (-1, 3, -1) := \n-1 3 -1 \n = a c \n c = 3c - 3 = 3) x \\times y = \\begin{pmatrix} i & j & k \\\\ a & b & c \\\\ \\end{pmatrix} = (b_1, c_a, -b) \n\\text{logo} \n\\sqrt{28-32t} = 3 \n\\sqrt{2b + (c-a)^{2}} \n\\hspace{20pt} = 3 \n36c^{2} = 9(2b^{2} + 4c^{2}) \n36c^{2} - 36c^{2} = 18b^{2} \\Rightarrow (b=0) \n\\mathbf{r} = (-c, 0, c) = c(-1, 0, 1) \n\\text{\\qquad } x = b - t \n\\qquad y = 3 \n\\qquad z = -1 - t