Notas de Aula 22 Planos Perpendicularismo Posicao Relativa Reta Plano

UCL – Faculdade do Centro Leste\n\nPlanos\nPerpendicularismo\nPosição relativa entre reta e plano\nPosição relativa entre planos\n\nGeometria Analítica Para decidir se uma reta x e um plano π são perpendiculares, podemos proceder da seguinte maneira:\n\nse \\(\\overline{w} \\) é um vetor diretor de x e \\(\\overline{u} \\) e \\(\\overline{v} \\) são vetores diretores de π, então x e π são perpendiculares se \\(\\overline{u} \\cdot \\overline{w} = 0\\) e \\(\\overline{v} \\cdot \\overline{w} = 0\\) Caso o plano seja dado por sua equação qual \\(ax + by + cz + d = 0\\), então, como (a,b,c) é normal a π, basta verificar se este reta é paralela a \\(\\overline{w} \\) Verifique se n e h são perpendiculares, sendo\nx = X(0,1,0) + t(1,1,3) e\nπ : X = (3,5,5) + t(6,7,8) + h(9,10,11)\n\n -i -j -k\n\nn = 6 7 8\n = 77 + 2t + 60k = 68x - 80 - 66\n\n9 10 11\n\n(-3,-6,-3)\n\nComo r = (1,1,3) temos que r não é paralelo a x e \nportanto r e h não são perpendiculares. Verifique se x e z são perpendiculares, sendo,\nπ: x + 2y - z = 0\n 2x + y - z = 2\n\nUm reta direta de x e z\n\nr^ = -i -j -k\n = 2 -1 -1\n\nn1 = 2 - 2k = 7 + 2k + k + 2 + 27 = (2,0,4)\n\nUm reta normal a π é n = (1,0,2).\n\nComo u = 2n0, temos que k ⊥ n. Perpendicularismo\n\nSejam π1 ⊥ π2 planos com vetores normais n1 e n2 respectivamente,\nπ1 ⊥ π2 ⟺ (n1, n2) = 0 Dados os planos \\Pi_1: x - y + 3 + z = 0, \\Pi_2: x + y - z = 0 e \\Pi_3: x + y - 3 = 0, ache uma equação do plano que contém \\Pi_1 e \\Pi_2 e é perpendicular a \\Pi_3.\nSeja \\vec{n} = (a, b, c) um vetor normal a \\Pi.\n\\rightarrow -x + y + 3 = 0\n\\rightarrow -x + y - z = 0 \\Rightarrow x = 0 \n\\rightarrow -y + z - 3 = 0 \\Rightarrow y = 1 + t\n\\rightarrow 2 + t\n\\vec{n_{3}} = (0, 0, 1) é um vetor direto do \\Pi.\n\\vec{n_{1}} \\cdot \\vec{n} = 0 \\Rightarrow (0, 0, 1) \\cdot (a, b, c) = 0\nb + c = 0 \\Rightarrow b = -c. Além disso, \\vec{n_3} = (1, 1, 2) é um vetor normal da \\Pi_2 e \\Pi_3 \\perp \\Pi_1\n\\Rightarrow (a, b, c) \\cdot (1, 1, 2) = 0\n\\Rightarrow a + b + 2c = 0\n\\Rightarrow a + c = 0 \\Rightarrow a = -c\n\\vec{n_3} = (-c, -c, c) = -c(1, 1, -1)\n\nLogo:\n\\Pi: x + y - z + d = 0\nSubstituindo o ponto A (0, 1, 0) em \\Pi_1 e \\Pi_2 temos\n0 + b - 0 + d = 0 \\Rightarrow d = -1\n\\Pi: x + y - z - 1 = 0 Posição relativa entre reta e plano\n\nSejam r: x = (x_0, y_0, z_0) + t(m_1, n_1, p) uma reta e \\Pi: ax + by + cz + d = 0 um plano\ncom relação à posição de r e \\Pi pode ocorrer três situações:\n\nr \\perp \\Pi\nr \\parallel \\Pi\n\"r é transversal a \\Pi\" Posição relativa entre reta e plano\n\nTeremos \\( \\vec{n} = (m,n,p) \\) e a reta dire dota \\( r \\) e \\( \\vec{n} = (a,b,c) \\) está normal a \\( \\pi \\) \n\\[ \\vec{n} \\cdot \\vec{r} = am + bn + cp \\] \n\n\\(d \\in \\pi \\Rightarrow \\vec{n} \\cdot \\vec{r_{d}}=0\\)\n\nse \\( \\alpha \\in \\Lambda (x_0,y_0,z_0) \\in x \\Rightarrow \\Lambda \\in \\beta \\Rightarrow \\beta \\in \\gamma \\Rightarrow \\times \\beta \\in \\alpha \\Rightarrow \\gamma \\in \\beta \\)