Notas de Aula 26 Conicas Introducao

Uma equação do tipo: Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 tal que {A, B, C, D, E, F} ⊂ R, com A, B e C não simultaneamente nulos, representa um dos seguintes conjuntos de pontos: • circunferência • elipse • hipérbole • parábola • par de retas • conjunto com um único ponto • conjunto vazio Coeficiente do produto xy nulo (C = 0) 1. Se na sentença Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0 temos A = B (A e B não nulos), então a equação pode representar uma circunferência, um ponto ou o conjunto vazio. Para concluir sobre qual dessas possibilidades ocorre, reduzimos a equação à forma: Ⓧ (x - x₀)^2 + (y - y₀)^2 = k, k ∈ R Essa equação representa: • Uma circunferência se, e somente se, k > 0; • Um ponto se, e somente se, k = 0; • O conjunto vazio se, e somente se, k < 0. 2. Se na sentença Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0 temos A e B não nulos, diferentes e com mesmo sinal, então a equação pode representar uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio. Para concluir sobre qual dessas possibilidades ocorre, reduzimos a equação à forma: (x - x₀)^2/a^2 + (y - y₀)^2/b^2 = k, {a, b, k} ⊂ R, a ≠ 0 e b ≠ 0 Essa equação representa: • Uma elipse se, e somente se, k > 0; • Um ponto se, e somente se, k = 0; • O conjunto vazio se, e somente se, k < 0. Observações: As superfícies cônicas devem ser encaradas como ilimitadas, isto é, constituídas de duas folhas que se estendem indefinidamente em ambos os sentidos. Se cada um dos planos secantes for transladado paralelamente até chegarem ao vértice O, obtemos as respectivas cônicas “degeneradas”. a) Uma reta b) Um ponto c) Duas retas É importante observar que as cônicas são curvas planas e, portanto, tudo o que for dito sobre parábola, elipse e hipérbole se passa num plano. Uma equação quadrática nas variáveis x e y tem a forma: Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 em que a, b, c, d, e, f são números reais, com a, b, e c não simultaneamente nulos. Esta equação representa cônica, por poder ser obtida da interseção de um cone circular com um plano. As cônicas mais importantes são elipses, hipérboles e parábolas, que são chamadas cônicas não degeneradas. As outras que incluem um único ponto, um par de retas, são chamadas cônicas degeneradas. 3. Se na sentença Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0 temos A e B não nulos, e com sinais opostos, então a equação pode representar uma hipérbole ou um par de retas. Para concluir sobre qual dessas possibilidades ocorre, reduzimos a equação à forma: (x - x_0)^2/a^2 - (y-y_0)^2/b^2 = k, \{a, b, k\} \subset \mathbb{R}, a \neq 0 e b \neq 0 Essa equação representa: • Uma hipérbole se, e somente se, k \neq 0 ; • Um par de retas se, e somente se, k = 0 ; 1. Qual a figura representada por cada uma das equações abaixo? a) x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0 b) 5x^2 + 5y^2 - 10x - 20y + 25 = 0 c) x^2 + y^2 - 2x - 4y + 9 = 0 2. Obter k, k \in \mathbb{R}, de modo que a equação x^2 + y^2 - 4y + 1 - k = 0 represente uma circunferência. 3. Para que valores reais de k a equação x^2 + y^2 + 6x - 4y + k = 0 representa: a) uma circunferência? b) um ponto? c) o conjunto vazio? 1. a) Uma circunferência b) Um ponto c) Conjunto vazio 2. K > -3 3. a) K < 13 b) K = 13 c) K > 13 1. Qual a figura representada por cada uma das equações abaixo? a) x² + y² - 2x - 6y + 6 = 0 b) 5x² + 5y² - 10x - 20y - 5 = 0 c) 3x² + y² - 4 = 0 d) 4x² - 9y² - 16x + 54y + 61 = 0 e) x² - 4xy + 3y² - 36x + 56y - 60 = 0 f) 9x² - 16y² + 30x - 8y + 49 = 0 g) x² + x - 8y - 43 = 0 h) 4x^2 + y^2 - 25x + 25 = 0 i) \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 j) 3x^2 + 3y = 5 2. Obter k \in R, de modo que a equação x² - y² - 4y - 1 - k = 0 represente uma circunferência. 3. Ditar gráfico cartesiano determinado pela equação 5x - 5x + 6 = 0 4. Para que valores reais de k a equação x² + y² + 6x - 4y + k = 0 representa: a) uma circunferência? b) um ponto? c) o conjunto vazio? 5. Obtenha m e k reais, de modo que a equação mx² + 3y² - 6x + k = 0 represente uma circunferência passando pela origem do sistema cartesiano. 6. Qual é a figura representada pela equação 5x² + 5y² - 8xy -9 = 0