Cálculo Básico: Derivadas - Aula 5

z CÁLCULO BASICO AULA 5 DERIVADAS Vimos até aqui que 1 Sabemos que fx ax b é uma função do 1º grau cujo gráfico é uma reta para quaisquer valores de a e b Assim acompanhando a ideia de derivada quando se encosta uma reta tangente a uma reta teremos que a equação da reta tangente é idêntica a própria função do 1º grau ou seja y ax b e assim a derivada que é o coeficiente angular será fx a para qualquer valor de x 2 Vale a regra prática para o cálculo de derivadas de funções cuja lei é a potência da incógnita x Assim escrevese fx xn fx n xn1 Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo a 1ª regra prática de derivada fx xn fx n xn1 Exemplo 1 Dada a função fx x⁷ encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x 1 Sol Para encontrar o coeficiente angular precisamos calcular a derivada da função fx Podemos aplicar diretamente a regra prática e obter a expressão para a derivada de fx assim fx 7 x⁷1 fx 7 x⁶ Portanto o coeficiente angular será a f1 7 1⁶ 7 Finalmente podemos escrever que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x 1 é a 7 z DERIVADAS Graficamente entendemos a situação como 1 1 𝑦 7𝑥 𝑏 Exemplo 2 Dada a função fx x¹⁹ encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x 1 Sol Para encontrar o coeficiente angular precisamos calcular a derivada da função fx Podemos aplicar diretamente a regra prática fx xn fx n xn1 e obter a expressão para a derivada de fx assim fx 19 x¹⁸ Portanto o coeficiente angular será a f1 19 1¹⁸ 19 Finalmente podemos escrever que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x 1 é a 19 z DERIVADAS 𝑦 19𝑥 𝑏 Graficamente entendemos a situação como 1 1 Exemplo 3 Encontre a derivada da função fx x no ponto x 4 Sol Podemos aplicar diretamente a regra prática fx xn fx n xn1 Lembrando que fx x x12 assim podemos obter a expressão para a derivada de fx assim fx 12 x12 1 fx 12 x12 12x Portanto a derivada no ponto x 4 será a f4 124 14 Finalmente podemos escrever que a derivada no ponto x 4 coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x 4 é a 14 z DERIVADAS 4 2 Graficamente entendemos a situação como Exemplo 4 Encontre a equação da reta tangente ao função fx ³x no ponto x 1 Apresente o gráfico que ilustra a situação Sol Podemos aplicar diretamente a regra prática fx xn fx n xn1 Lembrando que fx ³x x13 assim podemos obter a expressão para a derivada de fx assim fx 13 x13 1 fx 13 x23 13³x² Portanto derivada no ponto x 1 será a f1 13³1² 13 Assim o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x 1 é a 13 e desse modo a equação da reta pode ser escrita genericamente como y 13x b Agora para encontrar o valor de b precisamos do ponto de tangência P Sabemos que o ponto de tangência é o ponto comum entre a reta tangente e o gráfico da função Assim temos P 1 f1 1 ³1 1 1 P 1 1 x 1 y 1 Substituindo na equação da reta temos y 13x b 1 131 b 1 13 b b 23 Portanto a equação da reta tangente será y 13x 23 O gráfico que ilustra a situação é fx ³x y 13x 23 Propriedades da derivada 1 fx gx fx gx 2 fx gx fx gx 3 k fx k fx Observação importante A fx gx fx gx B fxgx fxgx Cuidado Veremos regras específicas para cada um desses casos Vamos apresentar exemplos que envolvem as três propriedades Exemplo 5 Calcule a derivada da função hx x⁴ x⁶ Observe que a função é composta pela soma dois polinômios Aqui podemos pensar que fx x⁴ e gx x⁶ E sabemos que fx 4x³ e gx 6x⁵ Portanto pela 1ª Propriedade fx gx fx gx temos hx fx gx fx gx 4x³ 6x⁵ Ou podemos utilizar a propriedade de um modo mais direto como hx x⁴ x⁶ x⁴ x⁶ 4x³ 6x⁵ Assim escrevese hx 4x³ 6x⁵ Exemplo 6 Calcule a derivada da função hx 3x 5x Observe que a função é composta pela diferença de duas raízes Aqui podemos pensar que fx 3x e gx 5x E sabemos que as funções podem ser reescritas como fx x13 e gx x15 Assim fx 13 x13 1 13 x23 fx 13x2 e gx 15 x45 gx 15x4 Portanto pela 2ª Propriedade fx gx fx gx temos hx fx gx fx gx 13x2 15x4 Ou podemos utilizar a propriedade de um modo mais direto como hx x 5x 3x 5x 13 x13 1 x15 13x2 15x4 Exemplo 7 Calcule a derivada da função hx 7x5 Observe que a função é a multiplicação de uma constante k 7 à função básica fx x5 Aqui podemos pensar que hx 7 fx E sabemos que fx 5x4 Portanto pela 3ª Propriedade kfx k fx temos hx kfx k fx 7 5x4 35x4 Ou podemos utilizar a propriedade de um modo mais direto como hx 7x5 7 x5 7 5x4 35x4 Assim escrevese hx 35x4 Exemplo 8 Calcule a derivada da função fx 5x3 5x4 4x8 2 Observe que na função podemos ver todas as 3 propriedades O modo mais prático para resolver este exemplo é reescrever cada termo na forma de potência e aplicar as propriedades diretamente fx 5x3 5x4 4x8 2 5 x3 x45 4x8 2 Assim a derivada será fx 5 x3 x45 4x8 2 5 x3 x45 4x8 2 Aplicação das propriedades fx 5 3 x4 45 x45 1 4 8x8 1 5 3 x4 45 x15 32x7 Finalmente podemos escrever fx 15x4 45x 32x7 FIM