Cálculo Básico: Introdução às Derivadas

zCÁLCULO BASICO AULA 4 INTRODUÇÃO À DERIVADAS Vamos calcular a derivada de uma função utilizando a definição e ilustrar o uso dos limites Considere a função fx x² vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto x x₀ Assim f x₀ limh0 fx₀ h fx₀ h Lembrando que fx₀ x₀² e fx₀ h x₀ h² podemos escrever f x₀ limh0 x₀ h² x₀² h limh0 x₀² 2x₀h h² x₀² h limh0 2x₀ h 2x₀ Resumindo Se fx x² então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x x₀ é aₜ f x₀ 2x₀ Por exemplo se x₀ 2 então o coeficiente angular da reta tangente será aₜ 4 Ou seja a reta tangente no ponto 2 tem a equação dada por y 4x b Vimos que a derivada de uma função fx no ponto x₀ é definida por f x₀ limh0 fx₀ h fx₀ h Importante saber que f x₀ é um número real que representa o coeficiente angular da reta tangente à função fx no ponto x₀ ou seja coef angular a f x₀ Resumindo Se fx x² então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x x₀ é aₜ fx₀ 2x₀ Por exemplo se quisermos saber informações sobre a reta tangente em x₀ 2 então o cálculo da derivada mostra que o coeficiente angular será aₜ 4 Ou seja a reta tangente no ponto 2 tem a equação dada por y 4x b Ainda com relação à função fx x² se quisermos informações sobre o ponto x₀ 1 temos que o coeficiente angular será aₜ 21 2 Assim a equação da reta será dada por y 2x b Para encontrar o valor de b é necessário utilizar o ponto de tangência P11 x 1 y 1 y 2x b 1 21 b 1 2 b b 1 y 2x 1 Considere a função fx x³ vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto genérico x x₀ Assim Lembrando que fx₀ x₀³ e fx₀ h x₀ h³ podemos escrever fx₀ limh0 fx₀ h fx₀h fx₀ limh0 x₀h³ x₀³h limh0 x₀³ 3x₀²h 3x₀h² h³ x₀³h Resumindo Se fx x³ então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fx no ponto x x₀ é aₜ fx₀ 3x₀² Por exemplo se x₀ 1 então o coeficiente angular da reta tangente será aₜ 3 Ou seja a reta tangente no ponto 1 tem a equação dada por y 3x b Para encontrar b usamos o ponto de tangência P 11 chegando a b 2 Assim Equação da reta y 3x 2 Ainda com relação à função fx x³ se quisermos informações sobre o ponto x₀ 1 temos que o coeficiente angular será aₜ 3 1² 3 Assim a equação da reta será dada por y 3x b Para encontrar o valor de b é necessário utilizar o ponto de tangência P11 x 1 y 1 y 3x b 1 3 1 b 1 3 b b 2 y 3x 2 Aqui vale um esclarecimento importante Quando calculamos a derivada fx₀ estamos interessados na inclinação da reta tangente no ponto x x₀ Claro que x₀ pode assumir qualquer valor dentro do domínio da função Mas é muito comum encontrarmos textos que citam fx de modo que a expressão da derivada se assemelha a uma função na variável x Porém mesmo nesses casos não podemos esquecer que se trata de uma expressão para calcular o coeficiente angular da reta tangente Vejamos os dois exemplos nos quais calculamos a derivada No primeiro exemplo calculamos a derivada da função fx x² no ponto x x₀ e chegamos à fx₀ 2x₀ Porém poderíamos ter escrito que fx 2x Não há nenhum problema em escrever genericamente a derivada em função de x O que não podemos esquecer é que fx é a lei que permite calcular o coeficiente angular para qualquer reta tangente ao gráfico de fx x² Observação Importante Podemos pensar que fx 2x é uma função na variável x Na verdade fx é uma função do 1º grau que determina os valores dos coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico de fx No segundo exemplo calculamos a derivada da função fx x³ no ponto x x₀ e chegamos à fx₀ 3x₀² Porém aqui também poderíamos ter escrito que fx 3x² Apenas lembremos que fx é a lei que permite calcular o coeficiente angular para qualquer reta tangente ao gráfico de fx x³ Observação Importante Aqui fx 3x² é uma função do 2º grau que determina os valores dos coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico de fx Agora vamos calcular pela definição a derivada de algumas funções elementares Derivada da função constante Se fx c ℝ temos fx limh0 fx h fx h limh0 c c h limh0 0 0 Conclusão Todas as retas tangentes ao gráfico de fx c têm coeficiente angular igual a zero Derivada da função fx x Se fx x então temos fx lim h0 fx h fx h lim h0 x h x h lim h0 1 1 Conclusão Todas as retas tangentes ao gráfico de fx x tem coeficiente angular unitário Derivada da função do 1 grau Se fx ax b então temos fx lim h0 fx h fx h lim h0 a x h b a x b h lim h0 a x a h b a x b h lim h0 a h h a Conclusão Todas as retas tangentes ao gráfico de fx a x b tem o mesmo coeficiente angular de fx ou seja a Vejamos um resumo do que foi demonstrado até aqui fx c f x 0 fx x f x 1 fx ax b f x a fx x² f x 2x fx x³ f x 3x² Uma boa observação desses resultados nos leva a uma regra prática para o cálculo de derivadas Veja fx xⁿ f x n xⁿ¹ FIM