Distribuição T-Student e Teorema do Limite Central - Lista de Exercícios Resolvidos

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE T STUDENT Lista 4 EXERCÍCIOS Teorema do Limite Central 1 n 30 usar a distribuição normal Z 2 n 30 usar a distribuição t Student Qualquer distribuição t em particular resulta da especificação do valor de um único parâmetro chamado número de graus de liberdade abreviado como gl que é igual a n 1 que devem ser obtidos por meio de uma tabela específica Propriedades da Distribuição t Denote por tv a distribuição t com v graus de liberdade Cada curva tv possui formato de sino e está centrada em 0 Toda curva tv é mais dispersa que a curva normal padronizada z À medida que v aumenta a dispersão da curva tv correspondente diminui Como v a sequência das curvas tv aproximase da curva normal padronizada então a curva z é muitas vezes chamada curva t com gl DEVORE 2014 p 258 Na tabela t cada linha corresponde a um grau de liberdade n 1 cada coluna corresponde a uma área α nível de incerteza na cauda superior no gráfico Notação Seja tαv o número no eixo de medição para o qual a área sob a curva t com v gl à direita de tαv é α tαv é chamado valor crítico de t O grau de liberdade está relacionado com o modo de calculo do desvio padrão que deve ser Variância s² 1n 1 xi² xin² Desvio Padrão s s² Exemplo 1 Seja α 0025 ou seja a área procurada equivale a 25 n 11 então o gl n 1 11 1 10 Logo tαv t002510 2228 Exemplo 2 Seja α 005 ou seja a área procurada equivale a 5 n 7 então o gl n 1 7 1 6 Logo tαv t0056 1943 Exemplo 3 Seja α 001 ou seja a área procurada equivale a 1 n 23 então o gl n 1 23 1 22 Logo tαv t00122 2508 Intervalo de Confiança para μ σ Desconhecido Intervalo de confiança para pequenas amostras de μ Lembrando que α é o nível de incerteza do intervalo Erro estimado é a diferença entre a média amostral e a verdadeira média populacional e t sn ou e t sn N nN 1 Exemplo 4 Durante a execução de determinada tarefa sob condições simuladas de imponderabilidade a média da taxa de batimentos cardíacos de 12 astronautas aumentou em 2733 batimentos por minuto com desvio padrão de 428 batimentos por minuto Construa um intervalo de confiança para o verdadeiro aumento médio da taxa de batimentos cardíacos dos astronautas no desempenho daquela tarefa nas mesmas condições enunciadas FREUND 2006 p277 Solução sem os próprios dados não há como julgar a normalidade da população estudada Mesmo assim deixando claro que o resultado está sujeito à validação da suposição procedemos como segue n 12 gl n 1 12 1 11 μx 2733 s 428 1 α 099 α 001 α2 0005 tα2 t000511 3106 Obtemos Px tα2 sn μ x tα2 sn 1 α P2733 3106 42812 μ 2733 3106 42812 099 P2349 μ 3117 099 Portanto podese afirmar com 99 de confiança que a verdadeira média de batimentos cardíacos por minuto encontrase no intervalo 2349 3117 EXERCÍCIOS 1 Usando a tabela da distribuição t determine a t de forma que PT16 t 10 R 13368 b t de forma que Pt T5 t 99 R 40321 c PT49 20086 R 0025 d PT36 27238 R 0995 2 Uma marca particular de margarina diet foi analisada para determinar o nível em porcentagem de ácidos graxos insaturados Uma amostra de seis pacotes resultou nos seguintes dados 168 172 174 169 165 e 171 Encontre o intervalo de confiança ao nível de 1 para a amostra R 1645 1751 3 Pneus de uma determinada marca foram colocados aleatoriamente nas rodas traseiras de 36 carros para verificar o percurso médio amostral de desgaste em km Obteve os seguintes resultados 86 138 101 92 116 106 92 115 105 90 105 85 118 118 118 90 85 99 90 91 112 97 116 88 81 93 94 117 99 94 108 83 89 114 127 102 Obtenha um intervalo de confiança a 99 para a vida média µ dos pneus dessa marca a baseando na distribuição t R 951686 1078314 b baseando na distribuição z R 955121 1074879 c comparar os resultados de a e b 4 Um conjunto de 50 animais é alimentado com certa espécie de ração por um período de 2 semanas O aumento médio de peso foi de 42 Kg e desvio padrão de 5Kg a encontre os limites de 95 de confiança para µ usando as distribuições t e z R t 405794 434206 z 406141 433859 b de que tamanho deveria ser tomada uma amostra se desejássemos que x diferisse de µ por meio Kg com a probabilidade de 095 de estar certo R n 384 amostras 5 De uma população normal retiramos uma amostra de 36 elementos 401 45 391 439 458 442 374 447 452 412 407 431 441 426 406 418 429 458 434 455 448 423 404 419 421 444 437 439 426 455 415 452 436 428 433 457 Determinar um IC para a média de 95 de confiabilidade usando as distribuições t e z R t 423884 437671 z 424129 437427 6 Para estimar o peso médio de sacas de café levantouse uma amostra prévia de tamanho 100 obtendose uma média de 60 Kg e variância de 025Kg Determinar o tamanho da amostra necessário para estimar o peso médio das sacas com uma aproximação que dê erro máximo de 100g e probabilidade de 997 de acerto R n 221 amostras 7 Foi realizada uma pesquisa envolvendo uma amostra de 600 pacientes de um certo hospital Cada um desses pacientes foi submetido a uma série de exames clínicos e entre outras coisas mediuse o Índice Cardíaco em litrosminm2 de todos eles Os 600 pacientes foram então classificados de forma aleatória em 40 grupos de 15 pacientes cada Para um desses grupos os valores medidos do Índice Cardíaco foram 405 348 365 291 135 260 300 155 34 294 758 472 559 143 172 a Com base nos valores acima construa um Intervalo de Confiança para o valor médio do Índice Cardíaco ao nível de 95 R 209836 41564 b Se para cada um desses 40 grupos de 15 pacientes fosse construído um Intervalo de Confiança para ao nível de 95 quantos desses intervalos se espera que não conteriam a verdadeira média populacional no seu interior Por que R 21104 41443 8 Uma amostra aleatória de 100 fregueses da parte da manhã de um supermercado revelou que apenas 10 não incluem leite em suas compras a Qual seria a estimativa pontual de percentagem dos que compram leite R 09 b Construa um intervalo de 90 de confiança para a verdadeira proporção dos que compram leite R 0851 0949 c Que se pode dizer quanto ao erro possível associado ao intervalo de confiança da parte b R 00492 9 A Brite Manufacturing deseja estimar a vida média de suas lâmpadas de 60 watts a menos de 25 horas Sabese que a vida média das lâmpadas tem desvio padrão de 100 horas e a firma deseja um intervalo de 955 de confiança para a estimativa a Qual o tamanho da amostra necessário R n64 b Qual seria sua resposta se a população consumisse 300 lâmpadas R e 1155