Estatística Básica: Distribuição de Frequências e Análise de Dados

ESTATÍSTICA BÁSICA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS EXEMPLO Durante uma noite de sextafeira 50 motos de entrega à domicilio de uma rede de farmácias percorreram os quilômetros em ordem crescente abaixo 144 168 191 212 215 223 230 240 256 159 175 195 213 217 224 245 267 163 177 196 213 219 225 235 248 267 165 189 211 212 222 238 254 274 165 189 215 222 260 254 284 1 Qual a variável aleatória utilizada nesta pesquisa Classifiquea DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS 2 Elabore uma tabela de frequências absoluta acumulada relativa e porcentagem DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS 3 Construa o intervalo de classes l₁14 e h20 4 Elabore uma tabela de Distribuição de frequência de classes 5 Esboce o histograma e o polígono de frequências Reorganize os dados em apenas três classes de mesma amplitude classificando o percurso em curto médio e longo 6 Esboce um gráfico em barras ou colunas 7 Esboce um gráfico em setores e compare o gráfico com o item anterior Qual permite melhor visualização dos dados Justifique 1 Qual a variável aleatória utilizada nesta pesquisa Classifiquea Variável aleatória quilometragem percorrida para a entrega em domicílio Classificação Variável quantitativa contínua RESOLUÇÃO SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL MÉDIA ARITMÉTICA é o valor obtido quando se divide a soma dos elementos pelo número de elementos da série ou seja 𝑥 μ 𝑥𝑖 n MODA O valor que mais se repete Pode ter mais do que uma moda MEDIANA Termo central de uma sequência de dados organizados n ímpar 𝑇 n12 posição do termo CENTRAL da sequência n par 𝑇₁ n2 e 𝑇₂ n22 posições dos dois termos CENTRAIS da sequência A mediana é a média dos dois valores que ocupam estas posições 𝑀𝑑 𝑥𝑇₁ 𝑥𝑇₂2 144 168 191 205 212 215 223 230 240 256 159 175 193 205 213 217 224 232 245 267 163 177 198 206 213 219 225 235 248 267 165 18 20 206 214 222 225 238 254 274 165 189 205 211 215 222 226 238 254 284 2 Elabore uma tabela de frequências absoluta acumulada relativa e porcentagem SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS Medidas Separatriz Quartil e Percentil Os quartis dividem uma série estatística ordenada em quatro partes 1º quartil Q₁ 25 2º quartil ou mediana Q₂ 50 3º quartil Q₃ 75 4º quartil Q₄ 100 O percentil Pₖ divide uma sequência ordenada de valores em cem partes 224 1 32 0020 2 225 2 34 0040 4 226 1 35 0020 2 230 1 36 0020 2 232 1 37 0020 2 235 1 38 0020 2 238 2 40 0040 4 240 1 41 0020 2 245 1 42 0020 2 248 1 43 0020 2 254 2 45 0040 4 256 1 46 0020 2 267 2 48 0040 4 274 1 49 0020 2 284 1 50 0020 2 TOTAL 50 1000 100 Tabela de frequências Dados agrupados sem Intervalos de Classe i Classes fi 1 14 16 2 2 16 18 6 3 18 20 5 4 20 22 15 5 22 24 12 6 24 26 6 7 26 28 3 8 28 30 1 Total 50 Construa o intervalo de classes l114 e h20 3 Elabore uma tabela de Distribuição de frequência de classes 4 Esboce o histograma e o polígono de frequências Classes Qualificação fi fri ângulo 144 191 curto 10 0200 72 191 238 médio 28 0560 202 238 285 longo 12 0240 86 Total 50 1000 360 5 Reorganize os dados em apenas três classes de mesma amplitude classificando o percurso em curto médio e longo O melhor gráfico para esse caso seria o gráfico em colunas pois permite visualizar melhor a pequena diferença entre Curto e Longo 5 Esboce um gráfico em barras ou colunas 6 Esboce um gráfico em setores e compare o gráfico com o item anterior Qual permite melhor visualização dos dados Justifique ESTATÍSTICA BÁSICA MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO EXEMPLO 1 Dada a serie estatística 2 5 8 13 14 15 20 30 46 47 calcular as medidas de tendência central Média 20 10 200 10 47 46 20 30 5 8 13 14 15 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x x x x x x x x x x X 20 X 10 200 x 10 1 i n i Moda não tem pois nenhum valor se repete Dizemos que a série é amodal Mediana como n10 ou seja uma sequência com quantidade par de números 5 5º termo 2 6º termo 2 10 1 T 14 5 2 14 15 Md SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS 𝟏 114 275 ou ainda 1125 275 Assim o 1º quartil ocupa a 3ª posição ou seja 𝟏 𝟐 112 55 ou ainda 1150 55 Assim o 2º quartil ocupa a 6ª posição ou seja 𝟐 𝟑 114 2753 825 ou ainda 1175 825 Assim o 3º quartil ocupa a 9ª posição ou seja 𝟑 P37 1137 407 4ª posição P37 3 P59 1159 649 7ª posição P59 4 P86 1186 946 10ª posição P86 6 Considere a seguinte distribuição das notas de 11 candidatos a uma vaga em uma empresa 1 2 2 3 3 3 4 5 6 6 8 Exemplo 2 Sequência com quantidade IMPAR Medidas Separatrizes Quartil e Percentil SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS Exemplo 3 Sequência com quantidade PAR 𝑸𝟏 842 ou ainda 8252 Assim o 1º quartil ocupa a 2ª posição e a 3ª posição 𝑸𝟐 824 ou ainda 850 4 Assim o 2º quartil ocupa a 4ª posição e a 5ª posição 𝑸𝟑84236 ou ainda875 6 Assim o 3º quartil ocupa a 6ª posição e a 7ª posição P37 837 296 3ª posição P37 650 P59 859 472 5ª posição P59 710 P86 886 688 7ª posição P86 800 𝑸𝟏 𝟓𝟎𝟎 𝟔𝟓𝟎 𝟐 𝟓𝟕𝟓 𝑸𝟐 𝟔𝟕𝟎 𝟕𝟏𝟎 𝟐 𝟔𝟗𝟎 𝑸𝟑 𝟕𝟗𝟎 𝟖𝟎𝟎 𝟐 𝟕𝟗𝟓 Considere a seguinte distribuição dos salários R semanais de 8 funcionários de uma empresa 490 500 650 670 710 790 800 820 Medidas Separatrizes Quartil e Percentil SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS MEDIDAS DE DISPERSÃO OU MEDIDAS DE VARIABILIDADE são medidas que servem para medir a variabilidade de uma série estatística As mais conhecidas são a variância e o desvio padrão Voltando ao EXEMPLO 1 Dada a série estatística 2 5 8 13 14 15 20 30 46 47 calcular as medidas de dispersão Coeficiente de variação 𝐶𝑉 1519 20 100 7595 Coeficiente de Variação É uma medida relativa utilizada para comparar o valor do desvio padrão com o valor da média O resultado será em porcentagem SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS X 20 Ainda no EXEMPLO 1 Dada a serie estatística 2 5 8 13 14 15 20 30 46 47 calcular o coeficiente de variação da série Sabemos que e Assim Perceba que é uma série estatística com grande variabilidade efetiva 𝐷𝑃 𝑋 1519 Mais um exemplo SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS x AGRUPADOS a Qual a variável utilizada nessa pesquisa Classifiquea Variável tempo de execução de um teste de qualificação Classificação variável quantitativa contínua SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS X AGRUPADOS b Elabore uma tabela de frequências absoluta e relativa dados isolados SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS X AGRUPADOS c Calcule a média moda e mediana os quartis e o percentil 61 dados isolados 1o quartil 3o quartil 61º percentil SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS X AGRUPADOS SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS X AGRUPADOS 2 1 1 2 VARX n x n x n i i n i i Variância Desvio Padrão d Calcule a variância e desvio padrão SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS ISOLADOS X AGRUPADOS c Construa o intervalo de classes AT i h Agora vamos construir a distribuição de frequências utilizando a fórmula de Sturges i 1 33 log n h fracAAi e sabemos que left n 40 AA XMax XMin right Assim i 1 33 log40 i 6287 Rightarrow i 7 AA 2530 1324 1206 h frac12066287 1918306 Rightarrow h 192 SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS AGRUPADOS X AGRUPADOS Conhecendo i 7 e h 192 podemos construir a tabela abaixo Histograma e Polígono de Frequência SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS AGRUPADOS X AGRUPADOS Polígono de Frequência Acumulada SÉRIES ESTATÍSTICAS DADOS AGRUPADOS X AGRUPADOS FIM ESTATÍSTICA BÁSICA MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE ANDAR FUNCIONÁRIOS Frequência Absoluta fi ESTATURA cm 1º 3 140150167 2º 4 140142145158 3º 4 145145150160 4º 4 160160161164 5º 5 145155160160169 6º 6 145155159160168169 7º 7 159159160160162163168 8º 7 158160162168175177177 Total 40 EXEMPLO 1 Foram levantadas as estaturas dos funcionários da empresa Zetech que possui 40 funcionários trabalhando nos 8 andares do prédio sede da empresa Os resultados estão na tabela abaixo Pedese a Tabela Rol organizar os dados inclusive com as repetições b Utilizando a fórmula de Sturges construa a tabela de frequência c Complemente a Tabela com as frequências relativa acumulada e ponto médio d Calcular as medidas de tendência central média moda e mediana e Calcular as separatrizes 1º Quartil e Percentil 32 f Calcular as medidas de dispersão variância e desvio padrão g Calcular o coeficiente de Variação MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DADOS AGRUPADOS MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DADOS AGRUPADOS Solução a Tabela Rol organizar os dados inclusive com as repetições Reorganizando as estaturas dos 40 funcionários em uma tabela ROL temos Observe que o maior valor é XMax 177 cm e o menor valor é XMin 140 cm MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DADOS AGRUPADOS Assim podemos construir a tabela em frequência MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DADOS AGRUPADOS b Continuação i Estaturas cm fi Xi Xi fi 1 140 146 8 143 143 8 1144 2 146 152 2 149 298 3 152 158 2 155 310 4 158 164 18 161 2898 5 164 170 7 167 1169 6 170 176 1 173 173 7 176 182 2 179 358 40 6350 7 1 i if 7 1 ifi X i Tabela para auxiliar no cálculo da média MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DADOS AGRUPADOS c Calcular as medidas de tendência central média moda e mediana Classe modal MÉDIA Exemplo i i i f x f X 2 L l Mo cm X 15875 40 6 350 cm Mo 161 2 164 158 MODA Ponto médio da classe que possui a MAIOR frequência MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DADOS AGRUPADOS c Continuação MEDIANA 1º passo Determina a posição da classe mediana por meio do 1º valor maior ou igual a este resultado em Fi 1º passo 2º passo 2º passo lMd Limite inferior da classe mediana Fant Fi anterior ao da classe mediana f fi da própria classe mediana h amplitude do intervalo ou ainda tamanho do intervalo da classe mediana 2 if 2 i i f h F ant f l Md 20 2 40 2 fi cm Md 16067 6 18 12 2 40 158 MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DADOS AGRUPADOS c Continuação Classe Mediana A forma de calcular o quartil e o percentil para dados agrupados com intervalos é similar ao calculo da mediana para esses dados QUARTIL 1º passo Determina a posição da classe correspondente ao quartil por meio do 1º valor maior ou igual a este resultado em Fi 1º quartil Q1 1º passo 2ª classe 2º passo 2º passo PERCENTIL 1º passo Determina a posição da classe correspondente ao percentil por meio do 1º valor maior ou igual a este resultado em Fi Percentil P32 1º passo 4ª classe 2º passo 2º passo 4 if n 10 4 1 40 4 i i n f h F ant f n l Q cm Q 152 2 8 6 4 40 1 146 1 100 if n 1280 100 32 40 100 fi h F ant f n l P i n cm P 15827 18 12 6 100 40 32 158 32 MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DADOS AGRUPADOS d Calcular as separatrizes 1º Quartil e Percentil 32 MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DADOS AGRUPADOS 1 2 1 2 2 2 i i i i i i f f x f f x DP X i i i f f X X DP X 2 i i i f f X X Var X 2 2 2 i i i i i i f f x f f x X Var 948375 40 6350 40 1011856 2 2 X VAR cm DP X 9 7385 40 379350 1 f Calcular as medidas de dispersão Dados Agrupados VARIÂNCIA Medir Variação DESVIO PADRÃO medida de variabilidade em relação à média também conhecido como Margem de Erro Temos duas formas aproximadas de calculo 948375 40 379350 1 X VAR cm DP X 9 7385 40 6350 40 1011856 2 2 MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DADOS AGRUPADOS ou seja em média as pessoas medem 15875 cm sendo que esta informação varia em 614 614 75 100 158 9 7385 CV Coeficiente de Variação 100 X CV COEFICIENTE DE VARIAÇÃO É uma medida relativa utilizada para comparar o valor do desvio padrão com o valor da média O resultado será em porcentagem g Calcular o coeficiente de Variação MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DADOS AGRUPADOS FIM