Estatística Inferencial - População, Amostra, Média e Proporção

Todos os direitos reservados Reprodução ou divulgação total ou parcial deste documento é expressamente proibida sem o meu consentimento formal por escrito autora deste material Denominação População Amostra Média μ Variância σ² s² Número de elementos N n Proporção p p Média Variância População X Nμ σ² EX i1 to n xᵢpxᵢ σ² i1 to n xᵢ²pxᵢ i1 to n xᵢpxᵢ ² Amostra COM Reposição X N μx σ²n μx μ σ²x σ²n Amostra SEM Reposição X N μx σ²n NnN1 μx μ σ²x σ²n NnN1 σx σ²n NnN1 σx σ²n NnN1 σ²n NnN1 Exemplo Desejase estimar o número médio de horas de voo contínuo que um certo modelo de avião leva até precisar de consertos Supondo que o desvio padrão é de 138 horas para esses dados qual deve ser o tamanho da amostra necessário para poder afirmar com uma probabilidade de 099 que a média esteja no centro do intervalo PX752142 Resolução População μ σ² 138² σ 138² 138 PERGUNTA PRINCIPAL n Amostra com reposição μ σ² 138²n PX 752142 P142X 752142 P 142 752 X 142 752 P610 X 894 P610 X 894 099 Como essa área é simétrica tendo como parâmetro o 752 inicial então cada pedaço vale 0992 0495 z Exemplo Resolução População 1382 138 PERGUNTA PRINCIPAL n Amostra com reposição 1382 n P610 X 894 099 Como essa área é simétrica tendo como parâmetro o 752 inicial então cada pedaço vale 0992 0495 z z 0495 ver dentro da tabela Z 258 Z X 2 n 258 610 752 1382 n ou 258 894 752 1382 n Exemplo Resolução 258 610 752 1382 n 258 1382 n 142 1382 n 142 258 1382 n 55038762 1382 55038762 n 1382 55038762 n n 629 ou 258 894 752 1382 n n 7 amostras PROPORÇÃO Média Variância População X Np 2p p p 2p p q Amostra COM Reposição X Np pq n p p 2p pq n Amostra SEM Reposição X Np pq n N n N 1 p p 2p pq n N n N 1 p pq n N n N 1 p pq n N n N 1 pq n N n N 1 Exemplo De um grupo de 30 secretárias de uma grande empresa de advocacia escolhidas de forma aleatória cinco não se mostraram satisfeitas com o trabalho que veem executando A empresa possui 50 secretária empregadas Calcule a probabilidade de uma amostra de mais de 23 não estarem satisfeitas com o trabalho ou seja Pp 023 0 0527 50 30 30 25 5 ˆ ˆ 0 8333 30 25 01667 logo ˆ 30 5 ˆ ˆ n q p q n x p o o p o o 0 11507 0 384930 50 1 2011 0527 0 0 1667 0 23 0 23 z P Z P p Fontes STEVENSON W J Estatística Aplicada a Administração Harbra 2001 MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Profa Flainer Rosa de Lima Todos os direitos reservados Reprodução ou divulgação total ou parcial deste documento é expressamente proibida sem o meu consentimento formal por escrito autora deste material Modelo contínuo Distribuição normal Exemplos de aplicação Carta de Controle de CEP Controle Estatístico de Produção área de qualidade da empresa diminuir gastos Lâmpadas produzidas queimadas Notas de vestibular Vida média de aparelhos Contas a pagar ou a receber Salário médio Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal de probabilidade se a sua função densidade de probabilidade for dada por 2 2 1 2 1 fx x e x para Gráfico de fx Características Curva normal ou Gaussiana o ponto máximo de fx é o ponto X µ os pontos de inflexão da função são X µ e X µ a curva é simétrica em relação à µ EX µ e VARX 2 Toda a área equivale a 100 logo metade vale 50 Obs Demonstrase que 1 2 1 2 2 1 dx e x 0003 99994 0003 4σ 4σ 9973 3σ 3σ 9544 2σ 2σ 6826 1σ 1σ μ Importância da Distribuição Normal Distribuição mais importante Estatística Fábio Gerab Agosto de 2016 Distribuição Normal Cálculo de probabilidade Devido à dificuldade utilizase a transformação em variável normalizada e consultase uma tabela relativodedificuldade grau 2 1 2 2 1 dx e b X a P b a X Seja X Nµ2 X tem distribuição normal com média µ e variância 2 Definimos Z X Representação Gráfica Conclusão Z indica quantos desvios padrões a variável X está afastada da média µ 20 σ 2 µ 0 σ 1 VARIÂNCIA Medir Variação DESVIO PADRÃO medida de variabilidade em relação à média também conhecido como Margem de Erro Temos duas formas aproximadas de calculo DADOS SEM FREQUÊNCIAS 1 VarX σ² ΣXi X² n OU 2 VarX σ² Σ xi² n Σ xi n² 1 σ ΣXi X² n 2 σ Σ xi² n Σ xi n² DADOS COM FREQUÊNCIAS 1 VarX σ² ΣXi X² fi Σ fi OU 2 VarX σ² Σ xi² fi Σ fi Σ xi fi Σ fi² 1 σ ΣXi X² fi Σ fi 2 σ Σ xi² fi Σ fi Σ xi fi Σ fi² Exemplos 1 XN200400 A média salarial de um gerente de empresas é de R 20000 o dia trabalhado com uma margem de erro de R 2000 Calcule a probabilidade de ao procurar um emprego encontrar um que pague a R 20000 ou mais PX200 Resp 05 b Entre R 170 a R 220 ou seja P170X220 Resp 0774538 c Mais que R 230 ou seja PX230 Resp 0066807 d Menos que R 184 ou seja PX184 Resp 0211855 e Menos que R 21735 ou seja PX21735 Resp 0807850 f Entre R 189 a R 193 ou seja P189X193 Resp 0072009 g Um valor MÍNIMO a ser recebido se a probabilidade disto ocorrer seja de 5 ou seja PXXa005 Resp R 2328 h Um valor MÁXIMO a ser recebido se a probabilidade deste fato for de 27 ou seja PX Xa 027 Resp R 1878 i Um valor MÁXIMO a ser recebido se a probabilidade deste fato for de 62 ou seja PX Xa 062 Resp R 20620 Resolução do Exemplo 1 e a R 20000 ou mais PX200 Como se quer acima da média esta área vale 50 significa que o 200 não está afastado da média que é o próprio 200 Z X 50 Resolução do Exemplo 1 μ 200 e σ 20 b Entre R 170 a R 220 ou seja P170X220 Z X μ σ Z1 170 200 20 15 buscar na tabela que se transforma em z1 0433193 área Z2 220 200 20 10 buscar na tabela que se transforma em z2 0341345 área P170X220 P15Z10 0433193 0341345 0774538 Temse 7745 de chance de encontrar um emprego que pague entre R170 a R220 Resolução do Exemplo 1 μ 200 e σ 20 c Mais que R 230 ou seja PX230 Z1 230 20 15 buscar na tabela que se transforma em z 0433193 PX230 PZ15 05 0433193 0066807 d Menos que R 184 ou seja PX184 Z1 184 200 20 08 buscar na tabela que se transforma em z 0288145 PX184 PZ08 05 0288145 0211855 Resolução do Exemplo 1 e Menos que R 21735 ou seja PX21735 Z1 21735 200 20 08675 087 buscar na tabela que se transforma em z 0307850 PX21735 PZ087 05 0307850 0807850 Resolução do Exemplo 1 f Entre R 189 a R 193 ou seja P189 X 193 Z₁ 189 200 20 055 buscar na tabela que se transforma em z1 0208840 Z₂ 193 2 20 035 buscar na tabela que se transforma em z2 0136831 P189 X 193 P055 Z 035 0208840 0136831 0072009 EXCEL FUNÇÃO DISTNORMXmédiadesvio padrãocumulativo Cumulativo VERDADEIRO Gera a PROBABILIDADE ou também conhecido como PVALOR A Situação Problema oferece inicialmente a probabilidade de um fato e quer descobrir o valor que a gerou PX Xa 50 Xa é valor MÁXIMO Z é NEGATIVO porque Xa µ PX Xa 50 Xa é valor MÁXIMO Z é POSITIVO porque Xa µ A Situação Problema oferece inicialmente a probabilidade de um fato e quer descobrir o valor que a gerou PX Xa 50 Xa é valor MÍNIMO Z é NEGATIVO porque Xa µ PX Xa 50 Xa é valor MÍNIMO Z é POSITIVO porque Xa µ PXXa 50 PXXa 50 PXXa 50 PXXa 50 Resolução do Exemplo 1 g Um valor MÍNIMO a ser recebido se a probabilidade disto ocorrer seja de 5 ou seja PX Xa 005 z 05 005 045 buscar dentro da tabela o número mais próximo de 045 então Z 164 positivo porque Xa é maior do que a média 164 Xa 200 20 164 20 Xa 200 164 20 200 Xa Xa 23280 Olhando dentro da TABELA 449497 450529 045 0449497 0000503 é o mais próximo de 045 Então Z164 0450529 045 0000529 Z164 Z165 Resolução do Exemplo 1 h Um valor MÁXIMO a ser recebido se a probabilidade deste fato for de 27 ou seja PX Xa 027 z 05 027 023 buscar dentro da tabela o número mais próximo de 023 então Z 061 negativo porque Xa é menor do que a média 061 Xa 200 20 Xa 18780 Olhando dentro da TABELA 229069 232371 023 0229069 0000931 É o mais próximo de 023 Então Z061 0232371 023 0002371 Z061 Z062 Resolução do Exemplo 1 i Um valor MÁXIMO a ser recebido se a probabilidade deste fato for de 62 ou seja PX Xa 062 z 062 05 012 buscar dentro da tabela o número mais próximo de 012 então Z 031 positivo porque Xa é maior do que a média Olhando dentro da TABELA 117911 121719 012 0117911 0002089 É o mais próximo de 023 Então Z061 0121719 012 0001719 Z030 Z031 EXCEL encontrar Xa FUNÇÃO INVNORMNprobabilidademédiadesvio padrão Gera o valor inicial conforme a PROBABILIDADE dada Exemplos 2 O saldo médio em poupança dos brasileiros é de R 10000 com variância de R 2500 Calcule a probabilidade de ao escolher aleatoriamente um cliente encontrar um que tenha a Entre R 100 a R 106 ou seja P100X106 Resp 0384930 b Entre R 89 a R 107 ou seja P89X107 Resp 090534 c Mais que R 108 ou seja PX108 Resp 0054799 d Menos que R 108 ou seja PX108 Resp 0945201 e Entre R 112 a R 116 ou seja P112X116 Resp 0007510 f Uma reserva mínima sabendo que a probabilidade disto ocorrer é de 5 ou seja PXXa005 Resp R 10820 g Uma reserva máxima sabendo que a probabilidade disto ocorrer é de 27 ou seja PX Xa 027 Resp R 9695 h Uma reserva máxima sabendo que a probabilidade disto ocorrer é de 62 ou seja PX Xa 062 Resp R 10155 Z X Resolução do Exemplo 2 μ 100 e σ² 25 então σ 5 a Entre R 100 a R 106 ou seja P100X106 Z X μ σ Z₁ 100 100 5 0 Z₂ 106 1 5 12 buscar na tabela que se transforma em z2 0384930 área P100X106 P0Z12 0 0384930 0384930 Temse 3849 de ter como saldo médio entre R 100 a R 106 Resolução do Exemplo 2 μ 100 e σ² 25 então σ 5 b Entre R 89 a R 107 ou seja P89X107 Z X μ σ Z₁ 89 10 5 22 buscar na tabela que se transforma em z1 0486097 área Z₂ 107 100 5 14 buscar na tabela que se transforma em z1 0419243 área P89X107 P22Z14 0486097 0419243 0905340 Temse 9053 de ter como saldo médio entre R 89 a R 107 Resolução do Exemplo 2 μ 100 e σ² 25 então σ 5 c Mais que R 108 ou seja PX 108 Z X μ σ Z 108 100 5 16 buscar na tabela que se transforma em z 0445201 área PX 108 PZ 16 05 0445201 0054799 Temse 548 de ter como saldo médio maior que R 108 Resolução do Exemplo 2 μ 100 e σ² 25 então σ 5 d Mais que R 108 ou seja PX 108 Z Xμσ Z 1081005 16 buscar na tabela que se transforma em z 0445201 área PX 108 PZ 16 05 0445201 0995201 Temse 9952 de ter como saldo médio menor que R 108 Resolução do Exemplo 2 μ 100 e σ² 25 então σ 5 e Entre R 112 a R 116 ou seja P112X116 Z₁ 1121005 24 buscar na tabela que se transforma em z1 0491802 área Z₂ 1165 32 buscar na tabela que se transforma em z2 0499313 área P112X116 P24Z32 0499313 0491802 0007511 Temse 075 de ter como saldo médio entre R 112 a R 116 Exemplos 3 Sendo X N5016 ou seja uma loja atende em média 50 clientes por dia com uma margem de erro de 4 clientes Dessa forma determine a quantidade de clientes Xa tal que a probabilidade de atendelos seja a Mínima 005 Resp Xa5656 57 b Máxima 099 Resp Xa5932 59 c Mínima 099 Resp Xa4068 41 Resolução do Exemplo 3 a A quantidade MÍNIMA de clientes a serem atendidos sabendo que a probabilidade disto ocorrer seja de 5 ou seja PXXa 005 z 05 005 045 buscar dentro da tabela o número mais próximo de 045 então Z 164 positivo porque Xa é maior do que a média 164 Xa 54 Xa 5656 57 pacientes b A quantidade MÁXIMA de clientes a serem atendidos sabendo que a probabilidade disto ocorrer seja de 99 ou seja PX Xa 099 z 099 05 049 buscar dentro da tabela o número mais próximo de 049 então Z 233 positivo porque Xa é maior do que a média 233 Xa 5 4 Xa 5932 60 pacientes 489830 Z 232 490097 Z 233 049 0489830 0000170 0490097 049 0000097 então usar Z 233 c A quantidade MÍNIMA de clientes a serem atendidos sabendo que a probabilidade disto ocorrer seja de 99 ou seja PX Xa 099 z 099 05 049 buscar dentro da tabela o número mais próximo de 049 então Z 233 NEGATIVO porque Xa é menor do que a média 233 Xa 50 4 Xa 4068 41 pacientes Lista 1 Exercício 1 Em um supermercado constatouse que a média de gastos dos consumidores durante um determinado tempo é de R 10000 com uma margem de erro de R 1000 XN100100 Qual a probabilidade de acordo com a Normal de encontrar um consumidor que gaste a Mais que 80 R 9772 b Mais que 120 R 228 c Menos que 120 R 9772 d Mais que 85 R 9332 e Entre 89 e 99 R 3245 f Mais que 100 R 50 g Entre 85 e 115 R 8664 h Determine o valor MÍNIMO de compra se a probabilidade é de 5 ou seja PXXa005 R 11640 i Determine o valor MÁXIMO de compra se a probabilidade é de 99 ou seja PXXa099 R 12330 j Determine o valor MÁXIMO de compra se a probabilidade é de 934 ou seja PXXa00934 R 8680 Resolução do Exercício 1 e a Mais que 80 PX80 2 buscar na tabela que se transforma em z1 0477250 PX80 PZ2 05 0477250 0977250 X Z 50 μ 100 e σ 10 c Mais que R 120 ou seja PX 120 Z1 120 1 10 2 buscar na tabela que se transforma em z 0477250 PX 120 PZ 2 05 0477250 00228 d Menos que R 120 ou seja PX 120 Z1 120 100 10 2 buscar na tabela que se transforma em z 0477250 PX 120 PZ 2 05 0477250 0977250 Exercício 2 Um fabricante de baterias sabe por experiência passada que as baterias de sua fabricação têm vida média de 600 dias e desvio padrão de 100 dias sendo que a duração tem aproximadamente distribuição normal Oferece uma garantia de 312 dias isto é troca as baterias que apresentarem falhas nesse período Fabrica 10000 baterias mensalmente Quantas deverá trocar pelo uso da garantia mensalmente XN600 1002 µ 600 dias σ 100 dias P X 312 PX 312 PZ 288 05 0498012 0001988100 020 de trocar 1 bateria no prazo de garantia 10000 0001988 20 baterias Exercício 3 Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média de 150000 km e desvio padrão de 5000 km a Qual a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso dos fabricados por essa firma tenha um motor que dure menos de 170000 km R 0999968 b Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja de 02 R 135600 km XN150000 50002 µ 150000 σ 5000 a P X 170000 PX 170000 PZ 4 05 0499968 0999968 Exercício 3 b Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja de 02 R 135600 km XN150000 50002 µ 150000 σ 5000 P X Xa 02 z 50 02 498 0498 Tabela Z 288 negativo porque Xa é menor do que a média Xa 135600 km garantia do motor z 497948 Z 287 498012 Z 288 0498 0497948 0000052 0498012 0498 0000012 então usar Z 288 EXERCÍCIO 4 Xi 13 11 14 8 12 19 8 12 16 12 125 Xi2 169 121 196 64 144 361 64 144 256 144 1663 MÉDIA DESVIO PADRÃO 31702 EXCEL MÉDIA MÉDIA DESVIO PADRÃO DESVPADP EXERCÍCIO 6 Uma máquina automática enche latas baseada no peso bruto das mesmas O peso bruto tem distribuição normal com média de 850 g e desvio padrão de 20 g Qual a probabilidade de que uma lata pese amenos de 830g R1587 bmenos que 827g ou mais que 893g RPX8271251 PX893158 PX827 ou X89312511581409 c mais de 870g R1587 dentre 840 e 920g R6912 eO peso de uma lata se a probabilidade for PXXa 074 R 83720 EXERCÍCIO 6 e O peso de uma lata se a probabilidade for PXXa 074 z 74 50 24 Ou z 074 050 024 Z 064 negativo porque Xa média 064 20 850 Xa Xa 83720g 50 238914 Z 064 242154 Z 065 024 0238914 0001086 0241254 024 0001254 Dados Agrupados histograma e curva normal pelo Excel httpswwwyoutubecomwatchv2YItnzdFHjU Geogebra httpswwwyoutubecomwatchvSsu3hjV94CY Distribuições de funções de variáveis aleatórias normais Teorema do Limite Central Aproximação da distribuição binomial pela normal Distribuições de Funções de Variáveis Aleatórias Normais Sejam n variáveis aleatórias independentes cada uma com distribuição normal e sejam EXi µi e VARXi2 i i12n isto é Xi Nµi2 i Consideremos a variável X n i i X 1 X também é normalmente distribuída e Nas condições acima se µ1µ2 µnµ e 2 1 2 2 2 n temos que 1 2 1 n i i n i i N X XNnµ n2 Teorema do Limite Central Considere n variáveis aleatórias X1 X2 Xn independentes com EXiµi e VARXi2 i i12n Seja X Em condições gerais a variável tem distribuição aproximadamente N01 Se EXiµ e VARXi 2 i1 n e para n bastante grande n temse que tem distribuição normal no limite Z N01 n i i X 1 n i i n i i X Z 1 2 1 2 n n X Z Exemplos 1 Um elevador tem seu funcionamento bloqueado se sua carga for superior a 450 kg Sabendo que o peso de um adulto é uma variável com distribuição normal sendo a média igual a 70 kg e o desvio padrão igual a 15 kg calcule a probabilidade de ocorrer o bloqueio numa tentativa de transportar 6 adultos Resp 0206108 RESOLUÇÃO 367423 1350 1350 420 4201350 6 6 70 6 15 1 7015 2 2 2 N X adultos peso de N X adulto peso de N X 0 206108 0 293892 50 0 82 450 P Z kg X P Ou seja a probabilidade do elevador ser bloqueado ao carregar acima de 450kg é de 2061 Exemplos 2 O peso de um saco de café é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média de 65 kg e desviopadrão de 4kg Um caminhão é carregado com 120 sacos Perguntase qual a probabilidade de a carga do caminhão pesar a entre 7893kg e 7910kg Resp 0010966 b mais de 7722kg Resp 0962462 RESOLUÇÃO 438178 1920 1920 7800 78001920 cos 120 12065120 4 1 65 4 2 2 2 N X de café sa peso de N X saco de café peso de N X Exemplo 2 a entre 7893kg e 7910kg Resp 0010966 RESOLUÇÃO 010966 0 0 482997 493963 0 2 51 212 7910 7893 8178 43 7800 Z P x P Exemplo 2 b mais de 7722kg Resp 0962462 RESOLUÇÃO 962462 0 0 462462 50 1 78 7722 438178 7800 P Z x P Exemplo 3 O peso médio de um automóvel é de 2000kg com desvio padrão de 500kg Uma cegonha carrega 10 carros Qual a probabilidade da carga da cegonha pesar entre 18000kg a 23000kg X N 2000 500 2 peso de 1 automóvel X N 10 2000 10 500 2 peso de 10 automóveis μ 20000 σ 2 250000000 σ 2500000 15811388 Z 1 18000 20000 15811388 1 2649 1 26 tabela z 1 0396165 Z 2 23000 20000 15811388 1 8974 1 90 tabela z 2 0471284 P18000 X 23000 P126 Z 190 0396165 0471284 0 8674 Exemplo 4 Os pesos do conteúdo de uma caixa de cereais são normalmente distribuídos com um peso médio de 20 onças e um desvio padrão de 007 onça Caixas nos 5 de pesos mais baixos não atendem às condições mínimas de peso e devem ser embaladas novamente a Qual é o peso mínimo exigido para uma caixa de cereais R 1988 onças b Qual a probabilidade de uma pickup que carrega 230 caixas pesar mais que 4603 onças R 023 Exemplo 4 a Qual é o peso mínimo exigido para uma caixa de cereais Como 5 não atendem às condições mínimas para ser embalada e a pergunta é o peso mínimo exigido para ser embalada então tem se 95 das caixas a serem embaladas logo PX Xa 095 z 095 050 045 Z 164 negativo porque Xa µ Xa 1988 onças 50 45 Exemplo 4 b Qual a probabilidade da carga de uma pickup que carrega 230 caixas pesar mais que 4603 onças X N 20 0 07 2 peso de 1 caixa X N 230 20 230 0 07 2 peso de 230 caixas μ 4600 σ 2 1 127 σ 1 127 10616 Z 1 4603 4600 1 0616 2 83 tabela z 1 0497673 PX 4603 PZ 283 05 0497673 0 0023 Proporção de Objetos Dados vários objetos para definir uma média única e uma variância única se faz Dada a proporção de objetos X aX1 bX2 cX3 mXn então Média µ a µX1 b µx2 c µX3 m µXn Variância σ2 a2σ2X1 b2σ2X2 c2σ2X3 m2σ2Xn Desvio Padrão 2 Propriedades de Módulo 2 2 2 x x Exemplo a x a a x 9 5 7 2 7 2 2 7 2 2 7 x x x x Exemplo b a x b a a b x a a b x Propriedades de Módulo 2 2 2 ou x x x Exemplo a x a ou x a x 5 9 7 2 7 2 2 7 2 7 2 7 ou x x ou x x x ou x x Exemplo a b a ou x b x a b x Exercício 5 Sejam X 1 N180 40 e X 2 N160 50 independentes Seja X4X 1 3X 2 também com distribuição normal Calcular a P X200 42 Resp 0517353 μ x a μ X 1 b μ X 2 μ x 4 180 3 160 240 σ x 2 a 2 σ 2 X 1 b 2 σ 2 X 2 σ x 2 4 2 40 3 2 50 1090 σ x 1090 33 0151 P X 200 42 P 42 X 200 42 P 42 200 X 42 200 P 158 X 242 Z1 158 240 33 0151 2 48 tab z1 0 493431 Z2 242 240 33 0151 0 06 tab z2 0 023922 P z1 z2 0 517353 Exercício 6 5 Sejam X₁ N150 30 e X₂N200 20 independentes Seja X3X₁X₂ também com distribuição normal Calcular a P X230 12 Resp 02891 μₓ aμX1 bμX2 μₓ 3150 1200 250 σₓ² a²σ²X1 b²σ²X2 σₓ² 3²30 1²20 290 σₓ 290 170294 PX 230 12 P12 X 230 12 P12 230 X 12 230 P218 X 242 Exercício 7 Numa indústria a montagem de certo item é feita em duas etapas Os tempos necessários para cada etapa são independentes e têm as seguintes distribuições X1 N 125 seg 100 seg X1 tempo da primeira etapa X2 N 75 seg 16 seg X2 tempo da segunda etapa a Qual a proporção que demonstra a montagem completa da peça b Qual a média e desvio padrão da montagem completa da peça R µ 200 1077 Qual a probabilidade de que sejam necessários para montar a peça c P X 200 21 R 0948824 d Mais de 220 segundos R 0031443 e Menos de 170 segundos R 0002635 Resolução do exercício 7 X1 N 125 seg 100 seg X1 tempo da primeira etapa X2 N 75 seg 16 seg X2 tempo da segunda etapa Proporção X X1 X2 µ 1125 175 200 P z1 z2 0948824 Exercício 8 Sejam X₁N150 30 X₂N12040 e X₃N20020 variáveis independentes relacionando os dados de exames laboratoriais Considere a variável X 4X₁ 2X₂ X₃ também normal Calcule a probabilidade de a PX500 70 R 06517 b Xa tal que PXXa010565 R 52789 μₓ aμX1 bμX2 cμX3 μₓ 4150 2120 1200 σₓ² a²σ²X1 b²σ²X2 c²σ²X3 σₓ² 4²30 2²40 1²20 σₓ PX 500 70 P70 X 500 70 P70 500 X 70 500 P430 X 570 Z1 430560256905 506 tab z1 0499999 Z2 570 560256905 039 tab z2 0151732 P z1 z2 08891 Exercício 8 Sejam X₁N150 30 X₂N12040 e X₃N20020 variáveis independentes relacionando os dados de exames laboratoriais Considere a variável X 4X₁ 2X₂ X₃ também normal Calcule a probabilidade de b Xa tal que PXXa010565 R 52789 μₓ aμX1 bμX2 cμX3 μₓ 4150 2120 1200 σₓ² a²σ²X1 b²σ²X2 c²σ²X3 σₓ² 4²30 2²40 1²20 σₓ z 05 010565 0394350 ver tabela Z 125 NEGATIVO Porque Xa é menor do que a média 125 Xa560256905 então Xa 52789 Exercício 9 Suponha que a análise da urina para determinada verificação de pedras nos rins é feita em 3 etapas independentes entre si Os tempos de análise de cada etapa são normalmente distribuídos como segue Etapa Média Desvio 1ª 3h 30 minutos 2ª 4h 20 minutos 3ª 6h 50 minutos O tempo total de análise também é normalmente distribuído a Qual a proporção que demonstra a análise completa da urina b Qual a média e desvio padrão da análise completa da urina Qual a probabilidade de que a análise da urina seja feita c em mais de 660 minutos d d entre 896 minutos e 915 minutos Resolução do Exercício 9 X1 N180900 X2 N240400 X3 N3602500 X X1 X2 X3 EX EX1 EX2 EX3 180 240 360 780 VARX VARX1 VARX2 VARX3 900 400 2500 3800 X N780 3800 μ 780 σ 6164 a PX 660 PZ 195 0474412 05 0974412 b P896 X 915 P188 Z 219 P0 Z 219 P0 Z 188 0485738 0469946 0015792 Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Distribuição Binomial n número de provas ou tentativas k número de ocorrências sucessos em n provas ou tentativas p probabilidade de o evento OCORRER sucesso em qualquer prova quando estiver em porcentagem p deverá ser expresso em decimais ou em fração q probabilidade do evento NÃO OCORRER fracasso em qualquer prova q 1 p indicação a variável X tem distribuição binomial com parâmetros n e p ou seja X Bnp EX np e VARX npq Distribuição Normal Seja X Nµ2 X tem distribuição normal com média µ e variância 2 Definese X Z Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Binomial n 30 elementos Aproximação da Binomial pela Normal n 30 Ou ainda quando Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Exemplo de Aplicação do Teorema do Limite Central Seja X Bnp Podemos escrever sendo as variáveis X1 X2 Xn independentes cada uma com distribuição de Bernoulli Sabemos que EX µ np e VARX 2 npq n i i X 1 X Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Para aplicar a Aproximação da Distribuição Binomial pela Normal É necessário garantir que np 5 nq 5 INCLUSÃO Quando os valores estão inclusos no intervalo devese garantir esta inclusão ou seja acrescentar valores neste intervalo EXCLUSÃO Quando os valores estão exclusos no intervalo devese garantir esta exclusão ou seja eliminar valores neste intervalo Para melhorar a aproximação fazse uma CORREÇÃO DE CONTINUIDADE cc Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Correção de Continuidade cc Em 1733 Abraham De Moivre por meio do Teorema do Limite Central mostrou que para melhorar a aproximação do resultado da Binomial pelo resultado da Normal fazse uma correção de continuidade cc 1 2 Correção de Continuidade cc Inclusão de a Inclusão de b Correção de Continuidade cc 3 Exclusão de a Exclusão de b Correção de Continuidade cc 4 Inclusão de a Exclusão de b Exemplo 8 Um sistema é formado por 100 componentes cada um dos quais com confiabilidade de 095 Se esses componentes funcionam independentes uns dos outros e se o sistema completo funciona adequadamente quando pelo menos 80 componentes funcionam qual a confiabilidade do sistema Exemplo 8 Resolução por Binomial n 100 k 80 então P80 X 100 P80 P81 P100 p 095 q 005 Pk n k pk qnk Pk n nk k pk qnk P80 100 100 80 09580 00510080 P81 100 1008 81 09581 0051008 P100 100 100100 100 095100 005100100 Exemplo 8 Resolução por Aproximação da Binomial pela Normal Vamos usar a aproximação uma vez que n30 e np 100 095 95 5 nq 100 005 5 Assim µ np 100095 95 2 npq 100 095 005 475 logo 218 np 5 e nq 5 Exemplo 8 Correção de Continuidade cc 100 5 79 5 100 80 X P X P cc Exemplo 8 Resolução por Aproximação da Binomial pela Normal µ np 100095 95 2 npq 100 095 005 475 logo 218 Conclusão confiabilidade do sistema 9941 100 5 79 5 100 80 X P X P cc Exemplo 9 Seja X Bnp onde n100 funcionários com algum diploma universitário e p05 a probabilidade de encontrar um aluno com diploma Calcule usando a aproximação da binomial pela normal a probabilidade de encontrar a Exatamente 52 funcionários com diploma ou seja PX52 Resolução PX 52 cc P51 X 53 P515 X 525 Resp 0073551 b De 25 a 57 funcionários com diploma ou seja P25 X 57 Resolução P25 X 57 cc P24 X 57 P245 X 575 Resp 09332 c P25X57 R 09032 Resolução P25 X 57 cc P26 X 58 P255 X 565 Exemplo 9 Vamos usar a aproximação uma vez que n30 e np 100 05 50 5 nq 100 05 50 5 Então µ np 10005 50 2 npq 100 05 05 25 5 Exemplo 9 a Exatamente 52 funcionários com diploma ou seja PX 52 Resp 0073551 P z2 z1 Exemplo 9 b De 25 a 57 funcionários com diploma ou seja P25 X 57 Resp 09332 Z1 25 12 50 5 51 Z2 57 12 50 5 15 P z1 z2 05 0433193 09332 Exemplo 9 a Mais que 25 a menos que 57 funcionários com diploma ou seja P25 X 57 Exercício 12 Considere X uma variável binomial com cento e duas contas a receber e a probabilidade de recebimento igual a 60 Calcule a probabilidade de selecionarmos aleatoriamente de noventa a noventa e sete contas R0 Exercício 13 Determine a média e o desvio padrão de uma distribuição normal sabendo que nesta distribuição os valores padronizados de X180 e X2100 são respectivamente Z116 2 Z224 Sendo que esses valores correspondem a quantidade de funcionários que faltaram em meses de trabalho Em seguida determine a probabilidade de encontrar de forma aleatória em um mês qualquer mais que 90 e menos que 97 faltas ou seja P90X97 Resolução Exercício 14 Em um setor de finanças temse 12 de problemas com cálculos de impostos Usando a aproximação da distribuição binomial pela normal determine a probabilidade de em uma amostra formada ao acaso por 500 impostos termos mais de 40 e menos de 51 com problemas em seus cálculos R 0091417 BINOMIAL n 500 40 k 51 com problemas p 12 com problemas q 88 np 50001260 5 nq 500088 440 5 NORMAL µ np 500012 60 σ2 npq 500012088 5280 σ 72664 P40 X 51ccP405 X 505 Z1 40 12 60 72664 268 tabela Z2 51 12 60 72664 131 tabela P z1 z2 Como selecionar uma amostra Distribuição amostral da média Distribuição amostral das proporções Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Produção Profa Mônica Karrer e Profa Flainer Rosa de Lima Distribuição amostral dos estimadores População Parâmetros teta Amostras Estimadores ou estatísticas ˆ Notações Denominação População Amostra Média μ x Variância σ² s² Número de elementos N n Proporção p p Esperança e Variância Propriedades Principais Esperança Matemática Variância 1 Ekk k constante 1 VARk0 k constante 2 EkXkEX k constante 2 VARkXk2VARX 3 EXYEXEY 3 VARaXba2VARX a e b constantes 4 EXYEXEY 5 EX1X2XnEX1EX2EXn 6 EaXbaEXb a e b constantes 7 EXµx0 Distribuição de probabilidade Casos Esperança Matemática Variância discreto VARXEX2EX2 ou contínuo VARXEX2EX2 ou n i i i x p x X E 1 2 1 1 2 VARX n i i i n i i i x p x p x x x f x dx E X 2 2 VARX x f x dx f x dx x Como selecionar uma amostra Procedimentos científicos de obtenção de dados amostrais Levantamentos amostrais a amostra é obtida de uma população bem definida por meio de processos bem protocolados e controlados pelo pesquisador Estes podem ser classificados em levantamentos probabilísticos ou nãoprobabilísticos Os levantamentos probabilísticos reúnem técnicas que usam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos de uma amostra atribuindo a cada um deles uma probabilidade conhecida a priori de pertencer à amostra Ex identificar a proporção de indivíduos favoráveis a um projeto Planejamento de experimentos neste caso o principal objetivo é o de analisar o efeito de uma variável sobre outra requerendo interferências do pesquisador sobre o ambiente em estudo bem como o controle de fatores externos com o intuito de medir o efeito desejado Ex Testar se um novo medicamento é eficaz Levantamentos observacionais os dados são normalmente coletados sem que o pesquisador tenha controle sobre as informações obtidas Por exemplo se quisermos prever as vendas de uma empresa em função de vendas passadas os dados são as vendas efetivamente ocorridas Informações presentes em Bussab e Morettin 2010 p 267268 Amostragem aleatória simples Representa a maneira mais fácil de selecionar uma amostra probabilística de uma população Neste caso os elementos da população têm a mesma probabilidade de seleção Em nosso curso normalmente o plano amostral considerado será o de amostragem aleatória simples com reposição Distribuições amostrais Procedimento para a obtenção de uma distribuição amostral de uma estatística T como por exemplo a média amostral ou a variância amostral aConsiderar uma população X com determinado parâmetro de interesse b Obter todas as amostras retiradas da população de acordo com certo procedimento c Para cada amostra calcular o valor t da estatística T d Os valores t formam uma nova população cuja distribuição recebe o nome de distribuição amostral de T Informações presentes em Bussab e Morettin 2010 p 273 De uma população X tiramos uma amostra de tamanho n constituída pelos elementos x1 x2 xn Estimador da média µ populacional na amostra Estimador da variância populacional 2 na amostra Distribuição amostral da média n i ix n x 1 1 2 1 2 1 1 n i i x x n s n i n i i i x n x n s 1 2 1 2 2 1 1 1 ou Exemplo Considere uma população finita X 1 2 3 4 5 Vamos determinar EXµ e VARX2 média e variância populacionais EXµ3 e VARX 2 EX2 EX2 1132 2 X PX XPX X2PX 1 02 02 02 2 02 04 08 3 02 06 18 4 02 08 32 5 02 10 5 1 30 11 Exemplo Vamos retirar dessa população X 12345 todas as amostras com reposição de tamanho n2 amostragem casual simples com reposição Amostras Média de cada amostra 11 10 12 15 13 20 14 25 15 30 21 15 22 20 23 25 24 30 25 35 Amostras Média de cada amostra 31 20 32 25 33 30 34 35 35 40 41 25 42 30 43 35 44 40 45 45 Amostras Média de cada amostra 51 30 52 35 53 40 54 45 55 50 x x x Exemplo Como a média varia de amostra para amostra é uma variável aleatória discreta Vamos analisar a distribuição de x x x P P 2 P 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 3 10 x x x x x x 25 1 25 2 25 1 25 1 25 2 25 3 25 3 25 3 50 9 25 6 25 12 25 4 25 10 25 25 25 5 25 15 25 45 25 4 25 14 25 49 25 12 25 48 25 9 50 81 25 1 25 5 25 25 Comparação com a média e a variância populacional a na população X 1 2 3 4 5 EXµ3 e VARX 2 11322 b na amostra 1 3 10 3 2 2 x x VAR x E x IMPORTANTE A média das médias amostrais ou é igual à média populacional ou seja A variância da média amostral é igual à variância populacional dividida pelo tamanho da amostra ou seja Ex x E n VAR x x 2 2 Conclusões Se X é uma população normal com parâmetros µ e 2 e se dessa população forem retiradas amostras de tamanho n então 2 n x N Se X é uma população não normal com parâmetros µ e 2 e se dela retirarmos uma amostra de tamanho n suficientemente grande então Esse fato resulta do TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Se a população original tem uma distribuição próxima da normal a convergência é rápida Se a população original se afasta muito de uma normal necessitamos de uma amostra maior para que tenha uma distribuição aproximadamente normal 2 n N x x Teorema do Limite Central Enunciado para a Soma Amostral Para variáveis aleatórias X1 Xn independentes e com mesma distribuição de média μ e variância σ² finitas a distribuição da soma X X1 Xn se aproxima à medida que n cresce da distribuição de Y NμX σ²X em que μX nμ e σ²X nσ² Observações Importantes O teorema central do limite é um teorema fundamental de probabilidade e estatísticas O teorema descreve a distribuição da média de uma amostra aleatória de uma população com variância finita Quando o tamanho amostral é suficientemente grande a distribuição da média é uma distribuição aproximadamente normal O teorema aplicase independentemente da forma da distribuição da população Muitos procedimentos estatísticos comuns requerem que os dados sejam aproximadamente normais Teorema do Limite Central Observações Importantes O teorema central do limite permite a aplicação destes procedimentos úteis a populações que são fortemente nãonormais Quão grande o tamanho amostral deve ser depende da forma da distribuição original Se a distribuição da população for simétrica um tamanho amostral de 5 poderia render uma boa aproximação Se a distribuição da população for fortemente assimétrica será necessária uma amostra maior De modo geral a distribuição da média pode ser aproximadamente normal se o tamanho amostral for maior do que 30 Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Graças ao teorema do limite central quando calculase uma média filhos por pessoa ou uma proporção de pessoas com casa própria de uma amostra podemos saber qual é a probabilidade de que o universo tenha esse mesmo valor ou um valor parecido O valor que calcularmos para a amostra será o mais provável para o nosso universo e conforme nos distanciamos deste valor para cima ou para baixo estes serão valores cada vez menos prováveis DESVIO PADRÃO AMOSTRAL AMOSTRA COM REPOSIÇÃO Exemplo 1 a 1 Seja X N8026 em que 80 é a média de ligações atendidas semanalmente Dessa população retiramos uma amostra de n25 operadores de telemarketing a Calcular a probabilidade de encontrarmos mais de 83 ligações atendidas Solução 1 Da população sabemos que µ80 226 e 2 Da amostra temos que Logo a média amostral tem distribuição normal com média 80 e variância 3 Então ou seja a probabilidade de encontrarmos operadores que atendem mais de 83 ligações é de 01641 83 x P 26 510 1 02 25 26 25 26 80 2 2 x x x n 25 26 2 94 02 1 80 83 x x x Z 0 001641 0 498359 50 2 94 83 P Z x P x Tabela N01 Exemplo 1 b b Calcule Solução 82 x P 196 02 1 80 82 x x x Z 0 975002 0 475002 50 1 96 82 P Z x P Resp A probabilidade de encontrarmos um operador que atenda menos de 82 ligações é de 975 Tabela N01 Exemplo 1 c c Calcule 0 9545 0 4772502 2 2 02 1 80 04 82 02 1 80 96 77 8204 7796 02 12 80 02 12 80 2 2 Z P Z P x P x P x P x x 2 x 2 P x x Solução Exemplo 2 105 95 x P 1 Da população sabemos que µ100 285 2 Da amostra temos que 2 0615 20 85 20 85 100 2 2 x x x n 2 43 0615 2 100 105 2 43 0615 2 100 95 x x x x x Z x Z 0 984902 492451 02 2 43 2 43 105 95 Z P x P Mesma área 2 Seja X N100 85 em que 100 é a média de internações de crianças em um hospital diariamente Retiramos uma amostra de tamanho n20 dias Determinar a probabilidade de encontrarmos de 95 a 105 crianças Resp 0984902 Solução 3 Exemplo 3 a 3 O tempo de vida de certo componente mecânico tem média de 1200 horas e desvio padrão de 80 horas Numa amostra aleatória de 64 desses componentes achar a probabilidade da média amostral a ser superior a 12128 horas Resp 01003 10 64 80 64 80 1212 8 2 x X P 0100273 0 399727 50 1 28 0 399727 1 28 10 1200 8 1212 Z P z Z Solução Exemplo 3 b b diferir em valor absoluto no máximo 15 horas da média real Resp 08664 0 866386 433193 02 51 2 0 51 51 51 10 1215 1200 51 10 1200 1185 1 1 Z P Z P Z Z PX120015 P15 X 1200 15 P1200 15 X 1200 15 P1185 X 1215 Solução Dimensionamento de uma amostra Se você tem o nível de confiança 1 α a média e a variância encontrar o tamanho da amostra por meio Se você tem o nível de confiança 1 α e o ERRO ESTIMADO encontre o tamanho da amostra por meio n Se você tem o tamanho da POPULAÇÃO N e o ERRO ESTIMADO encontre o tamanho da amostra por meio Dimensionamento de uma amostra Exemplo 1 1 Seja X N1200 840 em que 1200 é a média de quilos que um carreto transporta Qual deverá ser o tamanho de uma amostra de tal forma que o carreto transporte mais de 1196kg a menos de 1204kg sendo que a probabilidade deste fato ocorrer é de 90 1 Da população µ1200 e 2840 2 Da amostra Situação z 090 2 045 dentro tabela Zcrit 164 então Resolvendo uma das duas equações obtémse n14113 logo n 142 objetos 0 90 1204 1196 x P n n n x x x 840 840 1200 2 2 n n 840 1204 1200 1 64 ou 840 1196 1200 1 64 Solução 1196 1200 1204 Exemplo 1 164 4 840595n n 14117 142 amostras Exemplo 2 2 Uma empresa recebe em média trimestralmente 100 currículos com um desvio padrão de 10 currículos Qual a quantidade de pessoas amostra a empresa deve recrutar para analisar os currículos uma vez que provavelmente há 95 de certeza que a mesma receba mais de 90 e menos de 110 currículos em um trimestre Resp n 4 funcionários Solução P90 x 110 095 n z 0952 0475 Zcrit 196 σx 10²n 10n 90 100 110 196 90 10010²n ou 196 110 10010²n 10n 196 10 n 38416 n 4 Exemplo 2 196 10 100260308n n 384 4 amostras Exemplo 3 O tempo de vida de certo componente mecânico tem média de 1200 horas e desvio padrão de 80 horas Numa amostra aleatória de 64 desses componentes achar a probabilidade da média amostral a ser superior a 12128 horas R 01003 n 64 População μ 1200h σ 80h Amostra com reposição μx 1200h σ²x σ²n 80²64 100 σ 100 10 PX 12128 Z 12128 1210 128 tabela z 0399727 PX 12128 PZ 128 05 0399727 0100273 Exemplo 3 O tempo de vida de certo componente mecânico tem média de 1200 horas e desvio padrão de 80 horas Numa amostra aleatória de 64 desses componentes achar a probabilidade da média amostral b diferir em valor absoluto no máximo 15 horas da média real R 08664 Caso especial Se a população for finita e de tamanho N conhecido e se a amostra de tamanho n dela retirada for sem reposição então σx σ²n NnN1 σx σ²n NnN1 σx σ²n NnN1 σx σn NnN1 Z x μxσx Z x μxσ²n NnN1 DESVIO PADRÃO AMOSTRAL AMOSTRA COM REPOSIÇÃO σx σ²n σx σ²n σx σn AMOSTRA SEM REPOSIÇÃO σx σ²nN nN 1 σx σ²n N nN 1 σx σn N nN 1 Caso especial EXEMPLO Seja uma população de 5000 alunos de uma faculdade Sabese que a altura média dos alunos é de 175 cm e o desvio padrão de 5 cm Retirase uma amostra sem reposição de tamanho n100 Calcule a média das médias amostrais μx e o desvio padrão da média amostral σx Solução σx² σ²n NnN1 σ²n NnN1 σn NnN1 μx μ 175 σx σn NnN1 σx 5100 500010050001 0495024 Exercício 1 a Suponha que as estaturas dos 4500 estudantes do sexo masculino de uma universidade tenha média de 1725 cm e desvio padrão de 78 cm 80 amostras aleatórias cada uma com 50 estudantes do sexo masculino são selecionadas sem reposição a Achar a média e o desvio padrão da média de cada amostra Resp 1725 1097 Solução σx² σ²n NnN1 σ²n NnN1 σn NnN1 μx μ 1725 σx σn NnN1 7850 45005045001 109706 Exercício 1 b b Qual deverá ser o tamanho da amostra sem reposição considerando a população de 4500 alunos de tal forma que P1695 X 1755 095 Solução z09520475Zcrit196 1963782n4500n45001 196782n4500n450013 782n4500n450013196 782n4500n449931962 78244994500n23428 4500nn23428001352 4500nn1732436 4500n1732436n 45001732436nn 45001742436n n45001742436 n 26 amostras Exercício 2 Num concurso público no qual participaram 30000 candidatos a nota média foi de 42 pontos e o desvio padrão de 10 pontos Numa amostra aleatória sem reposição de 225 participantes qual a probabilidade da média amostral ser maior do que 40 pontos μxμ42 σxσnNnN1102253000022530000106642 Z xμx σx Z xμxσ2nNnN1 Z404206642301 tabela z04987 PX 40 PZ 301 05 04987 09987 Exercício 3 Considere X uma população normal com média igual a 1200 e a variância igual a 400 Qual deverá ser o tamanho da amostra sem reposição considerando uma população de 25000 objetos de tal forma que P1194 X 1206 090 R 30 Solução z0902045Zcrit164 16412061200400n25000n250001 164400n25000250006 400n250002500064 0025000n250001368852 4002499925000nn25000nn136050 13605040024999 25000n8502785n 250008502785nn 250008512785n n250008512785 30 amostras 1194 1200 1206 Distribuição amostral das proporções Estudaremos a distribuição amostral da proporção p de sucessos característica que se estuda na população Seja p conhecida A população pode ser definida como uma variável X tal que X1 se o elemento da população tem a característica X0 se o elemento da população não tem a característica PX1p PX0q sendo pq1 Calculando EXµ e VARX 2 temos X PX XPX X2PX 0 q 0 0 1 p p p 1 p p EXµ p e VARX EX2EX2pp2p1ppq Distribuição amostral dos estimadores Retiramos uma grande amostra x1 x2 xn n dessa população com reposição e definimos x como o número de sucessos na amostra O estimador de p é dado por proporção de sucessos na amostra X Bnp logo EXnp e VARXnpq Calculando a esperança e a variância de temos n p x ˆ pˆ Comparação com os dados da população a População µ p e 2 pq b Amostra n p q p q n n n VAR x p e VAR p n n p n E X n E x E p 1 ˆ 1 1 ˆ 2 n p q p e VAR p E p p p ˆ ˆ 2 ˆ ˆ Para grandes amostras com reposição a proporção amostral se distribui com média igual à proporção populacional ou seja a variância da proporção amostral é igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra ou seja ou seja é aproximadamente normal com média p e variância Conclusão p E p p ˆ ˆ n p q VAR p p ˆ 2 ˆ ˆ n N p pq p n n q p pˆ Caso especial p desconhecida e amostra grande Para população finita usamos o fator de correção Quando p é desconhecida e a amostra é grande determinamos estimativa de p e Adotaremos que uma amostra é suficientemente grande quando np 5 e nq 5 n po x ˆ n q p o o p ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ N n N n q p o o p Em uma população a proporção de pessoas favoráveis a uma determinada lei é de 40 Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população Determinar para as pessoas favoráveis a lei Solução p04 e q06 z 095 2 0475 dentro tabela Zcrit196 n 300 μp p 04 σp2 pqn 0406300 00008 logo σp 00008 00283 P04 19600283 p 04 19600283 095 P03445 p 04555 095 Desejase saber qual a proporção de pessoas da população portadoras de determinada doença Retirase uma amostra de 400 pessoas obtendose 8 portadores da doença Determinar limites de confiabilidade de 99 para a proporção populacional de portadores de doença utilizando z 099 2 0495 dentro tabela Zcrit258 po xn 8400 002 logo qo 098 σp poqon 002098400 0007 Pp0 zcritσp p p0 zcritσp 099 P002 2580007 p 002 2580007 099 P0002 p 0038 099 Uma roleta está dividida em quatro partes nas cores verde amarelo branco e preto Considere uma particular amostra de 400 giros Seja p a variável proporção amostral de paradas no amarelo Determine p 0275 R 08749 po xn 14 025 logo qo 075 σp poqon 025075400 00217 Pp 0275 Z 0275 02500217 115 tabela z 0374928 Pp 0275 PZ 115 05 0374928 0874928 RESUMO Média Variância População X Nμ σ² EX i1ⁿ xi pxi σ² i1ⁿ xi² pxi i1ⁿ xi pxi² Amostra COM Reposição X Nμx σ²n μx μ σx² σ²n Amostra SEM Reposição X Nμx σ²n NnN1 μx μ σx² σ²n NnN1 σx sqrtσ²n NnN1 σx sqrtσ²n sqrtNnN1 sqrtσ²n sqrtNnN1 PROPORÇÃO Média Variância População X Np σp² μp p σp² p q Amostra COM Reposição X Nμp p qn μp p σp² p qn Amostra SEM Reposição X Nμp p qn NnN1 μp p σp² p qn NnN1 σp sqrtp qn NnN1 σp sqrtp qn sqrtNnN1 sqrtp qn sqrtNnN1 ESTATÍSTICA Lista 2 INFERÊNCIA EXERCÍCIOS DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA A média das médias amostrais ou Ex é igual à média populacional ou seja Ex A variância da média amostral é igual à variância populacional dividida pelo tamanho da amostra ou seja n VAR x x 2 2 Amostra com reposição Se X é uma população normal com parâmetros e 2 e se dessa população forem retiradas amostras de tamanho n então 2 n x N Esse fato resulta do TEOREMA DO LIMITE CENTRAL 1 Exemplo Seja X N8026 em que 80 é a média de ligações atendidas semanalmente Dessa população retiramos uma amostra de 25 operadores de telemarketing Calcular a probabilidade de encontrarmos a mais de 83 ligações atendidas ou seja 83 P x R a probabilidade de encontrarmos operadores que atendem mais de 83 ligações é de 01641 b 82 P x R A probabilidade de encontrarmos um operador que atenda menos de 82 ligações é de 975 c 2 2 x x x P R 09545 2 Exemplo de dimensionamento da amostra Seja X N1200 840 em que 1200 é a média de quilos que um carreto transporta Qual deverá ser o tamanho de uma amostra de tal forma que o carreto transporte mais de 1196kg a menos de 1204kg sendo que a probabilidade deste fato ocorrer é de 90 ou seja 0 90 1204 1196 x P R 142 objetos Exercícios 1 Seja X N100 85 em que 100 é a média de internações de crianças em um hospital diariamente Verificaremos uma amostra de 20 dias para a Determinar a probabilidade de encontrarmos mais que 95 a menos que 105 crianças internadas diariamente no hospital 105 95 x P R 0984902 b 0 95 x crit x crit Z x Z P x R 9596 10404 2 Uma empresa recebe em média trimestralmente 100 currículos com um desvio padrão de 10 currículos Qual a quantidade de pessoas amostra a empresa deve recrutar para analisar os currículos uma vez que provavelmente há 95 de certeza que a mesma receba mais de 90 e menos de 110 currículos em um trimestre R n 4 funcionários 3 O tempo de vida de certo componente mecânico tem média de 1200 horas e desvio padrão de 80 horas Numa amostra aleatória de 64 desses componentes achar a probabilidade da média amostral a ser superior a 12128 horas R 01003 b diferir em valor absoluto no máximo 15 horas da média real R 08664 Amostra sem reposição Exemplo Seja uma população de 5000 alunos de uma faculdade Sabese que a altura média dos alunos é de 175 cm e o desvio padrão de 5 cm Retirase uma amostra sem reposição de tamanho n100 Calcule a média das médias amostrais X e o desvio padrão da média amostral X R 04950 Exercícios 1 Suponha que as estaturas dos 4500 estudantes do sexo masculino de uma universidade tenham média de 1725 cm e desvio padrão de 78 cm 80 amostras aleatórias ou seja 80 salas de aula cada uma com 50 estudantes do sexo masculino são selecionadas sem reposição a Achar a média e o desvio padrão da média de cada amostra R 1725 cm 1097cm b Qual deverá ser o tamanho da amostra sem reposição considerando a população de 4500 alunos de tal forma que P1695 X 1755 095 R 26 amostras 2 Num concurso público no qual participaram 30000 candidatos a nota média foi de 42 pontos e o desvio padrão de 10 pontos Numa amostra aleatória sem reposição de 225 participantes qual a probabilidade da média amostral ser maior do que 40 pontos R 09987 3 Considere X uma população normal com média igual a 1200 e a variância igual a 400 Qual deverá ser o tamanho da amostra sem reposição considerando uma população de 25000 objetos de tal forma que P1194 X 1206 090 R 30 amostras Distribuição amostral das proporções Para grandes amostras a proporção amostral se distribui com média igual à proporção populacional a variância da proporção amostral é igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra amostra com reposição e quando p desconhecido usar n x p 1 ˆ ˆ ˆ N n N n q p o o p amostra sem reposição Exemplos 1 Em uma população a proporção de pessoas favoráveis a uma determinada lei é de 40 Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população Determinar para as pessoas favoráveis a esta lei R 0 95 0 4555 0 3445 p P 2 Desejase saber qual a proporção de pessoas da população portadoras de determinada doença Retirase uma amostra de 400 pessoas obtendose 8 portadores da doença Determinar limites de confiabilidade de 99 para a proporção populacional utilizando R 0 99 0 038 0 002 p P podemos garantir com 99 de certeza de que a proporção 3 Uma roleta está dividida em quatro partes nas cores verde amarelo branco e preto Considere uma particular amostra de 400 giros Seja p a variável proporção amostral de paradas no amarelo Determine p 0275 R 08749 0 95 ˆ ˆ ˆ p crit p crit z p p z P p 0 99 ˆ 0 ˆ 0 p crit p crit z p p z P p