Simulação de EDOs no Simulink: Exemplo de Diagrama de Blocos

EDO no Simulink Simulação do diagrama de blocos da EDO Exemplo Considere o tanque da ilustração abaixo em que ℎ𝑡 é o nível e a vazão 𝑞1𝑡 é a entrada 𝑢𝑡 do sistema com 𝛼 13 e 𝛽 07 Seu modelo é dado pela EDO a seguir Obtenha a série temporal de ℎ𝑡 para uma entrada constante 𝑢𝑡 05 m3s para ℎ0 0 𝑑 𝑑𝑡 ℎ𝑡 𝛼𝑢𝑡 𝛽ℎ𝑡 Para a simulação da EDO no Simulink uma das formas mais imediatas é transformar a EDO num diagrama de blocos que utiliza integradores somadores ganhos e demais operadores não lineares tal como nesse exemplo Note que normalmente não é necessário que o modelo esteja no espaço de estados para que se obtenha um diagrama de blocos a partir de uma EDO e mesmo de um sistemas de EDOs tanquesimulinkslx Exercício Considere o sistema massamolaamortecedor dado por 𝑀𝑧𝑡 𝐵𝑧𝑡 𝐾𝑧𝑡 𝑓𝑡 e vamos representar essa EDO por meio de um diagrama de blocos Para fazer isso iniciamos isolando a derivada de ordem superior da saída 𝑧𝑡 1 𝑀 𝑓𝑡 𝐵𝑧𝑡 𝐾𝑧𝑡 Simule o diagrama de blocos da EDO no Simulink e determine sua resposta para uma força tipo degrau 𝑓𝑡 10 𝑁 e condições iniciais 𝑧0 1 e 𝑧0 2 Considere 𝑀 1 𝐵 3 e 𝐾 2 no SI f t Simulação por meio do bloco State Space Como ilustração considere a representação abaixo no espaço de estados de um sistema massamolaamortecedor 𝑥1 𝑥2 0 1 𝐾 𝑀 𝐵 𝑀 𝑥1 𝑥2 0 1 𝑀 𝑓 𝑦 1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑢 A simulação de qualquer sistema linear representado no espaço de estados pode ser feita diretamente pelo bloco 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒 𝑆𝑝𝑎𝑐𝑒 fornecendo as matrizes A B C D e as condições iniciais 𝑥0 mmastatespaceslx Simulação por meio do bloco Transfer Function A simulação de qualquer sistema linear representado por função de transferência pode ser feita diretamente pelo bloco 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 𝐹𝑐𝑛 fornecendo os coeficientes do numerador e do denominador Note contudo com esse bloco as condições iniciais 𝑥0 0 mmatransferfcnslx Simulação do diagrama de blocos a partir da representação no espaço de estados Como ilustração considere a representação abaixo no espaço de estados de um sistema massamolaamortecedor 𝑥1 𝑥2 0 1 𝐾 𝑀 𝐵 𝑀 𝑥1 𝑥2 0 1 𝑀 𝑓 𝑦 1 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑢 Para obtenção do diagrama utilizamse as equações escalares 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝐾 𝑀 𝑥1 𝐵 𝑀 𝑥2 1 𝑀 𝑓 𝑦 𝑥1 Iniciase a construção pelos integradores e dai completase o diagrama t t Simulação via Matlab function Uma forma alternativa para se resolver uma EDO é por meio de uma Matlab function do SIMULINK Como ilustração considere o problema abaixo para 𝑓𝑡 100 1 𝑠𝑒𝑛𝑡 e determine a série temporal da posição da velocidade da aceleração e da potência para 𝑥0 0 e 𝑣0 0 Considere o carro sujeito a força de propulsão 𝑓 e o arrasto cujo modelo é dado por 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑓 𝑐𝑑𝑣2 function dsdvapot carromfunfsv pars m 70 kg massa cd 024 kgm arrasto edos ds v edo1 dv f cdv2m edo2 saídas a f cdv2m aceleração pot fv potência end 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑓 𝑐𝑑𝑣2 Exercício Determine a resposta do sistema a uma entrada degrau de 100 N Simulação via Sfunction Uma outra forma alternativa para se resolver uma EDO é por meio de uma Sfunction do SIMULINK Como ilustração considere o problema abaixo para 𝑓𝑡 100 1 𝑠𝑒𝑛𝑡 e determine a série temporal da posição da velocidade da aceleração e da potência para 𝑥0 0 e 𝑣0 0 Considere o carro sujeito a força de propulsão 𝑓 e o arrasto cujo modelo é dado por 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑓 𝑐𝑑𝑣2 O arquivo carrosfundiagslx do Simulink O arquivo carrosfunm do MATLAB function sysx0strtssimStateCompliance carrosfuntxuflagxi Parsm 70 kg massa Parscd 024 kgm arrasto switch flag case 0 sysx0strtssimStateCompliance mdlInitializeSizesxi case 1 sys mdlDerivativestxuPars case 29 sys case 3 sys mdlOutputstxuPars otherwise DAStudioerrorSimulinkblocksunhandledFlag num2strflag end function sysx0strtssimStateCompliance mdlInitializeSizesxi sizes simsizes sizesNumContStates 2 s v sizesNumDiscStates 0 sizesNumOutputs 5 s v a f pot sizesNumInputs 1 f sizesDirFeedthrough 1 f é usado no cálculo das saídas sizesNumSampleTimes 1 sys simsizessizes str x0 xi IC x0 v0 ts 0 0 sample time periodo offset simStateCompliance DefaultSimState end function sys mdlDerivativestxuPars Parâmetros m Parsm cd Parscd ODE s x1 v x2 f u1 dots v dotv f cdv2m sys dots dotv end function sys mdlOutputstxuPars Parâmetros m Parsm cd Parscd Outputs s x1 v x2 f u1 Direct feedthrough a f cdv2m pot fv sys s v a f pot end end Exercício Determine a resposta do sistema a uma entrada degrau de 100 N