Lista de Exercícios - Física 3 - Eletromagnetismo - Prefixos Potências de Dez e Leis de Gauss

Lista de Exercícios E2 Prefixos para as potências de dez fator prefixo abrev fator prefixo abrev fator prefixo abrev 1024 locto y 106 micro μ 1012 tera T 1021 zepto z 103 mili m 1015 peta P 1018 atto a 102 centi c 1018 exa E 1015 femto f 103 quilo k 1021 zeta Z 1012 pico p 106 mega M 1024 iota Y 109 nano n 109 giga G Constantes numéricas carga elementar e 1602 1019 C Massa do próton mp 167 1027 kg Massa do elétron me 911 1031 kg Constante elétrica ε0 1μ0 c2 ε0 885 1012 C² N1 m2 14πε0 8988 109 N m²C² Aceleração da gravidade 980665 ms² padrão Lei de Gauss cap 23 dΦ Ē dĀ Φ Ē dĀ Lei de Gauss ε0 Φ Ē dĀ qenv ε0Φ qenv Φ Ē dĀ a Ē dĀ b Ē dĀ E 14πε0 qr² casca esférica para r R E 0 casca esférica para r R E 14πε0 qR³ r distribuição uniforme r R Potencial elétrico cap 24 U qV ΔU Uf Ui W ΔU qΔV ΔV Vf Vi Wq ΔK qΔV ΔK ΔU W F d trabpor f aplicada ΔK Kf Ki Wapl W Se Kf Ki Wapl W ΔU Uf Ui Wapl Wapl qΔV Cargas pontuais V 14πε0 qr superposição V Σn1ni Vi 14πε0 Σn1ni qiri U 14πε0 q1 q2r V W q0 Uq0 Vf Vi if Ē dŝ V if Ē dŝ Contínuo de cargas V 14πε0 dqr Dipolo V 14πε0 pcos θr² Anel V em z V Q4πε0 z² R² Disco V em z V σ2ε0 z² R² z Barra V em uma das extremidades altura d V λ4πε0 lnL L² d²12d Arco V no centro V Q4πε0 R E ΔVΔs Ē V Ex Vx Ey Vy Ez Vz Ē Vx î Vy ĵ Vz k Capacitância cap 25 C qV Em série mesma carga 1Ceq 1C1 1C2 Em paralelo mesma tensão Ceq C1 C2 C3 U q²2C U 12 CV² u 12 ε0 E² paralelas C ε0 Ad Cilíndrico comp L raios a e b C 2πε0 Lln ba Esférico C 4πε0 abb a Esfera isolada C 4πε0 R Capacitor com dielétrico C κ Car RESUMO CAP 23 Lei de Gauss A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de descrever a relação entre carga e campo elétrico em situações estáticas A lei de Gauss é expressa pela equação ε0 Φ qenv em que qenv é a carga total no interior de uma superfície imaginária fechada conhecida como superfície gaussiana e Φ é o fluxo total do campo elétrico através da superfície Φ Ē dĀ Aplicações da Lei de Gauss Usando a lei de Gauss e em alguns casos princípios de simetria é possível demonstrar várias propriedades importantes de sistemas eletrostáticos entre as quais as seguintes 1 As cargas em excesso de um condutor estão concentradas na superfície externa do condutor 2 O campo elétrico externo nas vizinhanças da superfície de um condutor carregado é perpendicular à superfície e tem um módulo dado por E σε0 em que σ é a densidade superficial de carga 5 Na Fig 2333 um próton está uma distância d2 do centro de um quadrado de aresta d Qual é o módulo do fluxo elétrico através do quadrado Sugestão Pense no quadrado como uma das faces de um cubo de aresta d Resp 301x109 Nm²C 6 Em todos os pontos da superfície do cubo da Fig 2331 o campo elétrico é paralelo ao eixo z O cubo tem 30 m de aresta Na face superior do cubo Ē 34 NC na face inferior Ē 20 NC Determine a carga que existe no interior do cubo Resp 43 nC 12 A Fig 2336 mostra duas cascas esféricas isolantes mantidas fixas no lugar A casca 1 possui uma densidade superficial de carga uniforme de 60 μCm2 na superfície externa e um raio de 30 cm a casca 2 possui uma densidade superficial de carga uniforme de 40 μCm2 na superfície externa e um raio de 20 cm os centros das cascas estão separados por uma distância L 10 cm Qual é o campo elétrico no ponto x 20 cm na notação dos vetores unitários Resp 28x104 i NC 14 Fluxo e cascas isolantes Uma partícula carregada está suspensa no centro de duas cascas esféricas concêntricas muito finas feitas de um material isolante A Fig 2337a mostra uma seção reta do sistema e a Fig 2337b mostra o fluxo Φ através de uma esfera gaussiana com centro na partícula em função do raio r da esfera A escala do eixo vertical é definida por Φs 50 105 N m2C a Determine a carga da partícula central b Determine a carga da casca A c Determine a carga da casca B Resp a18x106 C b 53 x106 C c 88 x106 C 20 Fluxo e cascas condutoras Uma partícula carregada é mantida no centro de duas cascas esféricas condutoras concêntricas cuja seção reta aparece na Fig 2339a A Fig 2339b mostra o fluxo Φ através de uma esfera gaussiana com centro na partícula em função do raio r da esfera A escala do eixo vertical é definida por Φs 50 105 Nm2C Determine a a carga da partícula central b a carga da casca A e c a carga da casca B Resp Qcentro 80 µC QA 12 µC QB 53 µC 48 Uma partícula carregada é mantida fixa no centro de uma casca esférica A Fig 2353 mostra o módulo E do campo elétrico em função da distância radial r A escala do eixo vertical é definida por Es 100 107 NC Estime o valor da carga da casca Resp 66 μC 49 Na Fig 2354 uma esfera maciça de raio a 200 cm é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b 200a e raio externo c 240a A esfera possui carga uniforme q1 500 fC e a casca uma carga q2 q1 Determine o módulo do campo elétrico a em r 0 b em r a200 c em r a d em r 150a e em r 230a e f em r 350a Determine a carga g na superfície interna e h na superfície externa da casca Resp a 0 b 00562 NC c 0112 NC d 00499 NC e 0 f 0 g q1 h 0 52 A Fig 2357 mostra uma casca esférica com uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ 184 nCm3 raio interno a 100 cm e raio externo b 200a Determine o módulo do campo elétrico a em r 0 b em r a200 c em r a d em r 150a e em r b e f em r 300b Resp a 0 b 0 c 0 d 732 NC e 121 NC f 135 NC Ex Considere a esfera sólida condutora e a casca esférica condutora concêntricas mostradas abaixo A casca esférica tem carga 7Q A esfera sólida tem carga 2Q a Quanta carga está na superfície externa e quanta carga está na superfície interna da casca esférica b Considere agora que um fio metálico seja conectado entre a esfera sólida e a casca Depois do equilíbrio eletrostático ser atingido quanta carga está na esfera sólida e em cada superfície da casca esférica Resp a Qexterna 5Q Qinterna 2Q bQexterna 5Q Qinterna 0 Ex Uma casca esférica tem raio interno a 180 cm e raio externo b 250 cm A casca esférica tem carga elétrica uniforme igual a 280 nC e a referência r 0 é o centro da mesma Determine a o módulo do campo elétrico em r 300 cm b o módulo do campo elétrico em r 220 cm Resp a 27975 NC b 25582 NC RESUMO CAP 24 Potencial Elétrico O potencial elétrico V em um ponto P onde existe um campo elétrico produzido por um objeto carregado é dado por V Wq0 Uq0 em que W é o trabalho que seria realizado por uma força elétrica sobre uma carga de prova positiva q0 para deslocála de uma distância infinita até o ponto P e U é a energia potencial do sistema carga de provaobjeto carregado na configuração final Energia Potencial Elétrica Se uma partícula de carga q é colocada em um ponto no qual a energia potencial produzida por um objeto carregado é V a energia potencial elétrica U do sistema partículaobjeto é dada por U qV Se uma partícula atravessa uma região onde existe uma diferença de potencial ΔV a variação da energia potencial elétrica é dada por ΔU qΔV qVf Vi Energia Cinética De acordo com a lei de conservação da energia mecânica se uma partícula atravessa uma região onde existe uma variação ΔV da energia potencial elétrica sem ser submetida a uma força externa a variação da energia cinética da partícula é dada por ΔK qΔV Se a partícula atravessa uma região onde existe uma variação ΔV da energia potencial elétrica enquanto é submetida a uma força externa que exerce um trabalho Wext sobre a partícula a variação da energia cinética da partícula é dada por ΔK qΔV Wext No caso especial em que ΔK 0 o trabalho de uma força externa envolve apenas o movimento da partícula na presença de uma diferença de potencial ΔK qΔV para Ki Kf Superfícies Equipotenciais Os pontos que pertencem a uma superfície equipotencial possuem o mesmo potencial elétrico O trabalho realizado sobre uma carga de prova para deslocála de uma superfície equipotencial para outra não depende da localização dos pontos inicial e final nem da trajetória entre os pontos O campo elétrico E é sempre perpendicular à superfície equipotencial correspondente Cálculo de V a Partir de E A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é dada por Vf Vi if E ds No caso especial de um campo uniforme de módulo E a diferença de potencial entre dois planos equipotenciais vizinhos paralelos separados por uma distância Δx é dada por Objeto Campo elétrico Anel carregado com carga Q V Q 4πε₀z² R² Disco uniformemente carregado com densidade superficial de carga σ z sobre o eixo do disco V σ 2ε₀ z² R² z Arco de circunferência carregado com carga Q P no centro de curvatura do arco VP Q 4πε₀R Barra uniformemente carregada com densidade de carga λ P acima de uma das extremidade a uma altura d V λ 4πε₀ ln L L² d²¹² d Potencial Produzido por uma Partícula Carregada O potencial elétrico produzido por uma partícula carregada a uma distância r da partícula é dado por V 1 4πε₀ q r em que V tem o mesmo sinal de q O potencial produzido por um conjunto de cargas pontuais é dado por V ΣV₁ 1 4πε₀ Σqᵢ rᵢ Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico A uma distância r de um dipolo elétrico com um momento dipolar elétrico p qd o potencial elétrico do dipolo é dado por V 1 4πε₀ p cos θ r² para r d Cálculo de E a Partir de V A componente de E em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância na direção considerada Eₛ V s As componentes x y e z de E são dadas por Eₓ V x Eᵧ V y E𝓏 V z Se E é uniforme E ΔV Δs em que s é a direção perpendicular às superfícies equipotenciais Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas A energia potencial elétrica de um sistema de partículas carregadas é igual ao trabalho necessário para montar o sistema com as cargas inicialmente em repouso e a uma distância infinita umas das outras Para duas cargas separadas por uma distância r U W 1 4πε₀ q₁q₂ r Potencial de um Condutor Carregado Em equilíbrio toda a carga em excesso de um condutor está concentrada na superfície externa do condutor A carga se distribui de tal forma que 1 o potencial é o mesmo em todos os pontos do condutor 2 o campo elétrico é zero em todos os pontos do condutor mesmo na presença de um campo elétrico externo 3 o campo elétrico em todos os pontos da superfície é perpendicular à superfície 16 A Fig 2437 mostra um arranjo retangular de partículas carregadas mantidas fixas no lugar com a 390 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 340 pC e q2 600 pC Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico no centro do retângulo Sugestão Examinando o problema com atenção é possível reduzir consideravelmente os cálculos Vc 221 V 24 Na Fig 2443 uma barra de plástico com uma carga uniformemente distribuída Q 256 pC tem a forma de um arco de circunferência de raio R 371 cm e ângulo central φ 120º Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico no ponto P o centro de curvatura da barra Vp 620V Na Fig 2448 determine o potencial elétrico produzido na origem por um arco de circunferência de carga Q1 721 pC e duas partículas de cargas Q2 400Q1 e Q3 200Q1 O centro de curvatura do arco está na origem o raio do arco é R 200 m e o ângulo indicado é θ 200º Resp V 324 mV O potencial elétrico no plano xy é dado por V 20 V m2 x² 30 V m2 y² Qual é o campo elétrico no ponto 30 m 20 m na notação dos vetores unitários E 12 î 12 ĵ V m O potencial elétrico V no espaço entre duas placas paralelas 1 e 2 é dado em volts por V 1500x2 em que x em metros é a distância da placa 1 Para x 13 cm a determine o módulo do campo elétrico b O campo elétrico aponta para a placa 1 ou no sentido oposto Resp a E 39 Vm b aponta para a placa 1 43 Qual é o trabalho necessário para montar o arranjo da Fig 2452 se q 230 pC a 640 cm e as partículas estão inicialmente em repouso e infinitamente afastadas umas das outras Resp W 192 10¹³ J Uma carga de 90 nC está distribuída uniformemente em um anel fino de plástico situado no plano yz com o centro do anel na origem Uma carga pontual de 60 pC está situada no ponto x 30 m do eixo x Se o raio do anel é 15 m qual deve ser o trabalho realizado por uma força externa sobre a carga pontual para deslocála até a origem Resp W 18 10¹⁰ J Qual é a velocidade de escape de um elétron inicialmente em repouso na superfície de uma esfera com 10 cm de raio e uma carga uniformemente distribuída de 16 10¹⁵ C Em outras palavras que velocidade inicial um elétron deve ter para chegar a uma distância infinita da esfera com energia cinética zero Resp v 225x10⁴ ms Dois elétrons são mantidos fixos separados por uma distância de 20 cm Outro elétron é arremessado a partir do infinito e para no ponto médio entre os dois elétrons Determine a velocidade inicial do terceiro elétron Resp 032 kms Resp 57 μC Resp a 17 cm b 20 kms c 48 10¹⁷ N d sentido positivo e 32 10¹⁷ N f sentido negativo 59 Na Fig 2460 uma partícula carregada um elétron ou um próton está se movendo para a direita entre duas placas paralelas carregadas separadas por uma distância d 200 mm Os potenciais das placas são V1 700 V e V2 500 V A partícula partiu da placa da esquerda com uma velocidade inicial de 900 kms mas a velocidade está diminuindo a A partícula é um elétron ou um próton b Qual é a velocidade da partícula ao chegar à placa 2 a próton b 653x104 ms 74 Três partículas de cargas q1 10 μC q2 20 μC e q3 30 μC são posicionadas nos vértices de um triângulo isósceles como mostra a Fig 2462 Se a 10 cm e b 60 cm determine qual deve ser o trabalho realizado por um agente externo a para trocar as posições de q1 e q3 e b para trocar as posições de q1 e q2 a W 24 J b W 0 Atenção a energia inicial de 300 eV mencionada no texto é a energia cinética houve um problema na tradução do livro original a x 18 cm b 84x105 ms c 21x1017 N d direção x e 16x1017 N f direção x 83 Na Fig 2466 o ponto P está a uma distância d1 400 m da partícula 1 q1 2e e à distância d2 200 m da partícula 2 q2 2e as duas partículas são mantidas fixas no lugar a Com V 0 no infinito qual é o valor de V no ponto P Se uma partícula de carga q3 2e é deslocada do infinito até o ponto P b qual é o trabalho realizado c Qual é a energia potencial do sistema de três partículas Resp a 719x1010 V b W 230x1028 J c 243x1029 J 100 Uma partícula alfa que possui dois prótons está rumando diretamente para o centro de um núcleo que contém 92 prótons A partícula alfa possui uma energia cinética inicial de 048 pJ Qual é a menor distância centro a centro a que a partícula alfa consegue chegar do núcleo supondo que o núcleo seja mantido fixo no lugar Resp 88x1014 m Três cargas estão inicialmente em repouso e infinitamente afastadas umas das outras Uma força externa é usada para colocar as cargas paradas nos vértices de um quadrado de lado a400 cm e o valor de q é igual a 20 nC Considere que o potencial no infinito é nulo Pedemse a o potencial elétrico total na origem do sistema cartesiano para a configuração indicada na figura b Se a partícula de carga 2q na figura é solta do repouso qual é o módulo da velocidade quando ela estiver infinitamente afastada das outras duas Considere a massa dessa partícula igual a 36 µg Resp 153 V 141 ms Quatro cargas ocupam os vértices de um retângulo de lados a 045 m e b 032 m conforme a figura abaixo Sabendo que Q1 200 pC Q2 500 pC Q3 300 pC e Q4 400 pC Determinar o potencial elétrico total no ponto médio do segmento que une as cargas Q3 e Q4 V 0211 V RESUMO CAP 25 Capacitor Capacitância Um capacitor é formado por dois condutores isolados as placas com cargas q e q A capacitância C de um capacitor é definida pela equação q CV em que V é a diferença de potencial entre as placas Cálculo da Capacitância Podemos calcular a capacitância de um capacitor 1 supondo que uma carga q foi colocada nas placas 2 calculando o campo elétrico E produzido por essa carga 3 calculando a diferença de potencial V entre as placas e 4 calculando o valor de C com o auxílio da Eq 251 Seguem alguns resultados particulares A capacitância de um capacitor de placas paralelas de área A separadas por uma distância d é dada por C ε₀A d Capacitores em Paralelo e em Série As capacitâncias equivalentes Ceq de combinações de capacitores em paralelo e em série podem ser calculadas usando as expressões 1 Ceq 1 C₁ 1 C₂ em série Ceq C₁ C₂ C₃ em paralelo As capacitâncias equivalentes podem ser usadas para calcular as capacitâncias de combinações de capacitores em série e em paralelo Energia Potencial e Densidade de Energia A energia potencial elétrica U de um capacitor carregado U q² 2C 1 2 CV² é igual ao trabalho necessário para carregar o capacitor Essa energia pode ser associada ao campo elétrico E criado pelo capacitor no espaço entre as placas Por extensão podemos associar qualquer campo elétrico a uma energia armazenada No vácuo a densidade de energia u ou energia potencial por unidade de volume associada a um campo elétrico de módulo E é dada por u 1 2 ε₀E² 9 Os três capacitores da Fig 2527 estão inicialmente descarregados e têm uma capacitância de 250 μF Uma diferença de potencial V 4200 V entre as placas dos capacitores é estabelecida quando a chave é fechada Qual é a carga total que atravessa o medidor A 0315 C 12 Dois capacitores de placas paralelas ambos com uma capacitância de 60 μF são ligados em paralelo a uma bateria de 10 V Em seguida a distância entre as placas de um dos capacitores é reduzida à metade Quando essa modificação acontece a qual é a carga adicional transferida aos capacitores pela bateria b Qual é o aumento da carga total armazenada pelos capacitores a e b a bateria fornece 60 C para os capacitores que é o mesmo aumento de carga armazenada nos capacitores 13 Um capacitor de 100 pF é carregado com uma diferença de potencial de 50 V e a bateria usada para carregar o capacitor é desligada Em seguida o capacitor é ligado em paralelo com um segundo capacitor inicialmente descarregado Se a diferença de potencial entre as placas do primeiro capacitor cai para 35 V qual é a capacitância do segundo capacitor Resp 43 pF 14 Na Fig 2530 a bateria tem uma diferença de potencial V 100 V e os cinco capacitores têm uma capacitância de 100 μF cada um Determine a carga a do capacitor 1 e b do capacitor 2 Resp 100 μC 20 μC 19 Na Fig 2534 V 90 V C2 30 μF C4 40 μF e todos os capacitores estão inicialmente descarregados Quando a chave S é fechada uma carga total de 12 μC passa pelo ponto a e uma carga total de 80 μC passa pelo ponto b a Qual é o valor de C1 b Qual é o valor de C3 a C1 40 mF b C3 20 mF 22 Na Fig 2537 V 10 V C1 10 μF e C2 C3 20 μF A chave S é acionada para a esquerda e permanece nessa posição até o capacitor 1 atingir o equilíbrio em seguida a chave é acionada para a direita Quando o equilíbrio é novamente atingido qual é a carga do capacitor 1 Resp 20 μC 31 Um capacitor de 20 μF e um capacitor de 40 μF são ligados em paralelo a uma fonte com uma diferença de potencial de 300 V Calcule a energia total armazenada nos capacitores Resp 027 J Acrescentar Resolver o problema considerando que a ligação é em série 34 Na Fig 2528 uma diferença de potencial V 100 V é aplicada a um circuito de capacitores cujas capacitâncias são C1 100 μF C2 500 μF e C3 400 μF Determine a q3 b V3 c a energia U3 armazenada no capacitor 3 d q1 e V1 f a energia U1 armazenada no capacitor 1 g q2 h V2 e i a energia U2 armazenada no capacitor 2 Resp a 400 μC b 100 V c 20 mJ d 333 μC e 333 V f 555 mJ g 333 μC h 667 V i 111 mJ 37 Um capacitor de placas paralelas cujas placas têm área de 850 cm2 e estão separadas por uma distância de 300 mm é carregado por uma bateria de 600 V A bateria é desligada e a distância entre as placas do capacitor é aumentada sem descarregálo para 800 mm Determine a a diferença de potencial entre as placas b a energia armazenada pelo capacitor no estado inicial c a energia armazenada pelo capacitor no estado final e d a energia necessária para separar as placas a Vf 160 V b 451x1011 J c Uf 120x1010 J d W 752x1011 J 38 Na Fig 2529 uma diferença de potencial V 100 V é aplicada a um circuito de capacitores cujas capacitâncias são C1 100 μF C2 500 μF e C3 1500 μF Determine a q3 b V3 c a energia U3 armazenada no capacitor 3 d q1 e V1 f a energia U1 armazenada no capacitor 1 g q2 h V2 e i a energia U2 armazenada no capacitor 2 a 750x104 C b 500 V c 188x102 J d 500x104 C e 500 V f 125x102 J g 250x104 C h 500 V i 625x103 J 39 Na Fig 2545 C1 100 μF C2 200 μF e C3 250 μF Se nenhum dos capacitores pode suportar uma diferença de potencial de mais de 100 V sem que o dielétrico se rompa determine a a maior diferença de potencial que pode existir entre os pontos A e B e b a maior energia que pode ser armazenada no conjunto de três capacitores a V 190 V b 0095 J 57 Na Fig 2551 V 90 V C1 C2 30 μF e C3 C4 15 μF Qual é a carga do capacitor C4 Resp 45 μC Acrescentar Qual é a energia armazenada no capacitor C1