Algebra Linear e Aplicações - Sistemas Lineares

CENTRO UNIVERSITÁRIO FEI CURSO DE ENGENHARIA ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Sistemas Lineares Bibliografia Básica CALLIOLI C A DOMINGUES H COSTA R C F Álgebra linear e aplicações São Paulo Atual 2003 LORETO A C C SILVA A A LORETO JÚNIOR A P Álgebra linear e suas aplicações resumo teórico e exercícios São Paulo LCTE 2013 STEINBRUCH A WINTERLE P Álgebra Linear São Paulo Access Intelligence1987 Equação Linear sobre IR Dados um conjunto com n1 números reais conhecidos a1 a2 a3 an b e um conjunto com n números reais desconhecidos x1 x2 x3 xn com n 1 a equação a1 x1 a2 x2 a3 x3 an xn b é chamada de equação linear sobre o conjunto dos reais com incógnitas x1 x2 x3 xn coeficientes a1 a2 a3 an e termo independente b Equação Linear sobre IR Uma solução particular para a equação linear a1 x1 a2 x2 a3 x3 an xn b é uma nupla de números reais b1 b2 b3 bn tal que a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn b Exemplo 2 1 3 é uma solução particular para a equação x 2y 4z 12 Sistema de equações lineares Dadas m 1 equações lineares com n 1 incógnitas o conjunto S contendo todas essas equações é denominado sistema linear No exemplo acima a11 é o coeficiente angular da linha 1 e coluna 1 do sistema a21 é o coeficiente angular da linha 2 e coluna 1 do sistema e assim por diante m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a S 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 Sistema de equações lineares Uma solução particular para um sistema linear S é uma nupla de números reais s1 s2 sn tal que m n mn m m n n n n b s a s a s a b s a s a s a b s a s a s a S 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 Sistemas lineares homogêneos homogêneos São sistemas lineares em que todas as equações têm o termo independente nulo 0 0 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a S Uma solução particular para sistema lineares homogêneos é a nupla nula ou seja 0 00 0 chamada de solução trivial Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções Os sistemas lineares podem ser classificados quanto ao número de soluções em Sistemas compatíveis ou possíveis Determinados admitem apenas uma solução Indeterminados admitem infinitas soluções particulares Sistemas incompatíveis ou impossíveis Não admitem solução Sistemas lineares equivalentes Dois sistemas lineares S e S são equivalentes se apresentam a mesma solução Exemplo 3 5 2 3 10 4 2 y x y x S e y x y x S são sistemas equivalentes pois a dupla 1 2 é solução única para ambos os sistemas Visualização geométrica do exemplo anterior 3 5 2 3 10 4 2 y x y x S e y x y x S Transformação de um sistema linear em outro sistema equivalente Podese a partir de um sistema linear S determinar um sistema linear S equivalente a S efetuandose algumas operações elementares que são 1Permutação de equações do sistema Note que a simples troca das linhas em um sistema linear não modifica a solução do sistema Transformação de um sistema linear em outro sistema equivalente 2 Multiplicação de uma ou mais equações do sistema por um número real não nulo No exemplo dado do slide de sistemas equivalentes observe que a primeira e a segunda linhas do sistema S foram multiplicadas por 05 e por 1 respectivamente originando o sistema S Transformação de um sistema linear em outro sistema equivalente 3 Substituição de uma equação do sistema pela soma ou diferença dela com outra equação do mesmo sistema Nesse caso observe que o par ordenado 12 satisfaz ambas as equações dos sistemas S e S Transformação de um sistema linear em outro sistema equivalente Resumindo a partir de um sistema linear S podese determinar um sistema linear S equivalente a S efetuandose as seguintes operações elementares 1Permutação de equações do sistema 2 Multiplicação de uma ou mais equações do sistema por um número real não nulo 3 Substituição de uma equação do sistema pela soma ou diferença dela com outra equação do mesmo sistema Essas operações elementares podem ser aplicadas de forma combinada Sistemas lineares escalonados Um sistema linear S como o que é abaixo apresentado com a11 a22 a33 amn diferentes de zero é denominado de sistema escalonado m n mn n n n n n n b x a b x a x a b x a x a x a b x a x a x a x a S 3 3 3 33 2 2 3 23 2 22 1 1 3 13 2 12 1 11 Exemplos de Sistemas lineares escalonados 9 2 2 3 0 2 4 2 1 3 2 4 2 2 3 5 2 2 3 2 1 3 3 2 1 t t z t z y t z y x S z y z y x S z z y z y x S Resolução de um sistema por escalonamento Podemos escalonar um sistema utilizando as operações elementares para a transformação de um sistema linear S em sistemas lineares equivalentes No escalonamento de sistemas alguns preferem utilizar a notação de matrizes cujos elementos são os coeficientes e os termos independentes das equações do sistema Exemplo 1 de Resolução de um sistema por escalonamento sem a utilização de matrizes Resolvendose o sistema S temse z 1 y 1 e x 1 Logo o sistema proposto é possível e determinado Exemplo 1 de Resolução de um sistema por escalonamento utilizando matrizes Resolvendose o sistema S temse z 1 y 1 e x 1 Logo o sistema proposto é possível e determinado Exemplo 2 de Resolução de um sistema por escalonamento sem a utilização de matrizes Das segunda e primeira linhas de S temse respectivamente Logo o sistema proposto é possível e indeterminado com solução geral Exemplo 3 de Resolução de um sistema por escalonamento sem a utilização de matrizes Da terceira linha de S temse uma falsa igualdade Logo o sistema proposto é impossível Discussão de um Sistema Linear Considere um sistema linear escalonado com o número de linhas igual ao número de incógnitas nesse caso m n m n mn n n n n n n b x a b x a x a b x a x a x a b x a x a x a x a S 3 3 3 33 2 2 3 23 2 22 1 1 3 13 2 12 1 11 Discussão de um Sistema Linear A última linha do sistema escalonado pode ser representada por A xn B com A e B reais Isolando a incógnita temse Se A 0 o sistema é possível e determinado para qualquer valor de B Se A B 0 o sistema é possível e indeterminado Se A 0 e B 0 o sistema é impossível Discutindo um sistema linear Discutir o sistema abaixo em função de m real Se m 1 o sistema é impossível Se m 1 o sistema é possível e determinado O sistema nunca será indeterminado