Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt em Álgebra Linear

CENTRO UNIVERSITÁRIO FEI CURSO DE ENGENHARIA ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Processo de Ortogonalização de GramSchmidt Bibliografia Básica Álgebra Linear e suas aplicações Loreto Silva e Loreto Júnior LCTE Editora Álgebra Linear Boldrini et all Harper Row do Brasil Ortogonalização de uma base B 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 qualquer Processo de GramSchmidt O processo de ortogonalização GramSchmidt permite ortogonalizar um conjunto linearmente independente de vetores de um espaço vetorial munido de um produto interno Dado um conjunto de vetores finito e linearmente independente S 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 o objetivo é construir um conjunto S 𝑢1 𝑢2 𝑢𝑛 ortogonal que gere o mesmo subespaço vetorial gerado por S Para determinar o conjunto S 𝑢1 𝑢2 𝑢𝑛 pelo processo de ortogonalização de GramSchmidt utilizamos a seguinte estratégia sendo S 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 A Tomamos inicialmente 𝑢1 𝑣1 B Para obter os demais vetores de S calculamos sucessivamente 𝑢2 𝑣2 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑣2 𝑢3 𝑣3 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑣3 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢2𝑣3 𝑢𝑛 𝑣𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑣𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢2𝑣𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢𝑛1𝑣𝑛 𝑢1 𝑣1 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑣2 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑣2 𝑣2 𝑢2 Representação Geométrica no ℝ𝟐 ቊ 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑣2 ቐ 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑣2 𝑢3 𝑣3 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑣3 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢2𝑣3 Se o espaço vetorial for o ℝ𝟑 Ortonormalização de uma base A ortonormalização de uma base consiste em transformar seus vetores em vetores unitários Para tanto podese dividir cada vetor dessa base pela sua respectiva norma Exemplo 1 1 Seja V ℝ3 Dada a base S 𝑣1 111 𝑣2 101 𝑣3 112 ortogonalizar S utilizando o processo de GramSchmidt Resolução 𝑢1 𝑣1 111 𝑢2 𝑣2 𝑣2𝑢1 𝑢1𝑢1 𝑢1 101 101111 111111 111 1 3 2 3 1 3 𝑢3 𝑣3 𝑣3𝑢1 𝑢1𝑢1 𝑢1 𝑣3𝑢2 𝑢2𝑢2 𝑢2 112 112 111 111 111 111 112 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 3 2 0 3 2 Conclusão Base ortogonal S 111 1 3 2 3 1 3 3 2 0 3 2 Note que os vetores obtidos na base S 111 1 3 2 3 1 3 3 2 0 3 2 são ortogonais Caso seja solicitado para ortonormalizar esta base devese dividir cada vetor pela sua respectiva norma 2 Sendo 𝐴 𝑎1 1 1 1 0 𝑎2 1 0 1 0 𝑎3 1 1 2 0 uma base para determinado subespaço vetorial determine uma base ortogonal para esse subespaço levandose em consideração o produto interno usual ou seja 𝐴 𝐵 𝑇𝑟 𝐵𝑡𝐴 no espaço vetorial 𝑀𝑚𝑛 Exemplo 2 𝐴 𝑎1 1 1 1 0 𝑎2 1 0 1 0 𝑎3 1 1 2 0 Utilizandose o processo de GramSchmidt temse que uma base ortogonal será dada por ቐ 𝑢1 𝑎1 𝑢2 𝑎2 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑎2 𝑢3 𝑎3 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑎3 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢2𝑎3 𝑢1 𝑎1 1 1 1 0 Exemplo 2 Resolução Exemplo 2 Resolução 𝑢2 𝑎2 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑎2 𝑢2 1 0 1 0 𝑇𝑟 1 1 1 0 1 0 1 0 𝑇𝑟 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 2 3 1 1 1 0 1 3 2 3 1 3 0 Exemplo 2 Resolução 𝑢3 𝑎3 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢1𝑎3 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢2𝑎3 𝑢3 1 1 2 0 𝑇𝑟 1 1 1 0 1 1 2 0 𝑇𝑟 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 𝑇𝑟 1 3 1 3 2 3 0 1 1 2 0 𝑇𝑟 1 3 1 3 2 3 0 1 3 2 3 1 3 0 1 3 2 3 1 3 0 𝑢3 1 1 2 0 2 3 1 1 1 0 5 2 1 3 2 3 1 3 0 1 2 0 1 2 0 Exemplo 2 Resposta 𝐴 𝑢1 1 1 1 0 𝑢2 1 3 2 3 1 3 0 𝑢3 1 2 0 1 2 0 Aplicações do Processo de Ortogonalização de GramSchmidt São encontradas aplicações desse processo de ortogonalização em diversos ramos da matemática e da engenharia Regressão Linear Métodos dos mínimos quadrados Reconhecimento facial em tempo em tempo real Espectroscopia química química analítica Análise bioquímida dos constituintes em produtos alimentares Processadores ótimos de radar