Operações com Transformações Lineares e Matriz de uma Transformação Linear

CENTRO UNIVERSITÁRIO FEI CURSO DE ENGENHARIA ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Operações com Transformações Lineares e Matriz de uma Transformação Linear Bibliografia BásicaComplementar ANTON H RORRES I Álgebralinear com aplicações trad CIDoering 8 ed Porto Alegre Bookman 2001 CALLIOLI C A DOMINGUES H COSTA R C F Álgebra linear e aplicações São Paulo Atual 2003 LORETO A C C SILVA A A LORETO JÚNIOR A P Álgebra linear e suas aplicações resumo teórico e exercícios São Paulo LCTE 2013 KOLMAN B HILL DR Introdução à Álgebra Linear com Aplicações 8 ed Rio de Janeiro LTC Editora 2006 STEINBRUCH A WINTERLE P Álgebra Linear São Paulo Access Intelligence1987 Estabelecendo algumas notações Dados os espaços vetoriais V e W sobre IR denominamos LVW o conjunto contendo todas as transformações lineares com domínio em V e contradomínio em W No caso de V e W serem o mesmo conjunto a notação LV corresponde ao conjunto de todos os operadores lineares com domínio e contradomínio em V Operações com Transformações Lineares Adição de transformações lineares Dadas as transformações lineares F e G em LVW e v um elemento V a adição de F com G definida por F Gv Fv Gv é linear e tem as seguintes propriedades sendo H também um elemento de LVW A1 F G H F G H A2 F G G F A3 Existe 0 em LVW tal que F 0 F A4 Existe F em LVW tal que F F 0 Multiplicação de uma transformação linear por um escalar Dada a transformação linear F em LVW v um elemento V e um número real a multiplicação de por F definida por Fv Fv é linear e tem as seguintes propriedades sendo G também um elemento de LVW M1 12F 12F M2 1F G 1F 1G M3 1 2F 1F 2F M4 1F F Composição de transformações lineares Dados os espaços vetoriais U V e W o elemento u em U e as transformações lineares F UV sobrejetora e G VW a composição de F com G é a transformação linear G F U W definida por GFu GFu Composição de transformações lineares representação Importante observar que a definição requer que o domínio de G seja a imagem de F Isto é essencial para obter GFu Se F G e H são elementos de LU e existem as composições apresentadas então são válidas as seguintes propriedades C1 G F H G F H C2 I F F em que Iu u C3 G F H G F G H e F H G F G H G C4 F0 I F1 F F2 F F F3 F F F Composição de transformações lineares propriedades Exemplos Dadas as transformações lineares F G e H sobrejetoras elementos de LIR3 sendo Fxyz xyyzyz Gxyz xyzxzz e Hxyz zxy determine a 3F 2G b F G c F2 d H F G Resolução do item a 3F 2G Fxyz xyyzyz Gxyz xyzxzz 3F2Gxyz 3xyyzyz 2xyzxzz 3x3y2x2y2z 3y3z2x2z 3y3z2z x5y2z 2x3y5z 3y5z Resolução do item b F G Fxyz xyyzyz Gxyz xyzxzz FGxyz FGxyz Fxyzxzz Sabese que Fabc abbcbc Fazendo a xyz b xz e c z temos Fabc 2xy x x2z Logo F Gxyz 2xy x x2z Resolução do item c F2 Fxyz xyyzyz F2xyz FFxyz FFxyz Fxyyzyz Sabese que Fabc abbcbc Fazendo a xy b yz e c yz temos Fabc x2yz 2y 2z Logo F2xyz x2yz 2y 2z Resolução do item d H F G Fxyz xyyzyz Gxyz xyzxzz e Hxyz zxy HFGxyz HF Gxyz H2xz xy y Sabese que Habc c a b Fazendo a 2xz b xy e c y temos Habc y 2xz xy Logo HF Gxyz y 2xz xy Isomorfismo inverso por meio da composição de transformações No Cálculo 1 vimos que se g é a inversa de f então f g g f x sendo x a função identidade ou seja Ix x Podemos utilizar a mesma ideia sendo I a transformação linear identidade ou seja Iu u conforme veremos no exemplo a seguir Sabendo que F IR3 IR3 dada por Fxyz xxyxyz é um automorfismo determinar o automorfismo inverso F 1 Resolução Fixando G F 1 temos FG I FGxyz xyz FGxyz xyz FxGyGzG xyz xGxGyGxGyGzG xyz ቐ 𝑥𝐺 𝑥 𝑥𝐺 𝑦𝐺 𝑦 𝑦𝐺 𝑦 𝑥 𝑥𝐺 𝑦𝐺 𝑧𝐺 𝑧 𝑧𝐺 𝑧 𝑦 Isomorfismo inverso por meio da composição de transformações Logo Gxyz xyxzy F 1 Matriz de uma transformação linear Definição Sejam B u1 u2 un uma base para o espaço vetorial U de dimensão n e C v1 v2 vm uma base para o espaço vetorial V de dimensão m Dada a transformação linear F UV as imagens dos vetores da base B ou seja Fu1 Fu2 Fun podem ser escritas como combinações lineares dos vetores da base C ou seja Tomandose de forma transposta e ordenada os coeficientes das combinações lineares de Fu1 Fu2 Fun temse a matriz da transformação F UV da base B para a base C cuja notação é FBC Matriz de uma transformação linear definição Exemplos 1 Determine a matriz da transformação linear F IR2 IR2 dada por Fxy3xyx2y em relação às bases B10 01 e C11 23 Resolução 1º Calcular as imagens dos vetores da base B F10 3 1 e F01 1 2 2º Determinar na base C as combinações lineares das imagens encontradas no passo anterior 3 1 a11 b23 12 c11 d23 Resolvendose os sistemas temos 3 1 711 223 12 111 123 3º Montar a matriz solicitada Exemplos 2 Determine a matriz da transformação linear F IR2 IR2 dada por Fxy3xyx2y em relação às bases B12 21 e C10 01 Resolução 1º Calcular as imagens dos vetores da base B F12 1 3 e F21 5 0 2º Determinar na base C as combinações lineares das imagens encontradas no passo anterior 1 3 a10 b01 5 0 c10 d01 1 3 110 301 5 0 510 001 3º Montar a matriz solicitada Exemplo 3 Determine a matriz da transformação linear F IR2 IR2 dada por Fxy3xyx2y em relação às bases B C 10 01 Resolução F10 3 1 310 101 F01 1 2 110 201 Resposta Exemplo Sabendo que é a matriz da transformação linear F IR3IR2 em relação às bases B 111011001 e C 1121 determinar a lei de F Resolução 1º Determinase as imagens dos vetores de B pelas combinações lineares de C cujos coeficientes são identificados na matriz F111 111 321 74 F011 111 221 31 F001 311 121 54 2º Como B 111011001 é uma base para IR3 escrevemos o vetor genérico de IR3 como combinação linear de B xyz 111 011 001 xyz x111yx0112xyz001 3º Aplicamse F em ambos os membros e a definição de transformação linear Fxyz xF111yxF0112xyzF001 Fxyz x74 yx31 2xyz54 Fxyz 14x2y5z 11x3y4z Exemplo Sendo T P2IRP2IR uma transformação linear dada por Tpx 12xpx onde px é a primeira derivada de px determinar a matriz de T em relação a base canônica B 1 x x2 Resolução T1 12x0 0 01 0x 0x2 Tx 12x1 12x 11 2x 0x2 Tx2 12x2x 2x 4x2 01 2x 4x2 Resposta Proposição Se B u1 u2 un é uma base para o espaço vetorial U C v1 v2 vm é uma base para o espaço vetorial V D w1 w2 wp é uma base para o espaço vetorial W e FBC e GCD são matrizes das transformações lineares F UV e G VW respectivamente então a matriz da composição GF UW é dada pelo produto das matrizes GCD e FBC nessa ordem Exemplo Com base na proposição apresentada vamos resolver o exemplo b do slide 9 utilizando as matrizes das transformações lineares envolvidas ou seja dadas as transformações lineares F e G de LIR3 dadas por Fxyz xyyzyz e Gxyz xyzxzz determinar F G na base canônica B 100010001 Resolução Matrizes das Transformações Utilizandose a proposição temse Da matriz produto acima temse F Gxyz 2x y x x 2z