Definições e Exemplos sobre Combinação Linear e Subespaços Vetoriais

CENTRO UNIVERSITÁRIO FEI CURSO DE ENGENHARIA ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Combinação Linear Espaços Vetoriais Finitamente Gerados Sistema de Geradores Bibliografia Básica CALLIOLI C A DOMINGUES H COSTA R C F Álgebra linear e aplicações São Paulo Atual 2003 LORETO A C C SILVA A A LORETO JÚNIOR A P Álgebra linear e suas aplicações resumo teórico e exercícios São Paulo LCTE 2013 STEINBRUCH A WINTERLE P Álgebra Linear São Paulo Access Intelligence1987 Definição Combinação Linear Dado um Espaço Vetorial V sobre IR seja C c1 c2 c3 cn um subconjunto finito de V ou seja C V com n vetores O vetor v V é uma Combinação Linear dos vetores do subconjunto C se existem os escalares reais a1 a2 a3 an tais que v a1c1 a2c2 a3c3 ancn Exemplos O vetor v 2 16 3 é uma combinação linear dos vetores do subconjunto C IR3 em que C 1 2 3 0 4 1 pois 2 16 3 21 2 3 30 4 1 O vetor v t2 4t 17 é uma combinação linear dos vetores do subconjunto de C P2IR em que C t2 5 t 3 pois t2 4t 17 1t2 5 4t 3 Exemplos Exercício 73 do livro Álgebra Linear e suas aplicações Sendo V P3IR determinar os valores de m IRpara que o polinômio px2xmx2x3 seja combinação linear dos polinômios qx1xx2 rx12xx2x3 e sx 1xx2x3 Exemplos Resolução Tomando e reais temos px qx rx sx 2xmx2x3 1xx2 12xx2x3 1xx2x3 2xmx2x3 xx2 2xx2x3xx2x3 2xmx2x3 2xx2 x3 2 𝛼 𝛽 𝛾 1 𝛼 2𝛽 𝛾 𝑚 𝛼 𝛽 𝛾 1 𝛽 𝛾 Resolvendose o sistema temse que m 2 Definição Subespaços Vetoriais Finitamente Gerados Seja V um Espaço Vetorial sobre IR e C c1 c2 c3 cn um subconjunto finito de V Ao conjunto de todas as possíveis combinações lineares com os vetores de C damos o nome de Subespaço Vetorial Finitamente Gerado por C e o indicamos por C v a1c1 a2c2 ancn a1 a2 an reais Nesse caso os vetores de C são chamados de sistema de geradores de C e poderão ser representados por c1 c2 c3 cn Exemplos Determinar os subespaços vetoriais finitamente gerados por 1 C IR3 1 1 1 Resposta C xyz 111 IR 2 W P2IR 1 t2 t21 Resposta W abtct2 1t2t21 2tt2 IR Exemplos Determinar a equação geral do subespaço vetorial finitamente gerado pelos vetores do subconjunto C IR3 031 503 Resolução C xyz 031503 533 IR Logo ቐ 𝑥 5𝛽 𝑦 3𝛼 𝑧 𝛼 3𝛽 Resolvendose o sistema temse 9x5y15z0 Resposta C xyz 9x5y15z0 Exemplos Determinar o sistema de geradores do subespaço vetorial S xyz x2y5z0 Resolução x2y5z0 x 2y5z Logo S 2y5zyz2yy05z0zy210z501 y z IR Resposta S 210501