Espaços e Subespaços Vetoriais: Aplicações na Engenharia

CENTRO UNIVERSITÁRIO FEI CURSO DE ENGENHARIA ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Espaços e Subespaços Vetoriais Bibliografia Básica CALLIOLI C A DOMINGUES H COSTA R C F Álgebra linear e aplicações São Paulo Atual 2003 LORETO A C C SILVA A A LORETO JÚNIOR A P Álgebra linear e suas aplicações resumo teórico e exercícios São Paulo LCTE 2013 STEINBRUCH A WINTERLE P Álgebra Linear São Paulo Access Intelligence1987 Sistema de controle de inclinação para ônibus espaciais Fonte Álgebra Linear e suas Aplicações Lay Rio de Janeiro LTC 2018 A figura representa um sistema fechado de realimentação que controla a inclinação de um ônibus espacial durante o voo Uma aplicação da Álgebra Linear Uma aplicação da Álgebra Linear Todo ônibus espacial é uma aeronave instável e requer constante monitoramento por computador durante um voo Nesse caso o sistema de controle de voo envia uma sequência de comandos para controlar de modo aerodinâmico os jatos de propulsão da aeronave Na figura os símbolos de junção indicam os locais em que os sinais dos diversos sensores são juntados aos sinais do computador que após combinados indicam a sequência de comandos para o controle aerodinâmico do ônibus espacial Álgebra Linear e suas Aplicações Lay Rio de Janeiro LTC 2018 p153 Sistema de controle de inclinação para ônibus espaciais Fonte Álgebra Linear e suas Aplicações Lay Rio de Janeiro LTC 2018 p153 Junção locais onde os sinais de diversos sensores são juntados ao sinais do computador da aeronave que após combinados envia uma sequência de comandos para controlar os jatos de propulsão da aeronave Matematicamente os sinais dos sensores e dos computadores são funções e as combinações entre esses sinais são baseadas em operações de adição entre si ou de multiplicação por escalares que têm propriedades algébricas análogas às operações de adição de vetores e de multiplicação de vetores por escalar Dessa forma o conjunto de todos os possíveis sinais dos sensores e dos computadores de um ônibus espacial assim como todo conjunto de entrada e saída de um sistema de engenharia com características idênticas é matematicamente denominado de Espaço Vetorial Álgebra Linear e suas Aplicações Lay Rio de Janeiro LTC 2018 p153 Definição Um Espaço Vetorial é um conjunto V não vazio de objetos denominado vetores sobre os quais estão definidas duas operações chamadas adição e multiplicação por escalar números reais ou complexos que obedecem a 8 axiomas Axiomas da adição Sejam u v e w elementos de V A1 u v v u A2 u v w u v w A3 Existe um vetor nulo 0 em V tal que u 0 u A4 Para cada u em V existe um vetor u tal que u u 0 Axiomas da multiplicação por escalar Sejam u e v elementos de V e e escalares M1 u u M2 u v u v M3 u u u M4 1u u Proposições sobre Espaços Vetoriais Se V é um espaço vetorial e é um escalar então 0 0 0u 0 para qualquer u elemento de V u 0 somente quando 0 ou u 0 u u u para qualquer u em V u v u v para quaisquer u e v em V u u u para qualquer u em V Exemplos clássicos de Espaços Vetoriais O conjunto IRnúmeros reais O conjunto IR2 plano O conjunto IR3 espaço O conjunto das matrizes MIR mn matrizes com m linhas e n colunas O conjunto dos polinômios PnIR polinômios de grau menor ou igual a n todos com as operações de adição e multiplicação por escalar tradicionais Definição Dado um Espaço Vetorial V seja S um subconjunto de V ou seja S V S será um Subespaço Vetorial de V se e somente se 1 O elemento neutro 0 de V pertencer a S 2 A soma de dois vetores quaisquer de S pertencer a S 3 O produto de um vetor qualquer de S por um escalar real ou complexo pertencer a S Nos casos 2 e 3 dizemos que S é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar respectivamente Exemplo O plano x0y S u x y 0 IR3 com as operações adição e multiplicação por escalar tradicionais é um subespaço vetorial do espaço vetorial IR3 pois 0 0 0 0 S u1 x1 y1 0 u2 x2 y2 0 u1 u2 x1x2 y1y2 0 S u1 x1 y1 0 S para qualquer real Visualização do exemplo dado Plano x0y Observação Se S é um Subespaço Vetorial de V então S é também um espaço vetorial ou seja são válidos os 8 axiomas 4 da adição e 4 da multiplicação por escalar que fazem parte da definição de um Espaço Vetorial No exemplo dado podese rapidamente demonstrar a validade dos 8 axiomas em questão