P2 Algebra Linear 2017 1

centro universitário FEI Nº SEQUENCIAL Nº DISC.: NºNA3220 - A.L. P2 A - 1ºsem. 2017/noturno DATA: 29/05/2017 HORAS: 19h20 NOME: GABARITO A/B ASS.: TURMA (Nº): PROF.\nInstruções Gerais: TEMPO DE PROVA: 80 minutos. PROVA SEM CONSULTA E SEM CALCULADORA. Resolver cada questão no espaço reservado. A interpretação faz parte da prova. O critério de correção e atribuição exclusiva da coodernada. Resposta destacada, a caneta. Importante: colocar número da turma e colocar número de matrícula legível.\n1ªQUESTÃO: (2,0 pontos) - Seja F : R² → R² linear cuja matriz em relação à base canônica é \\begin{pmatrix} -2 & 1 \\\\ -1 & -3 \\end{pmatrix} e FoG : R² → R² também linear, cuja matriz em relação à base canônica é \\begin{pmatrix} 1 & -4 \\\\ 1 & 2 \\end{pmatrix}.\nDeterminar a lei da função G^{-1} e não matriz de G^{-1}. 2ª QUESTÃO: (2,0 pontos) – Sabendo que F(1,0,1) = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ -1 & 1 \\\\ \\end{pmatrix}, F(0,1,-1) = \\begin{pmatrix} 0 & -1 \\\\ 3 & 2 \\\\ \\end{pmatrix} e que F(1,2,0) = \\begin{pmatrix} -1 & 1 \\\\ 0 & -2 \\\\ \\end{pmatrix}. determinar:\nA) Lei da transformação linear F: R³ → M₂x₂(R) (1,0 ponto)\nF (x,y,z) = B \\left( \\begin{pmatrix} (1,0,1),(0,1,1),(1,2,0) & \\begin{pmatrix} 1 \\end{pmatrix} & R^{3} \\right)\nF (x,y,z) = \\begin{pmatrix} 3x - 2y - z \\\\ -3x + 1y + 3z \\\\ (4x - 2y - 5z) + (8x - 5y - 7z) \\end{pmatrix}\n\nB) Uma base do Núcleo da F. (1,0 ponto)\nF (x,y,z) = \\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix} + B \\left( 3x - 2y - 2z \\right) + (3x - 2y - 2z) \\to \\{ x = 0; y = 0 \\}\nNuc(F) = \\{ (0,0,0) \\} \\{ \\text{BASE NUL(F)} = \\emptyset \\} 3ª QUESTÃO: (3,0 PONTOS)\nI) Seja V=R³ espaço vetorial euclidiano munido da norma usual. Sejam a, b e c vetores do R³ satisfazendo as seguintes condições: a e b são ortogonais; o vetor c forma um ângulo de 60° com o vetor a e o vetor b. Sabendo que ||a|| = 3, ||b|| = 2, calcular |a+b+c| (2,0 pontos)\n\nII) Dadas as transformações lineares T, S: R³ → R³ tais que T(x,y,z) = {x-2y+z,y,z,x+y+z} e S(x,y,z) = {x,y,z}, determinar a imagem do vetor u = (-1,1,4) sob a composta S◦T. (1,0 ponto) 4ª QUESTÃO: (3,0 pontos – cada item vale 1,5 pontos)\nI) Seja G: R³ → R³ um operador linear cuja matriz em relação à base canônica é M = \n [2 1 2]\n [1 1 3]\n\nSabendo que λ=1 é um valor próprio, determinar os outros valores próprios associados.\n\nA - λI₃ = \n (2 - λ 1 2)\n (1 2 - λ 2)\n (1 1 3 - λ)\n\nP(λ) = det(A - λI₃) = \n =\n [2 - λ 1 2] \n [1 2 - λ 2] \n [1 1 3 - λ] \n\nP(λ) = (2 - λ)(3 - λ) + 2 + 2(2 - λ) - (2 - λ)(3 - λ)\n\n= (2 - λ)²(3 - λ) + 4 - 2(2 - λ) + 2(2 - λ) - (3 - λ)(2 - λ)\n\n(2 - λ)² = 0 => λ = 2 é uma raiz.\n\nΔ = 36 - 20 = 16\n\nobs: (λ - 1)(λ - 5)(λ + 1) = 0 => λ³ - 7λ² + 11λ - 5 = 0\n\n(B) Dadas as matrizes no espaço vetorial M₂₂(R), A = \n [2 -1]\n [0 3] \ne B = \n [m -1]\n [0 3] determinar m ∈ R.\n\npara que ||B|| = ||A|| = ||A|| = \\sqrt{<M,N>} = Tr(N^T M) \n\nii ||B||² = ||<B, B>|| = ||T₂(B*)||;\n\n||A|| = ||<A, A>|| = ||T₂(A^T A)|| = ||<A, A>|| = ||T₂(A^T A)|| =\n\n||T₂(A^T A)|| = 15\n\n|| ||B||² = ||A|| => ||m 2|| → √15 = √45 => m² + 15\n\nm² = ||m|| => m = ±√5