Ondas Eletromagnéticas e Radiação de Corpo Negro - Lista de Exercícios Resolvida

Questão 4 Incompleto Vale 300 pontos Atenção Apresente as repostas com 3 algarismos significativos Use o ponto para separar os decimais ou sua resposta será considerada errada Para valores muito grandes ou muito pequenos use as notações se a resposta correta for por exemplo 1234567890987 digite apenas 123E9 se a resposta correta for por exemplo 000000987654321 digite apenas 988E6 Questão A temperatura de um objeto que pode ser considerado um corpo negro ideal é 1320 ºC Suponha que o objeto muito pequeno tenha a forma de um pequeno cubo de aresta 026 cm Suponha ainda que este objeto está emitindo radiação através de toda a sua superfície Pedemse no SI 1 Qual é o comprimento de onda correspondente ao máxima da distribuição da radiação emitida pelo objeto Obs Digite a resposta com 3 algarismos significativos e use o ponto para separar os decimais ou sua resposta será considerada incorreta λmax m 2 Qual é a potência total irradiada por esse objeto Obs Digite a resposta com 3 algarismos significativos e use o ponto para separar os decimais ou sua resposta será considerada incorreta P W Questão 1 Incompleto Vale 100 pontos Uma onda eletromagnética pode ser descrita pelos campos elétrico e magnético a seguir E Ej B Bi Qual é a direção e o sentido da propagação da onda Escolha uma opção y x z z x y Questão 2 Incompleto Vale 200 pontos Nesta questão ao apresentar os resultados use o ponto para separar os decimais Quando não houver nenhuma instrução apresente as respostas com 3 algarismos significativos Para números muito grandes ou muito pequenos utilize a notação Se a resposta correta for por exemplo 123456 x 101⁰ digite 123E10 e Se a resposta correta for por exemplo 45678 x 1010 digite 457E10 Digite apenas o valor numérico de acordo com a unidade indicada Portanto não digite a unidade Um laser de dióxido de carbono emite ondas eletromagnéticas senoidais que se propagam no vácuo no sentido positivo do eixo Oz O comprimento de onda é igual a 106 μm o campo E é antiparalelo ao eixo Ox e seu módulo máximo é igual a 72 MVm Escreva as equações para E e para B em função do tempo e da posição OBS Escreva a resposta no formato E r Em cos ks ωt Note que s deve ser substituído por x y ou z e r por i j ou k E MVm cos radm radst B cos mT radm radst Questão 3 Incompleto Vale 300 pontos Atenção Apresente as respostas com 3 algarismos científicos e não digite as unidades Utilize notação científica para respostas nas quais os valores são muito grandes ou muitos pequenos Se por exemplo a resposta correta for 123456789000 digite apenas 123E7 e Se por exemplo a resposta correta for 000009876543 digite apenas 988E5 Utilize o ponto para separar os decimais ou sua resposta poderá ser considerada incorreta Questão Luz proveniente de uma fonte pontual e isotrópica que emite radiação apenas para a região a sua frente incide em uma pastilha metálica cilíndrica muito pequena de diâmetro 595 mm e altura 4 mm A pastilha se encontra a 17 cm da fonte de luz e sua superfície pode ser considerada como perfeitamente absorvedora Suponha que o valor máximo do campo magnético da onda que atinge a base da pastilha 901x10⁶ T Caso necessário utilize g 10 ms² Pedemse no SI 1 Determine a potência com que a fonte está emitindo radiação Resposta W 2 Calcule a pressão exercida pela radiação sobre a pastilha Resposta Pa 3 Supondo que esta luz seja utilizada como pinça óptica para aprisionar a pastilha qual seria sua massa Neste caso a força peso seria equilibrada pela força exercida pela radiação Resposta kg Uma onda eletromagnética se propaga na direção perpendicular tanto ao campo elétrico 𝐸 quanto ao campo magnético 𝐵 A direção e o sentido de propagação da onda são dados pelo produto vetorial entre 𝐸 e 𝐵 Usando determinantes podemos descrever o produto vetorial como 𝐸 𝐵 det 𝐢 𝐣 𝐤 0 𝐸 0 𝐵 0 0 Expansão usando cofatores 𝐸 𝐵 𝐸 0 0 0𝐢 0 0𝐵 0𝐣 0 0 𝐸 𝐵𝐤 Isso simplifica para 𝐸 𝐵 𝐸𝐵 𝐤 Portanto a onda eletromagnética se propaga na direção negativa do eixo z 𝐤 Alternativa correta 𝑧 Dadas as informações A onda propagase no sentido positivo do eixo 𝑂𝑧 𝐸 é antiparalelo ao eixo 𝑂𝑥 com módulo máximo 𝐸𝑚 72 MVm O comprimento de onda 𝜆 106𝜇m Primeiro podemos encontrar a frequência angular 𝜔 e o número de onda 𝑘 a partir das informações fornecidas A velocidade de propagação de uma onda eletromagnética no vácuo é a velocidade da luz 𝑐 3 108 ms A frequência 𝑓 da onda é dada por 𝑓 𝑐 𝜆 E a frequência angular 𝜔 é 𝜔 2𝜋𝑓 O número de onda 𝑘 é dado por 𝑘 2𝜋 𝜆 Primeiro calculemos o 𝑘 𝑘 2𝜋 106 106 m 𝑘 592 105 radm Agora 𝜔 𝜔 2𝜋𝑐 106 106 m 𝜔 177 1015 rads Agora a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética no vácuo é 𝐸𝑚 𝑐𝐵𝑚 𝐵𝑚 𝐸𝑚 𝑐 𝐵𝑚 72 106 Vm 3 108 ms 𝐵𝑚 24 103 T 𝐵𝑚 24 mT Agora vamos escrever as equações para 𝐸 e 𝐵 Como 𝐸 é antiparalelo ao eixo 𝑂𝑥 seu vetor direção é 𝐢 E dado que a onda se propaga no sentido positivo do eixo 𝑂𝑧 𝐸 𝑧 𝑡 𝐸𝑚 cos𝑘𝑧 𝜔𝑡 𝐢 Para o campo magnético 𝐵 sabemos que ele deve ser perpendicular a 𝐸 e na direção de 𝑂𝑦 devido à direção de propagação da onda usando a regra da mão direita Portanto 𝐵 é antiparalelo ao eixo 𝑂𝑦 𝐵 𝑧 𝑡 𝐵𝑚 cos𝑘𝑧 𝜔𝑡 𝐣 Estas são as equações para os campos elétrico e magnético em função do tempo e posição Quadro de respostas 𝐸 720 𝑀𝑉 𝑚 𝑖 cos 592𝐸5 𝑟𝑎𝑑 𝑚 𝑧 177𝐸15 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑡 𝐵 240 𝑚𝑇𝑗 cos 592𝐸5 𝑟𝑎𝑑 𝑚 𝑧 177𝐸15 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑡 Vamos começar encontrando a área de incidência na pastilha Dado que a pastilha é cilíndrica com diâmetro 𝑑 595 mm 595 103 m e altura não relevante para a questão pois estamos considerando a incidência apenas sobre a base da pastilha a área da base da pastilha 𝐴𝑝 é 𝐴𝑝 𝜋 𝑑 2 2 𝐴𝑝 𝜋2975 103 m2 𝐴𝑝 278 105 m2 A fonte emite radiação para a região à sua frente Considerando a fonte como pontual a radiação que atinge a pastilha faz parte de um hemisfério de raio 𝑟 17 cm 017 m A área superficial desse hemisfério 𝐴ℎ é 𝐴ℎ 2𝜋𝑟2 𝐴ℎ 2𝜋017 m2 𝐴ℎ 0182 m2 A proporção da radiação emitida pela fonte que atinge a pastilha é 𝐴𝑝 𝐴ℎ A relação entre o campo elétrico 𝐸 e o campo magnético 𝐵 em uma onda eletromagnética é dada por 𝑐 𝐸 𝐵 onde 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo 𝑐 3 108 ms O valor máximo da intensidade potência por unidade de área 𝐼 de uma onda eletromagnética plana é dada por 𝐼 1 2 𝑐𝜖0E2 onde 𝜖0 é a permissividade elétrica do vácuo 𝜖0 885 1012 Fm Dada a relação acima podemos substituir 𝐸 por 𝑐𝐵 𝐼 1 2 𝑐𝜖0𝑐𝐵2 𝐼 1 2 3 108 ms 885 1012 Fm 3 108 ms 901 106 T2 𝐼 969899 Wm2 Agora para determinar a potência total 𝑃 emitida pela fonte 𝑃 𝐼𝐴ℎ E a potência 𝑃𝑝 que atinge a pastilha é 𝑃𝑝 𝐼𝐴𝑝 Dada a proporção de radiação que atinge a pastilha 𝑃 𝑃𝑝 𝐴𝑝𝐴ℎ 𝑃 969899 Wm2 278 105 m2 278 105 m20181 m2 𝑃 176118 W Assim a potência com que a fonte está emitindo radiação é aproximadamente 176118 W A pressão de radiação 𝑃𝑟 é dada por 𝑃𝑟 𝐼 𝑐 para uma superfície que é perfeitamente absorvedora Dado que já calculamos a intensidade 𝐼 da onda eletromagnética 𝐼 969899 Wm2 E a velocidade da luz 𝑐 3 108 ms a pressão 𝑃𝑟 é 𝑃𝑟 969899 Wm2 3 108 ms 𝑃𝑟 323 105 Pa Assim a pressão exercida pela radiação sobre a pastilha é 323 105 Pa Para que a pastilha seja mantida em equilíbrio pela pinça óptica a força de radiação deve equilibrar a força peso da pastilha A força de radiação é a pressão de radiação multiplicada pela área da pastilha A força peso é a massa da pastilha multiplicada pela aceleração da gravidade g Força de radiação 𝐹𝑟 𝐹𝑟 𝑃𝑟𝐴𝑝 𝐹𝑟 323 105 Pa 278 105 m2 𝐹𝑟 899 1010 N Força peso 𝐹𝑝 𝐹𝑝 𝑚𝑔 onde 𝑔 10 ms2 Dado que 𝐹𝑟 𝐹𝑝 𝑚𝑔 899 1010 N Agora para encontrar a massa 𝑚 𝑚 899 1010 N 10 ms2 𝑚 899 1011 kg Assim a massa da pastilha seria aproximadamente 899 1011 kg para que ela seja mantida em equilíbrio pela pinça óptica Quadro de respostas 1 176𝐸3 2 323𝐸 5 3 899𝐸 11 Um objeto que pode ser considerado um corpo negro ideal está a uma temperatura de 1320 C Supomos que o objeto muito pequeno tenha a forma de um pequeno cubo e que esteja emitindo radiação através de toda a sua superfície Para determinar o comprimento de onda no qual a emissão é máxima para um corpo negro utilizamos a Lei de Wien 𝜆𝑚𝑎𝑥 𝑏 𝑇 onde 𝜆𝑚𝑎𝑥 é o comprimento de onda no qual a emissão é máxima 𝑏 é a constante de Wien cujo valor é 𝑏 2898 103 m K 𝑇 é a temperatura do corpo negro em kelvins A temperatura dada é 𝑇 1320 C Convertendo para Kelvin 𝑇 1320 27315 159315 K Usando a Lei de Wien 𝜆𝑚𝑎𝑥 182 106 m A potência total irradiada por um corpo negro é dada pela Lei de StefanBoltzmann 𝑃 𝜎𝐴𝑇4 onde 𝑃 é a potência total irradiada 𝜎 é a constante de StefanBoltzmann 𝜎 567 108 Wm2 K4 𝐴 é a área superficial do corpo 𝑇 é a temperatura do corpo negro em kelvins O objeto tem a forma de um cubo com aresta 026 cm 26 103 m A área superficial 𝐴 do cubo é 𝐴 6 aresta2 𝐴 4056 105 m2 Usando a Lei de StefanBoltzmann 𝑃 14815 W Quadro de respostas 1 182E 6 2 148 Uma onda eletromagnética se propaga na direção perpendicular tanto ao campo elétrico E quanto ao campo magnético B A direção e o sentido de propagação da onda são dados pelo produto vetorial entre E e B Usando determinantes podemos descrever o produto vetorial como EBdet i j k 0 E 0 B 0 0 Expansão usando cofatores EBE000i00B0 j00EB k Isso simplifica para EBEB k Portanto a onda eletromagnética se propaga na direção negativa do eixo z k Alternativa correta z Dadas as informações A onda propagase no sentido positivo do eixo Oz E é antiparalelo ao eixo Ox com módulo máximo Em72 MV m O comprimento de onda λ106 μm Primeiro podemos encontrar a frequência angular ω e o número de onda k a partir das informações fornecidas A velocidade de propagação de uma onda eletromagnética no vácuo é a velocidade da luz c310 8 m s A frequência f da onda é dada por f c λ E a frequência angular ω é ω2πf O número de onda k é dado por k2π λ Primeiro calculemos o k k 2π 10610 6 m k 59210 5 radm Agora ω ω 2πc 10610 6 m ω17710 15 rads Agora a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética no vácuo é Emc Bm BmEm c Bm7210 6 V m 310 8 m s Bm2410 3 T Bm24 mT Agora vamos escrever as equações para E e B Como E é antiparalelo ao eixo Ox seu vetor direção é i E dado que a onda se propaga no sentido positivo do eixo Oz E z t Emcos kzωt i Para o campo magnético B sabemos que ele deve ser perpendicular a E e na direção de Oy devido à direção de propagação da onda usando a regra da mão direita Portanto B é antiparalelo ao eixo Oy B z t Bmcoskzωt j Estas são as equações para os campos elétrico e magnético em função do tempo e posição Quadro de respostas E720 MV m i cos592E5 rad m z177E15 rad s t B240mT jcos592E5 rad m z177E15 rad s t Vamos começar encontrando a área de incidência na pastilha Dado que a pastilha é cilíndrica com diâmetro d595mm59510 3m e altura não relevante para a questão pois estamos considerando a incidência apenas sobre a base da pastilha a área da base da pastilha Ap é Apπ d 2 2 Apπ 297510 3m 2 Ap27810 5m 2 A fonte emite radiação para a região à sua frente Considerando a fonte como pontual a radiação que atinge a pastilha faz parte de um hemisfério de raio r17cm017 m A área superficial desse hemisfério Ah é Ah2π r 2 Ah2π 017m 2 Ah0182m 2 A proporção da radiação emitida pela fonte que atinge a pastilha é A p Ah A relação entre o campo elétrico E e o campo magnético B em uma onda eletromagnética é dada por c E B onde c é a velocidade da luz no vácuo c 310 8m s O valor máximo da intensidade potência por unidade de área I de uma onda eletromagnética plana é dada por I1 2 c ϵ 0E 2 onde ϵ 0 é a permissividade elétrica do vácuo ϵ 088510 12F m Dada a relação acima podemos substituir E por cB I1 2 c ϵ 0cB 2 I 1 2 310 8m s88510 12F m 310 8m s90110 6T 2 I 969899 W m 2 Agora para determinar a potência total P emitida pela fonte PI Ah E a potência Pp que atinge a pastilha é PpI A p Dada a proporção de radiação que atinge a pastilha P Pp Ap Ah P969899 W m 227810 5m 2 27810 5m 2 0181m 2 P176118W Assim a potência com que a fonte está emitindo radiação é aproximadamente 176118 W A pressão de radiação Pr é dada por PrI c para uma superfície que é perfeitamente absorvedora Dado que já calculamos a intensidade I da onda eletromagnética I 969899 W m 2 E a velocidade da luz c 310 8m s a pressão Pr é Pr 969899W m 2 310 8m s Pr32310 5Pa Assim a pressão exercida pela radiação sobre a pastilha é 32310 5Pa Para que a pastilha seja mantida em equilíbrio pela pinça óptica a força de radiação deve equilibrar a força peso da pastilha A força de radiação é a pressão de radiação multiplicada pela área da pastilha A força peso é a massa da pastilha multiplicada pela aceleração da gravidade g Força de radiação Fr FrPr A p Fr32310 5Pa27810 5m 2 Fr89910 10N Força peso F p F pmg onde g10 m s 2 Dado que FrF p mg89910 10 N Agora para encontrar a massa m m89910 10N 10m s 2 m 89910 11kg Assim a massa da pastilha seria aproximadamente 89910 11kg para que ela seja mantida em equilíbrio pela pinça óptica Quadro de respostas 1 176E3 2 323E5 3 899E11 Um objeto que pode ser considerado um corpo negro ideal está a uma temperatura de 1320 C Supomos que o objeto muito pequeno tenha a forma de um pequeno cubo e que esteja emitindo radiação através de toda a sua superfície Para determinar o comprimento de onda no qual a emissão é máxima para um corpo negro utilizamos a Lei de Wien λmax b T onde λmax é o comprimento de onda no qual a emissão é máxima b é a constante de Wien cujo valor é b289810 3m K T é a temperatura do corpo negro em kelvins A temperatura dada é T1320C Convertendo para Kelvin T132027315159315K Usando a Lei de Wien λmax18210 6m A potência total irradiada por um corpo negro é dada pela Lei de StefanBoltzmann Pσ AT 4 onde P é a potência total irradiada σ é a constante de StefanBoltzmann σ 56710 8W m 2 K 4 A é a área superficial do corpo T é a temperatura do corpo negro em kelvins O objeto tem a forma de um cubo com aresta 026cm2610 3m A área superficial A do cubo é A6aresta 2 A405610 5m 2 Usando a Lei de StefanBoltzmann P14815W Quadro de respostas 1 182E6 2 148