Econometria - Teoria da Correlacao e Regressao Linear Simples

Autoria José Tadeu de Almeida Revisão técnica Jorge Lisandro Maia Ussan Econometria UNIDADE 2 TEORIA DA CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 123 Caroa estudante você sabe como podemos entender as relações de associação entre as variáveis Como calcular o coeficiente de correlação E quais as características e os métodos de elaboração de uma regressão linear simples Para responder a essas e outras perguntas nesta unidade aprofundaremos nossos estudos sobre os processos de construção de modelos de regressão linear simples operacionalizando a relação existente entre uma variável independente e uma variável dependente A partir de conceitos da estatística descritiva como o coeficiente de correlação de Pearson ampliaremos nossos conhecimentos sobre a relação e a articulação entre variáveis Esse coeficiente apresenta algumas limitações importantes mas que podem ser em boa medida superadas pelos métodos de regressão linear Por isso é fundamental compreender bem os processos de construção da regressão visando entender desse modo a metodologia de estimação de valores previstos e residuais nesse modelo Para atingir nossos objetivos no decorrer desta unidade aliaremos teoria à prática construindo nuvens de pontos reais e estimados e gerando retas ajustadas de forma compatível com o modelo de regressão cujas características e hipóteses determinam os processos de estimação Esses processos como sabemos são fundamentais para a inferência estatística Com isso consolidaremos nossos conhecimentos sobre a previsão do comportamento de algumas variáveis permitindo estimar variações futuras e sobre o comportamento previsível de elementos econômicos e sociais de acordo com os interesses de pesquisa Bons estudos Introdução 21 Correlação linear Nesta seção recordaremos alguns elementos de estatística descritiva que enfatizam o grau de associação entre variáveis Utilizando conceitos relacionados à correlação linear e à covariância tornase possível verificar de que modo a trajetória isto é a variação de uma variável dependente é capaz de ser afetada pelo desenvolvimento de uma variável independente 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 223 Nessa linha de raciocínio compreenderemos as aplicações práticas dessa associação entre variáveis recorrendo em particular ao coeficiente de correlação o qual exibe por meio de um valor real e compreendido em um determinado intervalo o grau de associação entre variáveis Acompanhe 211 Coeficiente de correlação linear A criação de uma base de dados por meio de um levantamento estatístico e de procedimentos de coleta baseados em amostragem aleatória pode viabilizar a observação de dados relativos a diferentes variáveis que se relacionam entre si Essa situação é particularmente comum em análises bidimensionais em que duas variáveis se associam em maior ou menor intensidade MAIA 2017 Um exemplo de análise bidimensional ocorre quando um professor procura associar individualmente o número de exercícios resolvidos pelos alunos às notas obtidas por eles em uma prova Nesse caso tomamse observações relativas a cada aluno dispondo os resultados dessas variáveis É possível que os alunos que resolveram mais exercícios sejam encontrados entre aqueles que obtiveram as melhores notas Há diferentes respostas em uma situação como essa em que as variáveis são exercícios resolvidos e notas obtidas aluno por aluno Vejamos duas respostas tomando a hipótese do senso comum esperase que os alunos que fizeram mais exercícios tenham melhores notas Mas eventualmente um aluno que respondeu a poucos exercícios pode ser beneficiado se a prova cobrou exatamente o conteúdo que ele havia respondido por exemplo Assim para entender se essa relação entre variáveis é válida será necessário calcular o coeficiente de correlação Naturalmente é possível compreender a associação entre variáveis por meio de uma análise gráfica Na medida das possibilidades a análise gráfica destaca uma eventual correlação entre variáveis mas que não pode ser presumida em termos mais precisos Como referência suponha que um professor de uma disciplina de Econometria distribuiu para seus 60 alunos como base para a aplicação de uma prova uma lista com 300 exercícios O aluno que conseguiu resolver menos exercícios foi aquele que respondeu a apenas 20 questões enquanto o aluno com o melhor desempenho na lista conseguiu resolver 280 perguntas Para entender a relação entre essa resolução de problemas e a nota na prova observe a figura a seguir Caso 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 323 PraCegoVer na figura consta um gráfico que apresenta uma relação entre o número de exercícios resolvidos pelos alunos no eixo horizontal e as notas obtidas por eles no eixo vertical Há uma nuvem de pontos que apontam uma tendência crescente demonstrando que aqueles que fizeram mais exercícios apresentaram melhor desempenho por meio de melhores notas Graficamente é possível perceber uma tendência positiva relativamente relevante entre o desempenho dos alunos na resolução da lista e na resolução da prova Essa análise pode ser útil porém não é exatamente eficiente pois é possível observar por exemplo se a relação entre variáveis é positiva ou negativa e se é direta ou inversamente proporcional mas a intensidade dessa relação não pode ser captada apenas as tendências de variação é que o podem Desse modo para compreender se essa relação é mais ou menos importante especialmente quando a amostra tem uma dimensão muito grande isto é quando há um número muito grande de dados e é formada por variáveis quantitativas podese recorrer ao coeficiente de correlação também chamado de coeficiente de correlação de Pearson MAIA 2017 O coeficiente de correlação entre duas variáveis XY pode ser obtido de acordo com a fórmula MAIA 2017 Essa fórmula demonstra que o coeficiente de correlação é alcançado ao efetivarse o cálculo da média do somatório dos desvios médios padronizados em que o desvio médio é calculado pela diferença entre um dado pertencente a uma variável e a sua média A padronização ocorre ao dividir essa soma pelo desviopadrão da variável BUSSAB MORETTIN 2017 Figura 1 Associação entre exercícios e notas finais Fonte Elaborada pelo autor 2021 Karl Pearson 18571936 foi um estatístico inglês que contribuiu para o desenvolvimento dessa disciplina por meio dos processos de regressão linear e da criação de indicadores de correlação e de estatísticas de significância como a estatística quiquadrado DOANE SEWARD 2014 Você o conhece 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 423 Finamente é importante lembrarse de que o desviopadrão amostral é criado pela raiz quadrada da razão entre o somatório dos desvios médios e o número de graus de liberdade como se segue 212 Sinal e ordem de grandeza Ao efetivar a divisão entre a soma dos desvios médios e do desviopadrão e depois dividir esse resultado pelo somatório n de elementos que compõem a amostra será possível inserir os valores dessa correlação em um conjunto de valores reais entre 1 e 1 BUSSAB MORETTIN 2017 Portanto temse o seguinte intervalo Se o coeficiente de correlação for igual a 1 há uma forte e positiva correlação linear entre as variáveis na situação oposta a correlação entre as variáveis X e Y é forte e negativa Se a correlação for próxima a zero essa relação de associação é entendida como fraca MAIA 2017 O objetivo de elaborar essa razão entre os desvios padronizados e o número de elementos da amostra é o de evitar a influência da ordem de grandeza entre variáveis No exemplo da lista de exercícios observe que o intervalo da variável independente é dado por 0 300 e que o intervalo da variável dependente é igual a 0 10 Há portanto dimensões diferentes entre as variáveis e essa situação precisa ser ajustada para tornar a análise estatística mais confiável A mesma situação pode ser evidenciada em casos nos quais a ordem de grandeza é distinta como no caso de uma correlação entre peso em quilogramas e altura em centímetros de uma determinada amostra ou população É possível ainda realizar a separação do elemento numerador que está presente na fórmula do coeficiente de correlação e isolando esse coeficiente podese obter o indicador de covariância que é a média dos produtos entre os valores centrados das variáveis BUSSAB MORETTIN 2017 O artigo de Dalson Brito Figueiredo Filho e de José Alexandre da Silva Júnior 2009 denominado Desvendando os mistérios do coeficiente de correlação de Pearson r traz uma abordagem didática sobre esse indicador aprofundando o estudo sobre as características e as propriedades de cálculo do mencionado coeficiente Acesse httpsperiodicosufpebrrevistaspoliticahojearticleviewFile 38523156 Você quer ler A fórmula da covariância é descrita como se segue Os valores centrados dessas variáveis correspondem efetivamente aos desvios médios de uma variável como no caso Contudo a fórmula da covariância não necessariamente será igual a zero pois calculase na verdade o somatório entre os produtos de cada desvio médio 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 523 Aplicando a fórmula da covariância sobre a fórmula do coeficiente de correlação expresso por r podese observar uma articulação entre esses indicadores BUSSAB MORETTIN 2017 É possível ainda verificar se o coeficiente de correlação é significativo mediante a construção de um teste de hipóteses O teste é um instrumento útil para verificar se a variável dependente Y e a variável independente X estão efetivamente correlacionados DOANE SEWARD 2014 Nesse caso para comprovar a significância do coeficiente de correlação devese elaborar o seguinte teste de hipótese A estatística relacionada a esse teste é expressa do seguinte modo Essa estatística deve ser comparada com a estatística padronizada com graus de liberdade de acordo com a distribuição t de Student Nesse caso se superar o valor crítico da estatística t é correto rejeitar a hipótese nula ao nível de significância Caso a hipótese nula for rejeitada é coerente concluir que existe de fato uma relação significativa entre as variáveis Por exemplo suponhamos que um estudante de Economia decidiu entender a dinâmica do crescimento econômico e do desemprego em uma determinada região Para isso ele mediu a variação percentual do produto interno bruto PIB como variável dependente Y e a variação percentual da taxa de desemprego como variável independente X ao longo de seis anos gerando o quadro a seguir PraCegoVer quadro composto por três colunas apresentando dados relativos a um caso hipotético Na primeira coluna à esquerda constam os anos de 1 a 6 na coluna central é destacada a variação percentual de crescimento da economia considerando cada um desses anos e na coluna à direita apresentase a variação da taxa de desemprego também para os anos 1 a 6 Essa relação específica é analisada pela Lei de Okun que demonstra uma ligação negativa e inversamente proporcional entre crescimento econômico e desemprego BLANCHARD 2017 Quadro 1 Variação do PIB e da taxa de desemprego anos selecionados em Fonte Elaborado pelo autor 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 623 Graficamente podese observar uma relação decrescente entre essas variáveis isto é o desemprego varia positivamente à medida que a economia sofre retração havendo queda percentual na variação do PIB como apresentado na figura a seguir PraCegoVer gráfico apresentando uma abordagem ilustrada do quadro anterior sobre variação do PIB e da taxa de desemprego Observase que a nuvem de pontos tem uma tendência decrescente A partir da situação apresentada é possível questionar ocorre alguma relação direta entre a variação do desemprego e a variação do PIB Devese testar a significância dessa correlação ao nível de 5 Assim ao calcular a média de X e Y observase que e que Consequentemente podese obter a covariância entre as variáveis X e Y mediante a equação Sabendose que o desviopadrão de X é igual a 1995 e que o desviopadrão de Y é igual a 2409 podese elaborar o coeficiente de correlação Arthur Melvin Okun 19281980 foi um economista norteamericano que atuou junto ao governo dos Estados Unidos e desenvolveu vários estudos na área da macroeconomia como a análise entre desemprego e crescimento econômico que leva o seu nome a Lei de Okun BLANCHARD 2017 Você o conhece Figura 2 Aplicação gráfica de um caso hipotético de Lei de Okun Fonte Elaborada pelo autor 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 723 Testando a significância desse coeficiente observase o seguinte O valor crítico de t que corresponde a é igual a 4 graus de liberdade e 5 do nível de significância é igual a 278 Como observase que há evidências suficientemente objetivas para afirmar que a variação do PIB e a variação do desemprego estão correlacionadas 213 Limitações da correlação no modelo econométrico Ainda que os indicadores apresentados sejam importantes para compreender o processo de associação entre variáveis é preciso considerar que o coeficiente de correlação e a covariância apresentam algumas insuficiências importantes No que se refere à covariância ela não é um indicador padronizado de modo que a ordem de grandeza acaba afetando a sensibilidade do indicador em relação a um certo conjunto de dados MAIA 2017 Por exemplo se há um interesse em analisar a covariância de dois conjuntos amostrais que envolvem uma notação em metros e a covariância entre eles é dada por ao efetivar uma transformação dessa variável para uma notação em centímetros a covariância tornase igual a Assim a covariância acaba sendo multiplicada por 100 ao ser realizada uma mudança na ordem de grandeza Paralelamente o coeficiente de correlação de Pearson permite obter uma referência sobre o grau de associação entre as variáveis entre um intervalo como observamos anteriormente No entanto saber se uma correlação é forte ou fraca é um dado também insuficiente para compreender as tendências internas dessa distribuição de dados uma variação positiva não mostra a efetiva dispersão dos dados ao redor da média pois o indicador como vimos é padronizado de acordo com os desviospadrão e com o número de elementos da amostra Para reforçar a sua compreensão sobre os conceitos de estatística descritiva você pode assistir ao vídeo Variância e desviopadrão produzido pelo Portal da Matemática da Olimpíada Brasileira de Matemática OBMEP Acesse httpswwwyoutubecomwatchvc8xZChTiLk Você quer ver Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada Um pesquisador da área de economia dispõe para o cálculo do coeficiente de correlação de Pearson expresso por r do conjunto de variáveis XY dado por 212 410 74 116 Nesse conjunto é sabido que a variável Y corresponde à variável dependente e que a variável X diz respeito à variável independente Considerando essas informações a correlação entre essas variáveis será igual a a 078 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 823 Por fim de acordo com Maia 2017 a correlação também não é capaz de demonstrar alguns aspectos básicos que são relacionados à distribuição dos dados amostrais por exemplo se há uma variação absoluta em X qual a variação que deve ocorrer em Y E da mesma forma se há um valor fixo em X qual o valor esperado para a variável Y Para superar essas limitações e obter uma ferramenta eficiente de estimação de uma dispersão ou de variabilidade de um conjunto de dados é conveniente recorrer a um procedimento de regressão linear assunto que veremos na próxima seção b 055 c 022 d 022 e 078 Verificar É importante que você conheça as aplicações práticas e sociais dos métodos de amostragem e da análise de variáveis Assim pesquise de modo mais aprofundado a respeito dos métodos de coleta de amostras populacionais do Censo Demográfico do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística IBGE Para isso leia o Tópico 112 do livro Metodologia do Censo Demográfico 2010 do IBGE 2016 denominado Amostragem elaborando um breve resumo com cerca de 20 linhas sobre os métodos estatísticos apresentados Vamos Praticar 22 Modelo de regressão linear simples O conceito de regressão foi criado no final do século XIX pelo matemático e antropólogo Francis Galton 1822 1911 Esse pesquisador analisou uma possível relação entre a altura média dos pais e a dos filhos adultos em uma família Ao realizar uma coleta de dados amostrais ele obteve duas informações importantes e 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 923 razoavelmente esperadas MAIA 2017 No entanto Galton também observou o seguinte Ou seja a altura média dos filhos regredia à altura média da população isto é apresentava uma tendência de convergir para uma estatura média Essa é a base histórica do conceito de regressão que discutiremos com mais profundidade ao longo deste tópico 221 Características do modelo e hipóteses associadas A econometria permite desenvolver modelos explicativos que correlacionam diferentes variáveis com base em processos de regressão linear Logo com tais processos tornase possível avaliar e demonstrar alguns padrões e tendências de variabilidade entre séries de dados compostas por essas variáveis podendo desse modo efetivar a estimação das mudanças e dos resultados futuros dessas séries Por meio da regressão linear é possível então que o pesquisador analise conjuntos de dados que se relacionam a n variáveis distintas sendo que uma delas será enquadrada como uma variável dependente e as demais serão as variáveis independentes Em resumo o objetivo principal da regressão linear é determinar de que modo a variável dependente é afetada pela variável independente ou por um conjunto dessas variáveis HOFFMANN 2016 Portanto essa relação entre uma série de n variáveis independentes e a variável dependente Y é estruturada como uma função entre tais variáveis MAIA 2017 Há várias situações que demandam o uso de modelos de regressão linear com maior ou menor grau de efetividade como as destacadas na sequência os pais que tinham maior estatura no grupo amostral apresentavam filhos mais altos os pais com baixa estatura apresentavam filhos baixos os filhos de pais com maior estatura não são tão altos quanto seus pais os filhos de pais com menor estatura também não são tão baixos quanto seus pais Observe que uma variável dependente de acordo com seu próprio nome desenvolvese em função dos dados de outra variável Não ocorre no entanto uma relação direta de causa e efeito entre essas variáveis tal como se a variável dependente fosse apenas um resultado relativo às variáveis independentes Você sabia 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 1023 Suponhamos por exemplo a existência de duas variáveis a saber uma variável dependente expressa por Y e uma variável independente expressa por X A relação estabelecida entre elas é dada pela equação Assim para um conjunto de dados da variável independente dada por também haverá um conjunto de valores distintos no conjunto Esses valores podem ser apresentados em uma reta pois a relação de determinação entre as variáveis é absoluta de acordo com a figura a seguir PraCegoVer gráfico apresentando uma linha reta que une diversos pontos de acordo com a equação Nesse caso quando X é igual a 2 Y é igual a 8 e assim por diante Figura 3 Associação absoluta entre variáveis Fonte Elaborada pelo autor 2021 Com os modelos de regressão linear podese verificar a relação entre as taxas de crescimento do PIB e outros indicadores econômicos importantes como a taxa de desemprego a relação entre o número de indivíduos empregados e a população economicamente ativa e a taxa de inflação o aumento sustentado do nível geral de preços No setor privado podese destacar relações existentes entre o número de visitantes de um centro de compras o volume de vendas em um determinado período e a variação do poder de compra da população mediante eventuais reajustes do salário mínimo Taxas e indicadores econômicos Setor privado 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 1123 Contudo há situações que compõem a maioria dos casos em que a variável dependente se torna diretamente influenciada por diferentes elementos ligados à variável independente Esses elementos são conhecidos como exógenos e geram uma diferença entre valores reais e esperados denominados resíduos ou erros Esses resíduos são capazes de afetar os resultados previstos pelo modelo de regressão linear GUJARATI 2011 Por fim devese considerar que o modelo de regressão linear simples é definido por alguns pressupostos apresentados a seguir HOFFMANN 2016 Pressuposto 1 Ocorre uma relação linear entre a variável independente e a variável dependente de acordo com a construção de um modelo bidimensional Pressuposto 2 Os valores da variável independente são fixos ou seja eles explicam a variação da variável dependente e não o contrário de modo que a variável independente não é influenciada pela variável dependente 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 1223 Pressuposto 3 O valor esperado para a média dos resíduos expressos por é igual a zero assim 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 1323 Pressuposto 4 A cada valor da variável independente a sua variância será sempre igual a 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 1423 É possível portanto verificar resumidamente que o modelo de regressão linear simples é baseado em uma construção estatística que associa séries de valores esperados e valores reais e suas tendências de variação WOOLDRIDGE 2017 222 Valores previstos e residuais Retomando a discussão sobre o modelo econométrico você deve observar que os valores previstos relativos a uma variável dependente Y podem ser obtidos de acordo com a seguinte equação MAIA 2017 Nesse caso o coeficiente a representa o coeficiente linear o valor de Y quando X é igual a zero e b representa o coeficiente angular que determina a variação de Y a cada variação absoluta de X De acordo com Hoffmann 2016 esses coeficientes são calculados da seguinte forma Entretanto é necessário observar que o modelo econométrico gera uma tendência isto é uma estimação dos valores esperados da variável dependente Porém pode haver outros fatores não explicados pelo modelo ou seja que são exógenos ou externos ao modelo que podem gerar uma variação real dos dados dessa variável Nesse caso haverá uma discrepância entre os valores estimados e os valores reais gerando um erro amostral também conhecido como resíduo ou desvio Esse erro é criado aleatoriamente isto é por fatores exógenos e é dado por Logo uma formalização mais adequada de um modelo econométrico é expressa do seguinte modo MAIA 2017 Para observar a relação entre valores previstos e residuais em um modelo vamos retomar o exemplo do início desta unidade o qual efetuava uma associação entre o número de exercícios respondidos por um grupo de alunos em uma lista com 300 questões e as respectivas notas nas avaliações Trazendo agora a base de dados relativa à criação do gráfico de dispersão observado anteriormente podese elaborar o quadro a seguir Pressuposto 5 Os errosresíduos relacionados a cada um dos dados observados não apresentam correlação entre si são independentes Pressuposto 6 A distribuição dos resíduos assume uma distribuição normal 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 1523 PraCegoVer quadro composto por oito colunas apresentando as notas individuais dos alunos mencionados no exemplo anterior sobre a lista de exercícios de estatística e o número de exercícios resolvidos por eles O aluno com o pior desempenho elaborou 20 exercícios e teve nota 05 na prova e o aluno com o melhor desempenho elaborou 280 exercícios e obteve nota 99 No quadro você pôde verificar que 60 alunos realizaram a lista de exercícios de modo que se espera uma variação da nota Y a cada variação do número X de exercícios resolvidos Recorrendo ao cálculo dos coeficientes linear e angular de acordo com Hoffmann 2016 para uma média igual a 154 e uma média igual a 55 temse o seguinte Logo calculase o coeficiente linear Quadro 2 Base de dados amostrais para um modelo econométrico Fonte Elaborado pelo autor 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 1623 Assim o modelo econométrico incluindose a eventualidade de haver resíduos pode ser descrito da seguinte forma O modelo gerado permite observar que se é igual a zero isto é se o aluno não resolve um exercício sequer sua nota esperada é igual a 159 e a cada exercício que ele realizar esperase que sua nota na prova seja acrescida em 00254 pontos até o limite de nota igual a 10 A partir dessa esquematização econométrica questionase para esse modelo o limite de nota a ser atingido pelo aluno seria igual a 87 haja vista que se ele elaborar os 300 exercícios sua nota seria igual a 159 30000254 159 762 921 Nesse caso há dois fatores que ajudam a entender essa diferença O primeiro deles e mais objetivo diz respeito aos arredondamentos e simplificações algébricas que foram adotados para facilitar o cálculo a segunda razão é a existência de valores discrepantes e dispersos que reduzem a eficiência explicativa do modelo a partir dos resíduos gerados Por exemplo há um aluno que elaborou 262 exercícios Logo a sua nota esperada é igual a No entanto a nota obtida foi igual a 54 Essa situação gera um resíduo igual a ou seja mais de 50 do valor real Nesses casos podese verificar que o modelo não está explicando eficientemente ou seja determinando a variação dos dados da variável dependente 223 Representação gráfica do modelo econométrico A partir de uma equação geradora de uma reta de regressão é possível observar a tendência relativa à associação entre duas variáveis MAIA 2017 Como referência vamos recuperar a primeira figura apresentada nesta unidade Ali você pôde observar uma tendência de distribuição das notas dos alunos a partir de sua capacidade de elaboração de uma série de exercícios preparatórios Consequentemente uma análise gráfica inicial apontou uma tendência crescente isto é as notas aumentavam à medida que o aluno tinha condições de responder a mais questões Porém dada a existência de um modelo econométrico baseado nessa dispersão de dados e expresso por é possível sobrepor essas informações que geram dados previstos em relação à série de dados reais Desse modo observe o quadro a seguir que apresenta os dados das variáveis X e Y e dos valores estimados que são expressos por Yest 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 1723 PraCegoVer quadro composto por 12 colunas e complementando o Quadro 2 Nele constam as notas esperadas para cada aluno a partir do modelo econométrico elaborado por meio da relação entre os exercícios resolvidos e suas respectivas notas A partir dessa distribuição é possível representar graficamente as informações geradas pelo modelo econométrico gerando uma linha de tendência ou reta de regressão conforme ilustra a figura a seguir Quadro 3 Dispersão de dados esperados e reais em um modelo econométrico Fonte Elaborado pelo autor 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 1823 PraCegoVer gráfico destacando as notas estimadas para cada aluno conforme o modelo econométrico gerado nesse exercício As notas estão dispostas em uma reta denominada reta de regressão Observe que nesse caso há uma relação perfeitamente linear entre as variáveis independente e dependente supondo que há uma associação perfeita entre essas variáveis isto é uma ausência de resíduos no modelo Contudo esses resíduos existem e determinam variações importantes entre os valores estimados e reais Para compreendêlos vamos tomar quatro exemplos como referência focando nos alunos que responderam a 20 114 180 e 250 exercícios observando suas notas reais e o desemprenho esperado para cada um deles Assim considere a figura a seguir PraCegoVer gráfico apresentando as discrepâncias entre notas reais e esperadas de quatro alunos demonstrando que esse intervalo pode ser maior ou menor de acordo com o desempenho de cada um deles Figura 4 Representação de um modelo econométrico Fonte Elaborada pelo autor 2021 Figura 5 Discrepâncias entre valores estimados e reais Fonte Elaborada pelo autor 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 1923 Observe apenas nesses quatro casos as discrepâncias entre valores estimados e valores reais Nesse caso o resíduo isto é o primeiro resíduo apresentado à esquerda no gráfico é igual a enquanto os outros resíduos são respectivamente 231 351 e 654 Assim em resumo a figura a seguir apresenta a relação existente entre valores reais e esperados no modelo econométrico enfocado nesta unidade PraCegoVer gráfico apresentando duas séries de dados sobrepondo a nuvem de dados que foi apresentada na Figura 1 com as notas reais dos alunos e os dados da reta de regressão da Figura 4 A sobreposição de dados relativos aos valores reais e do modelo econométrico gerado a partir desses dados permite observar as tendências de dispersão dessas séries enquanto o modelo econométrico é perfeitamente linear os dados reais apontam para uma tendência de dispersão Figura 6 Sobreposição de séries de valores reais e estimados Fonte Elaborada pelo autor 2021 Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada Um pesquisador na área de macroeconomia deseja avaliar com base em uma série de dados históricos as tendências de oscilação do crescimento econômico em função de uma variação da taxa de desemprego O intuito desse pesquisador é validar a Lei de Okun para a sua região geográfica e estimar algumas tendências futuras por meio de uma regressão linear simples Para a criação desse cenário macroeconômico futuro temse o quadro a seguir 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 2023 Com base nessa situação há alunos que deveriam ter obtido uma nota baixa mas que tiveram bom desempenho ao mesmo tempo em que outros com uma boa performance na resolução da lista obtiveram notas baixas Como mencionado anteriormente tais situações podem ser atribuídas a diferentes fatores o aluno pode ter ficado nervoso os exercícios da prova não corresponderam aos exercícios elaborados na lista o aluno inverteu algum sinal na resolução entre outras possibilidades Esses fatores na verdade constituem se como elementos exógenos os quais o modelo foi incapaz de captar Assim para verificar a eficiência explicativa do modelo será preciso recorrer a um outro cálculo relativo ao coeficiente de determinação Quadro 4 Variação do PIB e da taxa de desemprego anos selecionados em Fonte Elaborado pelo autor 2021 Considerando essas afirmações analise as afirmativas a seguir I No Ano 9 de acordo com a regressão se o valor de Y será igual a 288 II O modelo econométrico que é compatível com essa série de dados corresponde a III De acordo com a regressão estimase que no Ano 8 se o valor de Y será igual a 4015 IV Para essa série de dados o modelo de regressão linear simples é dado por Está correto apenas o que se afirma em a I e IV b II e III c II e IV d I II e III e I III e IV Verificar 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 2123 Vamos pensar em uma experiência prática de regressão ligada à sua vida pessoal selecione seis pares de pais ou mães e seus filhos tomando a altura de cada um deles Assim você terá seis pares ordenados etc A partir desses dados elabore uma regressão linear verificando de que modo a variação da altura P dos pais determina a variação da altura F dos filhos Vamos Praticar A análise de variáveis implica a criação de coeficientes que permitem entender a intensidade da relação entre diferentes grupos amostrais Assim por meio do coeficiente de correlação e da regressão linear simples por exemplo é possível compreender e avaliar a associação de diferentes variáveis apreendendo tendências de distribuição e a existência de erros amostrais que dizem respeito às diferenças entre valores reais e estimados Nesta unidade você teve a oportunidade de Conclusão distinguir os usos e as limitações do coeficiente de correlação de Pearson e compreender sua operacionalização articular o coeficiente de correlação e o cálculo de covariância para a criação de análises bidimensionais aplicar conceitos e hipóteses relativos à construção de uma regressão linear simples por meio de um caso prático avaliar os efeitos da criação de um modelo econométrico a partir de discrepâncias eventuais entre valores reais e esperados BLANCHARD O Macroeconomia 7 ed São Paulo Pearson 2017 BUSSAB W O MORETTIN P Estatística básica 7 ed São Paulo Saraiva 2017 Referências 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 2223 DOANE D SEWARD L Estatística aplicada à administração e economia Porto Alegre AMGH 2014 FIGUEIREDO FILHO D B SILVA JÚNIOR J A Desvendando os mistérios do coeficiente de correlação de Pearson r Revista Política Hoje Recife v 18 n 1 p 115146 2009 Disponível em httpsperiodicosufpebrrevistaspoliticahojearticleviewFile38523 156 httpsperiodicosufpebrrevistaspoliticahojearticleviewFile3852 3156 Acesso em 24 jan 2021 GUJARATI D N Econometria básica 5 ed Porto Alegre Bookman 2011 HOFFMANN R Análise de regressão uma introdução à econometria Piracicaba Edição do Autor 2016 INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA IBGE Metodologia do Censo Demográfico 2010 2 ed Rio de Janeiro IBGE 2016 MAIA A G Econometria conceitos e aplicações aprenda os fundamentos da análise econométrica e resolva problemas econômicos concretos São Paulo Saint Paul 2017 VARIÂNCIA e desvio padrão S l s n 2018 1 vídeo 9 min Publicado pelo canal Portal da Matemática OBMEP Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvc8xZChTiLk httpswwwyoutubecomwatchvc8xZChTiLk Acesso em 9 fev 2021 WOOLDRIDGE J M Introdução à econometria uma abordagem moderna 6 ed São Paulo Cengage Learning 2017 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade2ebookindexhtml 2323