Econometria - Estimacao de Parametros e Analise de Variancia

Autoria José Tadeu de Almeida Revisão técnica Jorge Lisandro Maia Ussan Econometria UNIDADE 3 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS E ANÁLISE DE VARIÂNCIA 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 128 Prezadoa estudante a econometria utiliza conceitos de inferência estatística para desenvolver métodos de estimação Desse modo ao criar um modelo econométrico é preciso avaliar se ele é realmente eficaz em explicar se um conjunto de variáveis tem relação entre si e se a variação de uma série de dados pode ser explicada pela variação de outra série Fica evidente portanto a importância do uso de conjuntos amostrais para obter as informações necessárias para esse processo de estimação No entanto há diferentes conceitos e terminologias que precisam ser suficientemente compreendidos para que você possa desenvolver um modelo econométrico que seja consistente Considerando essas terminologias ao longo desta unidade responderemos a uma série de perguntas por exemplo como podemos entender um conjunto amostral que tenha uma boa precisão Em que consiste uma amostra viesada E em que estamos nos baseando quando dizemos que um conjunto de dados tem uma boa acurácia Como você poderá observar esses conceitos são mais do que simples expressões na verdade cada conceito remete a uma característica ou perfil de um conjunto de dados amostrais Tais características por sua vez quando observadas em conjunto permitem entender se as variáveis estão suficientemente relacionadas a ponto de gerar uma análise de variância e um modelo estatisticamente significativo Bons estudos Introdução 31 Fundamentos da estimação O elemento analítico principal da inferência estatística é a construção de análises deduções e generalizações a respeito de um grupo populacional utilizando conjuntos amostrais colhidos por meio de procedimentos aleatórios Com isso podese comparar e deduzir características que envolvem como um todo o grupo populacional WOOLDRIDGE 2017 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 228 Há dois procedimentos que devem ser observados para a elaboração das inferências o primeiro deles é a avaliação de um estimador para verificar as suas condições representativas de uma população O segundo procedimento diz respeito à construção de métodos de estimação de parâmetros que avaliam a probabilidade de um estimador representar adequadamente um parâmetro populacional Nesta unidade avaliaremos esses procedimentos No entanto antes disso iniciaremos nossas reflexões com uma abordagem sintética sobre as principais propriedades de um estimador Acompanhe na sequência 311 Estimação conceitos principais Os parâmetros são indicadores que dizem respeito isto é avaliam características relacionadas a todo o grupo populacional ao passo que as estatísticas ou estimadores são criadas em função de grupos amostrais e de séries de dados extraídos como subconjuntos de uma população Uma estatística é utilizada portanto para estimar um parâmetro relativo a uma população cuja característica é objeto de interesse do pesquisador Diante disso os métodos de estimação se prestam a criar estimadores e estatísticas eficazes para transmitir uma informação populacional de modo eficiente Quando há mais de um estimador para um mesmo parâmetro é necessário estabelecer alguns critérios comparativos em relação aos estimadores observando as suas propriedades específicas BUSSAB MORETTIN 2017 Diz respeito à distância entre cada elemento e o valoralvo que se espera alcançar isto é o valor esperado para uma dada estatística Destaca a distância entre cada elemento observado e o valor médio relacionado a todas as observaçõeselementos É a distorção de uma variável isto é uma discrepância em relação ao valor esperado conduzindo à formação de uma série de dados tendenciosos em torno de um valor médio que não corresponde à realidade Acurácia Precisão Viés 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 328 Dessa forma os estimadores podem ser viesados ou não viesados muito acurados ou pouco acurados e ter precisão progressiva baixa regular alta de acordo com a distribuição amostral e as suas tendências gerais Como exemplo dessas propriedades do estimador podese recorrer a um caso objetivo relacionado ao jogo de bocha Esse jogo consiste em uma prática na qual os jogadores devem lançar suas bochas bolas de material rígido o mais próximo possível de uma bocha menor denominada bolim podendo ainda afastar com os lançamentos as bochas dos adversários PraCegoVer na fotografia há quatro jogadores em uma área gramada lançando bolas de tamanho médio com aproximadamente dez centímetros de diâmetro ao redor de uma bola menor com cinco centímetros denominada bolim As bolas estão em primeiro plano ao passo que os jogadores aparecem ao fundo desfocados Suponhamos que em um desses jogos foram apurados os resultados relacionados a cada um dos jogadores em um determinado período de tempo gerando as séries apresentadas na figura a seguir Cada série A B C e D é representativa de um jogador Figura 1 Representação de um jogo de bocha Fonte PlainJane33 Shutterstock 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 428 PraCegoVer a imagem apresenta os resultados dos lançamentos de quatro jogadores de bocha denominados A B C e D Cada um dos resultados é formado por diversas marcações da posição das bolas ao redor de um ponto central Alguns conjuntos estão mais dispersos enquanto outros estão mais concentrados Observe que o jogador A efetuou lançamentos bem uniformes em relação ao ponto médio onde se localiza o bolim portanto a amostra desse jogador é não viesada No entanto esse jogador também não tem acurácia visto que os lançamentos estão distantes do alvo e não tem precisão uma vez que os elementos estão dispersos em relação ao seu próprio ponto médio Assim tal amostra pode ser definida como não viesada pouco acurada e com baixa precisão O jogador B por sua vez tem uma amostra de lançamentos que é viesada visto que é concentrada à esquerda do bolim pouco acurada em relação ao bolim e com precisão baixa em relação à média desses lançamentos havendo uma dispersão importante Já o jogador C reuniu uma amostra não viesada muito acurada e com boa precisão enquanto o jogador D finalmente gerou uma amostra viesada pouco acurada pois está distante do valor esperadoalvo e com alta precisão uma vez que os elementos estão bem concentrados entre si Figura 2 Resultados obtidos em séries de lançamentos Fonte Elaborada pelo autor baseada em BUSSAB MORETTIN 2017 A professora Ivette Luna Huamaní do Instituto de Economia da Universidade de Campinas Unicamp explora os conceitos de precisão e acurácia no vídeo Propriedade dos estimadores Para isso são utilizados exemplos práticos que ajudam a compreender as características dos estimadores para um conjunto amostral Acesse httpswwwyoutubecomwatch vjBdpvxH8AbY Você quer ver 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 528 O exemplo apresentado ajuda a pensar a respeito das características de um estimador é importante que ele traduza a realidade da população com eficiência com o mínimo de viés e com o máximo de acurácia e de precisão Diante disso os resultados do jogador C seriam os mais interessantes para ilustrar essa situação logo C é um estimador em relação a um resultado ideal BUSSAB MORETTIN 2017 Agora que já conhecemos as características dos estimadores na sequência veremos quais são as suas propriedades Contudo como algumas dessas propriedades dependem de comprovação algébrica e de ferramentas de cálculo numérico que demandam requisitos que estão além dos conceitos apresentados nesta disciplina enfocaremos as duas propriedades principais 312 Propriedades dos estimadores Para entender adequadamente as propriedades dos estimadores é preciso considerar primeiramente a existência de um conjunto amostral X formado pelos indivíduos relativo a uma variável aleatória que apresenta uma certa característica de interesse em uma população Dessa população pode ser extraído um parâmetro o qual deverá ser estimado pelo pesquisador por exemplo a média dessa população dada por ou a sua variância que é dada por Observe portanto que EX e VarX são indicadores relativos ao parâmetro isto é são estimadores desse parâmetro Dessa definição podese extrair uma propriedade do estimador a saber se T e T são estimadores não viesados de um parâmetro e a variância Var T é inferior a Var T logo T é mais eficiente do que o estimador T BUSSAB MORETTIN 2017 Para entender essa propriedade é necessário observar o conceito de acurácia isto é a distância entre o estimador e o parâmetro conforme destacado anteriormente Essa diferença pode ser formulada pela seguinte equação Nesse caso a variável e pode ser compreendida como um erro amostral que diz respeito à estimação do parâmetro a partir do estimador o qual é baseado no subconjunto amostral Considere que há dois estimadores de proporção denominados R e R relativos a um certo parâmetro que é dado por Nesse caso é sabido que e que A dimensão das amostras desses dois estimadores é a mesma com indivíduos Desejase investigar as relações de eficiência que regem esses dois estimadores Assim tendo o valor esperado de ambos os indicadores podese obter a sua variância O estimador R gera a variância apresentada a seguir Observando que a variância de R é inferior à variância de R o estimador R provase mais eficiente Assim supondo que o parâmetro foi arbitrado com um valor igual a 043 o erro amostral de R será igual a Novamente o sinal negativo aponta para uma subestimação do parâmetro populacional Por sua vez o erro amostral de R será igual a Caso 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 628 Observe que uma superestimação do parâmetro populacional aponta para uma discrepância positiva do erro amostral superior ao erro do estimador R A partir dessa discrepância podese extrair a seguinte propriedade de acordo com Bussab e Morettin 2017 o erro quadrático médio EQM de um estimador T relativo ao parâmetro é dado por A partir dessa fórmula temse que o EQM corresponde ao valor esperado do quadrado do erro amostral Consequentemente esse indicador corresponde à soma entre a variância do estimador e o quadrado de seu viés em que Retomando o exemplo dos estimadores R e R em que o parâmetro populacional é igual a 043 temse o seguinte O erro quadrático médio de R por sua vez é dado por Na verdade podese perceber que um estimador preciso pode apresentar uma variância pequena uma distribuição bem ajustada ao redor de ET a média amostral Porém se o viés for grande o EQM será proporcionalmente significativo BUSSAB MORETTIN 2017 Para entender esse raciocínio observe a figura a seguir Caso 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 728 PraCegoVer a imagem apresenta o resultado de um jogo em que a amostra está bem concentrada ao redor de uma pequena área mas essa área está distante do ponto médio do exercício demonstrando assim a criação de um viés alto na amostra Verifique pela figura que essa distribuição amostral tem um EQM alto ainda que apresente uma variância pequena em função da dimensão do viés do estimador T que é a distância entre ET e o parâmetro Figura 3 Representação do EQM em um conjunto amostral Fonte Elaborada pelo autor baseada em BUSSAB MORETTIN 2017 Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada A inferência estatística é uma das partes da Estatística Esta é a parte da metodologia da Ciência que tem por objetivo a coleta redução análise e modelagem dos dados a partir do que finalmente fazse a inferência para uma população da qual os dados a amostra foram obtidos Um aspecto importante da modelagem dos dados é fazer previsões a partir das quais se podem tomar decisões BUSSAB W O MORETTIN P Estatística básica 7 ed São Paulo Saraiva 2017 p 1 Sabendo que para fazer inferências é fundamental ter atenção aos estimadores analise as afirmativas a seguir acerca dos estimadores I Se Q e Q são dois estimadores não viesados Q será mais eficiente se a sua variância for inferior à variância de Q II O erro amostral corresponde ao quadrado da diferença entre a variância e o valor do parâmetro populacional III O erro quadrático médio EQM corresponde à soma entre a variância do estimador e o valor de seu viés elevado ao quadrado 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 828 A criação de conjuntos amostrais com um maior grau de precisão e com uma redução do viés somente é viabilizada por meio de estimadores eficientes que reduzam os erros amostrais tanto quanto possível Os processos de criação desses estimadores serão descritos no próximo tópico IV Um estimador populacional se encontra subestimado quando a discrepância do erro amostral é negativa Está correto apenas o que se afirma em a I e II b II e IV c III e IV d I II e III e I III e IV Verificar Você pode realizar uma experimentação prática a partir dos exemplos apresentados nesta seção crie um jogo com um alvo e múltiplos lançamentos dardos boliche bola de gude jogo de taco sinuca etc mesmo virtualmente e avalie suas habilidades de criação de amostras baseadas em precisão viés e acurácia Vamos Praticar 32 Métodos de estimação 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 928 A partir da discussão realizada a respeito dos processos de estimação e de suas principais características e propriedades é importante observar os modos de criação de estimadores relacionados a grupos amostrais Esses estimadores podem ser utilizados para realizar uma aproximação em relação a valores estimados de diferentes conjuntos de dados Assim por meio de instrumentos como o estimador de mínimos quadrados e o estimador de máxima verossimilhança você poderá obter indicadores que minimizem os erros amostrais e que se constituam como fontes precisas de uma série estatística Na sequência descobriremos então em que consiste o método dos mínimos quadrados e depois nos aprofundaremos no estimador de máxima verossimilhança 321 Método dos mínimos quadrados A estimação pelo método dos mínimos quadrados é um procedimento utilizado para obter estimadores precisos em relação a um parâmetro populacional Esse método demanda o uso de ferramentas de cálculo no entanto vamos apresentálo de uma forma simplificada e objetiva Para isso suponha uma situaçãoproblema na qual um pesquisador está avaliando uma característica Y de uma planta a sua capacidade de fornecer oxigênio ao ambiente por exemplo em função do diâmetro X do caule dessa planta O pesquisador percebeu que essas variáveis guardam uma certa proporção entre si de acordo com a seguinte relação em que é o coeficiente de proporção BUSSAB MORETTIN 2017 Desse modo esse é o parâmetro a ser investigado a partir de um conjunto amostral de cinco exemplares dessa planta cujos resultados são descritos a seguir Observe nessa distribuição que a média é igual a 36 e que a média é igual a 216 Logo é possível perceber que há uma proporção de 61 entre os valores médios de Y e X o que leva a compreender que o estimador relacionado a essa distribuição tem valor igual a 6 gerando um modelo No entanto é preciso testar isto é validar a hipótese de que o estimador seja preciso em relação ao parâmetro populacional BUSSAB MORETTIN 2017 Nesse caso ao assumir que criase o modelo pois os valores de Y serão gerados a partir do estimador Se logo o modelo pode ser descrito por Essa situação ocorrerá se o estimador for não viesado Contudo será que essa situação se aplicará aos dados encontrados pelo pesquisador ou seja esse modelo irá refletir a situação da amostra com fidelidade Para obter essas respostas será preciso analisar o modelo os valores da amostra e os valores potenciais isto é os valores estimados A partir deles podese calcular a dispersão em relação ao modelo Observe então o quadro a seguir X 24 3 34 4 52 Y 156 188 224 232 28 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 1028 PraCegoVer o quadro destaca diferentes valores relacionados a um conjunto X de dados Esses valores são oferecidos a partir de três equações dadas por Y 6X Y 6X e cada uma disposta em uma linha Verifique nesse caso que a soma dos valores relativos à equação é igual a zero Essa soma de valores destaca a inadequação do modelo isto é a sua capacidade de explicar as variações do modelo a partir dos elementos amostrais Se a soma é igual a zero o modelo é adequado para a amostra apresentada com dimensão No entanto devese observar também a precisão desse modelo por meio da equação que mostra o erro quadrático total dessa amostra eliminando as discrepâncias geradas pelos sinais positivonegativo Efetivamente quanto menor a dimensão da soma melhor será a estimativa gerada pelo estimador Consequentemente o pesquisador deve encontrar um valor relacionado ao estimador valor esse que é chamado de estimativa que minimize a soma dos quadrados No exemplo apresentado em que essa soma será dada por De acordo com o quadro anterior o valor é igual a 1696 ou seja aparentemente há um viés significativo se a estimativa for adotada como um parâmetro Devese assim procurar um outro valor que gere maior precisão na estimação do parâmetro Esse valor poderá ser obtido por meio de um procedimento de cálculo que gerará um estimador de mínimos quadrados o qual é expresso pela equação que se segue BUSSAB MORETTIN 2017 Para o exemplo apresentado temse que o estimador é dado por Para encontrar esse estimador observe o quadro a seguir Quadro 1 Análise de um modelo relativo a um estimador Fonte Elaborado pelo autor 2021 Quadro 2 Estimação por mínimos quadrados Fonte Elaborado pelo autor 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 1128 PraCegoVer o quadro apresenta na primeira e na segunda linhas os valores de um conjunto de pares ordenados o produto entre os valores desses pares X e Y na segunda linha e o valor dos dados de X elevados ao quadrado na terceira linha A partir desse quadro temse o seguinte Assim o valor gera um valor mínimo para Logo a representação ideal do modelo apresentado pelo pesquisador seria expresso do seguinte modo Nesse caso o quadro apresentado anteriormente poderá ser reescrito conforme destacado na sequência PraCegoVer quadro destacando os valores obtidos pelo estimador de mínimos quadrados igual a 589 demonstrando que os erros amostrais serão os menores possíveis para esse valor de estimador Assim para o valor é igual a Esse é o menor valor possível do erro quadrático total para o modelo apresentado de modo que valores maiores ou menores para o indicador irão gerar erros totais com valor absoluto maior Quadro 3 Análise de estimador de mínimos quadrados Fonte Elaborado pelo autor 2021 Será que se usássemos outros valores para o estimador o erro quadrático não seria menor Como curiosidade verifiquemos o valor do erro quadrático com estimadores com valores diferentes ao arbitrar o valor de é igual a 1676 e para o valor de é igual a 1681 Logo observase que efetivamente minimiza o erro quadrático total Você sabia 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 1228 Na verdade para esse modelo específico você pode perceber que o erro total ainda é grande em relação aos valores médios de X Essa situação é relativamente comum se a amostra tem uma dimensão mais limitada como no caso presente em que Se a amostra tivesse um tamanho maior provavelmente o indicador assumiria um valor diferente mais próximo do parâmetro de modo a minimizar ainda mais o erro total BUSSAB MORETTIN 2017 Para entender a importância dessa relação entre a dimensão da amostra e o erro total dentro da estimação por mínimos quadrados considere o quadro a seguir que apresenta as informações referentes ao número de horas trabalhadas H de um grupo de motoristas de aplicativo e à quilometragem K percorrida por esse mesmo grupo PraCegoVer o quadro apresenta um conjunto amostral contendo o número de horas de trabalho na primeira terceira quinta e sétima colunas e os quilômetros percorridos por um grupo de motoristas de aplicativo na segunda quarta sexta e oitava colunas No caso apresentado a média de horas de trabalho é igual a 102 enquanto a média de quilometragem é igual a 2784 Desse modo a relação entre as médias de quilometragem e de horas de trabalho poderia gerar um estimador aproximadamente igual a Assim a partir desse estimador podese deduzir que um modelo aparentemente razoável para explicar a relação entre quilômetros rodados e horas de trabalho é igual a Dessa forma um motorista que trabalhe uma hora deverá rodar 273 quilômetros o que trabalhe três horas irá rodar 819 quilômetros e assim por diante Observe a relação entre esses dados amostrais pelo gráfico apresentado a seguir Quadro 4 Rodagem e horas de trabalho em uma amostra Fonte Elaborado pelo autor 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 1328 PraCegoVer o gráfico destaca a relação crescente entre o número de horas de trabalho de um conjunto de motoristas de aplicativo e a quilometragem percorrida pelos trabalhadores em sua jornada diária Se esse estimador for do tipo não viesado a equação poderá ser descrita por Para entender o comportamento do estimador devese verificar os valores estimados decorrentes dessa amostra verificando o grau de dispersão dos dados amostrais pela sua variância de acordo com o quadro a seguir Figura 4 Relação quilometragemhoras de trabalho em uma amostra Fonte Elaborada pelo autor 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 1428 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 1528 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 1628 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 1728 PraCegoVer o quadro apresenta os dados relativos à estimação da quilometragem por meio do estimador de mínimos quadrados criado a partir da equação De acordo com o quadro o valor relativo à equação é igual a 212962 Tratase de uma soma muito alta sendo possível então tentar obter um estimador de mínimos quadrados A estimativa que minimiza a soma dos quadrados será expressa do seguinte modo já fornecendo os valores das somas Portanto temse o indicador que minimiza os erros amostrais de modo que a equação pode ser melhor descrita da seguinte forma A tendência relacionada a essa equação pode ser observada no gráfico a seguir PraCegoVer o gráfico apresenta dois conjuntos de dados O primeiro conjunto é formado pelas informações disponibilizadas no gráfico anterior demonstrando os dados reais de quilometragem percorrida por hora de trabalho O segundo conjunto é uma série de dados que está inserida em uma reta de regressão demonstrando valores estimados em relação ao modelo de mínimos quadrados Por meio do gráfico percebese que a relação dos dados amostrais com o modelo de mínimos quadrados é bastante próxima o modelo é eficiente para explicar a variação entre as horas trabalhadas pelos motoristas e a quilometragem percorrida Apesar de haver algumas discrepâncias especialmente entre os motoristas que dirigem mais de dezesseis horas observase uma tendência uniforme entre os dados reais e os dados estimados pelo modelo de mínimos quadrados 322 Estimadores de máxima verossimilhança Quadro 5 Elaboração de um estimador de mínimos quadrados Fonte Elaborado pelo autor 2021 Figura 5 Dados reais e estimados em uma amostra Fonte Elaborada pelo autor 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 1828 O conceito de verossimilhança de acordo com o dicionário Michaelis 2021 envolve uma característica ou qualidade de algo que seja verossímil isto é que tenha aparência de ser algo verdadeiro ou real Aplicando esse conceito à estatística uma amostra verossímil será aquela que tenha condições de apresentar ou de fornecer a melhor informação possível a respeito de um parâmetro populacional o qual deve ser estimado MAIA 2017 Desse modo entendese que é necessário sempre optar pelo valor estimado de um parâmetro que deve maximizar a possibilidade de o pesquisador obter uma amostra mais semelhante possível à característica desejada no parâmetro populacional Esse conceito é conhecido como princípio da máxima verossimilhança e foi elaborado no início do século XX por Ronald Aylmer Fisher BUSSAB MORETTIN 2017 Os estimadores de máxima verossimilhança EMV podem ser elaborados a partir de diferentes conjuntos amostrais Nesta unidade vamos observar a construção desse estimador para uma distribuição binomial Nesse caso considere a existência de um experimento no qual um pesquisador colhe n demonstrações para a construção de uma amostra A probabilidade de sucesso é dada por sendo que p está compreendido no intervalo 01 Consequentemente a probabilidade de haver fracasso é igual a O número de sucessos é dado por X Assim pretendese tomar como estimador o valor da probabilidade p que seja capaz de tornar o mais verossímil possível a amostra observada Caso se adote por exemplo que o valor de n é igual a 3 e nessas três demonstrações sejam obtidos dois sucessos e uma falha a função de verossimilhança será dada como se segue Ao maximizar essa função em relação à probabilidade de sucesso p devese realizar a sua derivada igualandoa a zero da seguinte forma Para essa equação observe que o valor de p pode ser igual a zero ou a 23 Nesse caso o ponto máximo da função ocorrerá quando Consequentemente esse é o EMV de p quando É ainda possível extrapolar essa abordagem para qualquer valor de n da seguinte forma BUSSAB MORETTIN 2017 Desse modo ao efetivar a derivada e igualandoa a zero podese obter o estimador Ronald Aylmer Fisher 18901962 foi um biólogo e geneticista inglês que desenvolveu diferentes métodos estatísticos para a comparação e a avaliação de populações A distribuição F que está relacionada a testes de significância de estimadores é assim nomeada em sua homenagem BUSSAB MORETTIN 2017 Você o conhece Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 1928 Para a construção do estimador portanto é utilizada a seguinte função de verossimilhança para um número n de demonstrações e um número x de sucessos Considere a seguinte situaçãoproblema o dono de um buffet deseja reduzir o número de desperdício de salgadinhos nas festas realizadas em seu salão Tradicionalmente arbitrase um parâmetro de 13 salgadinhos por pessoa adulta No entanto as informações obtidas em dez festas por meio de uma amostra com o consumo médio de salgadinhos S por pessoa P gerou a seguinte distribuição Fonte Elaborado pelo autor 2021 PraCegoVer quadro composto por duas linhas apresentando o número médio de salgadinhos por pessoa Na primeira linha estão os números relativos a S isto é aos salgadinhos Na segunda linha são dispostos os valores relativos a P ou seja ao número de pessoas A partir da observação das amostras o proprietário estimou uma média A de consumo de salgadinhos por pessoa dada por e posteriormente com o apoio de um pesquisador amigo obteve um estimador de mínimos quadrados EMQ Com isso o proprietário desejava saber o número de salgadinhos por pessoa seja EMQ ou A que fosse o mais eficiente possível minimizando o erro quadrático total Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre os EMQs é correto afirmar que o número ideal de salgadinhos por pessoa deve ser igual a a 1087 b 1102 c 1064 d 1277 e 1155 Verificar Vamos Praticar 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 2028 Você pode criar um EMV com o seguinte experimento faça uma série de lançamentos de uma moeda no estilo cara ou coroa estabelecendo uma das faces como sucesso Nessa série anote o número de sucessos ou fracassos criando o estimador EMV a partir da fórmula 33 Análise de variância De acordo com a discussão que vem sendo realizada ao longo desta unidade você deve ter observado que um modelo econométrico que opere com mecanismos de regressão linear deve explicar com eficiência as tendências e o comportamento da variável dependente Y Quando essa explicação é observada o modelo provase adequado para entender variações futuras e para prever a ocorrência de elementos que não constam da amostra original Assim é importante entender dentro do estudo desses modelos econométricos qual a influência do modelo para a explicação da variabilidade da variável dependente Essa análise comparativa é realizada por meio do estudo dos erros amostrais que são resíduos relacionados ao ajuste do modelo na diferença entre valores reais e esperados Essa é a base do estudo da análise de variância que será melhor discutida ao longo deste tópico 331 Soma dos quadrados Uma análise de regressão permite avaliar uma dispersão importante dos valores apresentados pela variável Y Essa dispersão demonstra a sua variabilidade total a qual segundo Maia 2017 pode ser explicada a partir de duas dimensões a saber Desse modo em um modelo econométrico a variação de Y permite criar uma reta de regressão na qual as tendências de variação podem ser explicadas pelo modelo ou por elementos externos Por exemplo considere que em uma cidade do interior de São Paulo com aproximadamente 170000 habitantes um pesquisador deseje averiguar qual a porcentagem da população que pode ter sido contaminada por um vírus respiratório Nesse caso ele utiliza o seguinte cálculo para estimar o número de pessoas potencialmente contaminadas No cálculo P é a probabilidade de contágio A é o número de casos ativos na cidade casos confirmados curados óbitos e S é o número de casos suspeitos Ao longo de aproximadamente quatro meses a probabilidade de contágio P variou de acordo com o gráfico a seguir comportamento da variável independente X que determina em parte o comportamento de Y uma parcela não explicada a partir de X que se associa aos resíduos erros amostrais do ajuste de regressão e que é explicada por fatores exógenos externos ao modelo 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 2128 PraCegoVer o gráfico apresenta três conjuntos de dados O primeiro deles é uma série formada pela porcentagem de pessoas expostas à contaminação em uma cidade Uma reta na horizontal representa a média desse conjunto Por fim uma reta inclinada é a linha de tendência que tem um padrão crescente demonstrando que mais pessoas podem estar expostas ao vírus na cidade ao longo do tempo No gráfico observase uma variabilidade alta da variável dependente P Em alguns momentos os dados reais superam os valores esperados e em outros essa diferença é negativa Além disso a partir do dia 73 o risco supera o valor médio do período Tal situação pode ocorrer por vários fatores exógenos como o grau de exposição da população a tendência à formação de festas e aglomerações entre outros elementos De todo modo a reta de regressão explica a variabilidade de Y que é compreendida pela variação da variável independente Os erros de previsão por sua vez não são controlados pelo modelo Por fim a linha horizontal mostra o valor médio do conjunto de dados Para avaliar a variação total dos dados reais de Y deve ser criada uma soma total dos quadrados STQ ou SQT que mede a distância ao quadrado dos valores da variável dependente em relação à sua média aritmética São avaliadas nesse caso as distâncias entre os valores reais da regressão e a linha média do seguinte modo MAIA 2017 Na sequência é preciso lembrar que a SQT deve ser desdobrada em dois elementos principais O primeiro deles demonstra a variação dos dados de Y que podem ser atribuídos ao modelo econométrico isto é à reta de regressão Assim essa variação é avaliada a partir do quadrado das distâncias entre os valores previstosestimados e a média da variável Esse indicador é a soma dos quadrados da regressão SQReg medindo as distâncias entre a reta de regressão e o valor médio e é estruturado como se segue MAIA 2017 Por fim a parte não explicada do modelo faz menção aos seus resíduos gerando a soma dos quadrados dos resíduos SQRes que mede o quadrado das distâncias entre valores reais e estimados da seguinte forma MAIA 2017 Figura 6 Risco de contaminação em uma cidade em Fonte Elaborada pelo autor 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 2228 Consequentemente vem a seguinte soma Posto isso na sequência conheceremos a distribuição F de Snedecor 332 Distribuição F de Snedecor Para elaborar a análise de variância e entender a eficácia do modelo econométrico não basta apenas verificar a contribuição de cada dimensão regressão e resíduos de modo a entender a variabilidade do modelo É preciso entender também se o modelo tem significância isto é se contribui o suficiente para explicar a variabilidade MAIA 2017 Por exemplo se e temse que e a contribuição da regressão é praticamente marginal ou nula para a explicação dessa variabilidade A significância do modelo é testada por meio da estatística F também conhecida como FisherSnedecor Essa estatística está baseada em uma distribuição criada a partir de uma variável aleatória produzida por uma razão entre duas variáveis de distribuição quiquadrado Para obter os valores dessa distribuição você deve consultar uma tabela com os valores précalculados da distribuição F computando um número de graus de liberdade no denominador e no denominador MAIA 2017 Para o caso de uma regressão linear os valores de significância serão comparados aos valores da distribuição F com um grau de liberdade GL no numerador correspondente ao coeficiente angular o único valor que se altera livremente e n 2 graus de liberdade no denominador Esse teste é uma das bases para testar a significância de um modelo de acordo com o que será apresentado no próximo tópico 333 Tabela ANOVA e teste de significância do modelo A tabela ANOVA consolida os dados necessários para a criação de um teste de significância o qual utiliza as somas dos quadrados da regressão e dos resíduos obtidos por meio do processo de estimação Assim comparando a razão entre as variâncias amostrais é possível entender o nível de eficácia na capacidade explicativa do modelo econométrico MAIA 2017 O teste de significância para a regressão linear simples utiliza o teste F de acordo com a seguinte fórmula Portanto o valor F associado à significância do modelo econométrico ou do estimador deve ser comparado ao valor padrão de uma distribuição F com um grau de liberdade no numerador e n 2 graus de liberdade no denominador A razão SQReg1 corresponde ao quadrado médio da regressão MQReg e diz respeito a um indicador de variabilidade média que é explicada pelo modelo O quadrado médio dos resíduos MQRes por sua vez é dado pela razão SQResn 2 e corresponde ao estimador da variância dessa regressão Tendencialmente ao assumir a hipótese de que o modelo não contribui para explicar a variação do modelo a SQReg será mínima e a SQRes será muito alta de modo que a estatística F terá um valor baixo Contrariamente se o modelo contribui para demonstrar a variabilidade de Y o valor da SQReg tenderá a ser comparativamente mais alto GUJARATI 2011 Dessa forma a tabela ANOVA apresentada a seguir estabelece uma síntese desses resultados 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 2328 PraCegoVer o quadro composto por cinco colunas apresenta na primeira coluna a fonte regressão resíduos e total na segunda coluna o grau de liberdade GL na terceira e na quarta colunas respectivamente as fórmulas de cálculo das somas dos quadrados e dos quadrados médios necessários para a criação do teste F de análise de variância cuja fórmula é apresentada finalmente na quinta coluna Para viabilizar a compreensão da tabela ANOVA vejamos um exemplo prático Assim primeiramente observe o conjunto de dados apresentado na sequência PraCegoVer o quadro composto por duas colunas apresenta um conjunto de dados formados por duas variáveis denominadas X e Y com os seus valores reais Essa distribuição de pares ordenados X Y gera uma média de X igual a 13 e uma média de Y igual a 9 A partir dessas médias podese elaborar os coeficientes angular e linear Assim o coeficiente angular é dado por Consequentemente o coeficiente linear é dado por Desse modo o modelo de regressão é expresso por Com isso é possível estimar os valores de Y a partir do modelo econométrico gerando a sequência disposta no quadro a seguir Quadro 6 ANOVA Fonte Elaborado pelo autor baseado em MAIA 2017 Quadro 7 Pares ordenados X Y Fonte Elaborado pelo autor 2021 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 2428 PraCegoVer o quadro composto por três colunas apresenta na última coluna os valores estimados de Y em vista de um modelo de regressão linear a partir dos pares ordenados que foram apresentados no quadro anterior Para a elaboração da tabela ANOVA será preciso elaborar a SQReg com um grau de liberdade Na sequência vem a SQRes com graus de liberdade Você pode perceber que há uma diferença importante entre as SQRegs e as SQRes demonstrando que o modelo tem potencial de ser explicativo No entanto vamos continuar a análise agora com a SQT Observe que os valores de SQT e SQReg SQRes são coincidentes a discrepância pode ser atribuída aos arredondamentos recorrentes no modelo econométrico A etapa seguinte é a elaboração dos quadrados médios da regressão com um grau de liberdade Os quadrados médios dos resíduos com graus de liberdade são calculados como se segue Por fim criase a estatística relativa ao teste F para verificar a significância do modelo Quadro 8 Valores reais e estimados Fonte Elaborado pelo autor 2021 A tabela ANOVA tem várias aplicações práticas a partir de seu objetivo que é o teste de significância de um modelo econométrico Você poderá encontrar uma aplicação dessa análise de variância no artigo de Inaiara Scalçone Almeida Corbi et al 2011 Qualidade de vida relacionada à saúde de pacientes em uso de anticoagulação oral no qual as autoras correlacionam o uso de medicações específicas anticoagulantes orais à qualidade de vida em um grupo amostral Acesse httpswwwscielobrpdfrlaev19n4pt03pdf Você quer ler 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 2528 A tabela ANOVA por fim pode ser vista na sequência PraCegoVer o quadro composto por cinco colunas apresenta na primeira coluna a fonte regressão resíduos e total na segunda coluna o grau de liberdade GL na terceira e na quarta colunas respectivamente o cálculo das somas dos quadrados e dos quadrados médios necessários para a criação do teste F de análise de variância cujo cálculo é apresentado finalmente na quinta coluna Observando a tabela da distribuição F com um grau de liberdade no numerador e três graus de liberdade no denominador temse o valor crítico igual a 1013 Assim pelo exemplo apresentado a estatística F é maior que o valor crítico devendose rejeitar a hipótese nula de que o modelo não é significativo de modo que o coeficiente angular é eficiente para criar valores estimados de Y que geram o modelo econométrico Portanto o modelo contribui de forma significativa para explicitar a variabilidade de Y Quadro 9 ANOVA Fonte Elaborado pelo autor 2021 Uma sugestão simples para a construção da tabela ANOVA é anotar o peso e a altura de cinco pessoas você mais quatro pessoas Com esse conjunto você pode obter os valores médios criar o modelo econométrico e os valores estimados e a partir deles você poderá criar a análise de variância Vamos Praticar Conclusão 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 2628 A análise de variância e os processos de estimação são utilizados essencialmente para a elaboração de indicadores cujo grau de precisão e a redução do viés e dos erros amostrais permitam deduzir com a maior eficiência possível os valores esperados de um conjunto de dados Esse conteúdo é particularmente relevante para as ciências econômicas permitindo gerar modelos econométricos que investiguem relações e fluxos de longo prazo Nesta unidade você teve a oportunidade de avaliar as propriedades dos estimadores e os conceitos de acurácia precisão e viés aplicar o cálculo do erro quadrático médio para verificar a qualidade de um estimador linear contrastar os métodos de mínimos quadrados e de máxima verossimilhança para a estimação de variáveis aplicar a análise de variância com a construção do teste F e da tabela ANOVA AULA 9 propriedade dos estimadores S l s n 2020 1 vídeo 32 min Publicado pelo canal Ivette Luna Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvjBdpvxH8AbY httpswwwyoutubecomwatchvjBdpvxH8AbY Acesso em 18 fev 2021 BUSSAB W O MORETTIN P Estatística básica 7 ed São Paulo Saraiva 2017 CORBI I S A et al Qualidade de vida relacionada à saúde de pacientes em uso de anticoagulação oral Revista LatinoAmericana de Enfermagem Ribeirão Preto v 19 n 4 p 19 julago 2011 Disponível em httpswwwscielobrpdfrlaev19n4pt03pdf httpswwwscielobrpdfrlaev19n4pt03pdf Acesso em 18 fev 2021 GUJARATI D N Econometria básica 5 ed Porto Alegre Bookman 2011 MAIA A G Econometria conceitos e aplicações aprenda os fundamentos da análise econométrica e resolva problemas econômicos concretos São Paulo Saint Paul 2017 VEROSSIMILHANÇA In DICIONÁRIO brasileiro da língua portuguesa Michaelis São Paulo Melhoramentos 2021 Disponível em httpsmichaelisuolcombrmoderno portuguesbuscaportuguesbrasileiroverossimilhanC3A7a httpsmichaelisuolcombrmodernoportuguesbuscaportugues brasileiroverossimilhanC3A7a Acesso em 18 fev 2021 WOOLDRIDGE J M Introdução à econometria uma abordagem moderna 6 ed São Paulo Cengage Learning 2017 Referências 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 2728 080624 1141 Econometria httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoNEGECONOM21unidade3ebookindexhtml 2828