Cálculo Aplicado: Aplicações de Derivadas

11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 143 CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL APLICAÇÕES DE DERIVADAS APLICAÇÕES DE DERIVADAS Autor Me Ivana Barreto Mato Revisor Rosalvo Miranda INICIAR 11122023 1727 Eadbr INtroducao troduc Neste material mostraremos aplicagées de derivadas nas varias areas de conhecimento Iniciaremos com o estudo dos limites infinitos para identificar assintotas que sdo retas limitantes de graficos de algumas fungdes Sera importante também identificarmos pontos criticos relevantes no grafico de uma funcao como pontos de maximo e minimo locais e pontos de inflexdo Este estudo portanto propiciara a construcdo de graficos ndo elementares Além disso sera possivel identificar os pontos em que a fungdo atinge seu maior e seu menor valor Dessa forma possivel resolver problemas de otimizagdo como por exemplo maximizagdo de lucro minimizagao de custo minimizagdo de area de superficie para a maximizagdo de volume problema das embalagens Por fim estudaremos as taxas de variagdes relacionadas que possibilitam a resolugdo de problemas com duas ou mais grandezas dependentes umas das outras httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 243 11122023 1727 Eadbr cr I rc FO 7 oO ee Calculo Envolvendo Infinitos e CC FD j a IF 2e IW akon ond calculo de Assintotas eee As assintotas sao retas que limitam o grafico da fungdo em alguma parte do seu dominio Para determinalas necessario que vocé aprenda a resolver limites infinitos e no infinito que serdo apresentados a seguir e e bb e e e 9 é e Limites no infinito e Assintota Horizontal As vezes é importante saber 0 comportamento de uma funcdo fix quando a variavel x cresce ilimitadamente ou decresce ilimitadamente Observando a Figura 31 verificase que a medida que x tende a m Ou o valor da fungdo se aproxima da reta horizontal y 2 Neste caso dizemos que limx fx 2 limx fx 2 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 343 11122023 1727 Eadbr 3Fy am I otog Pry dt bart gy pire bbb dt Py tf to totopa ty fy I I Porotoqp 4 lot ot 1 i i ft Poror yt 11 1 PEPE EEE EEE I I i ry fitter e qu f tt x 10 10 x 20 Figura 31 Limite no infinito Fonte Elaborada pela autora Vése claramente que a reta y 2 funciona como uma barreira para o grafico da fungao por isso denominada assintota horizontal e sera definida a seguir Dizemos que a reta yk k R uma assintota horizontal se uma das seguintes condides ocorrer i limx offxyk KER ii limx oflfxyk KER Portanto para identificar um limite no infinito basta verificar se x w OUx m A seguir vocé vai aprender a resolver esse tipo de limite que ocorre quando a indeterminagao 00 matematica é igual a co Quando se trata de fung6des polinomiais vocé deve substituir a tendéncia por o ou w e Operar com infinito de forma bem similar as operacdes de numeros reais Porém preste atencdo as indeterminagodes a seguir 0 00 co 90 0 0 an wo ox 1 OY ow E necessério aprender a operar com infinito para poder determinar os limites infinitos e também no infinito Uma vez que um conceito novo para vocé conhecer as propriedades Operatorias de infinitos é imprescindivel Para tanto sugiro a consulta do Quadro 31 para httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 443 11122023 1727 Eadbr verificar quais sao as operacgdes validas e quais as que provocam indeterminagdes matematicas httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 543 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 643 lim x fx lim x gx lim x hx lim x hx Simbolicamente 01 fx gx 02 fx gx 03 fx gx Indeterminação 04 k fx gx k 05 k fx gx k 06 fxgx 07 fxgx 08 fxgx 09 k 0 fxgx k k 0 10 k 0 fxgx k k 0 11 0 fxgx 0 é indeterminação 12 k fxgx 0 k 0 13 fxgx é indeterminação 14 k0 0 fxgx k0 k 0 15 0 fxgx 0 16 k0 0 fxgx k0 k 0 17 0 fxgx 0 18 0 0 fxgx 00 é indeterminação 11122023 1728 Eadbr Quadro 31 Propriedades de limites infinitos e no infinito Fonte Adaptada de Flemming e Goncalves 2006 p 89 Veremos alguns exemplos para praticar wc se 1 Exemplo 1 Verifique o grafico da funcdo y Dif R 0 Figura 32 Hipérbole Fonte Elaborada pela autora re I I Neste caso os limites no infinito sdo limx 00 O0e limx o0 0 Fica facil entender mesmo sem a viSualizagdo grafica pois se a variavel x esta a crescer ilimitadamente significa que dividiremos a constante 1 por numero cada vez maior e portanto o valor da fungao tende a zero k Exemplo 2 Usando o fato anterior em que limx 07 0 k R veremos como resolver um limite polinomial no infinito Veja os calculos a seguir em que evidenciamos o termo de maior grau consequentemente os termos dentro do parénteses ficam com limite igual a zero restando apenas 0 limite do termo de maior grau 300 2x7 x 2 1 1 limx 2x 2x x 1 limx 0 2x 73737 3 limx 2x 5 ata 2x 2x 2x 2x 2x7 2x limx 02x3 2 o03 o httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 743 11122023 1728 Eadbr Portanto quando se trata de fungées polinomiais fica muito facil resolver esse tipo de limite resta apenas o termo de maior grau Usando o caso anterior em que limx tor 0 k R verique o calculo dos seguintes limites 1 5 2 3x 2 3x1 3x 3 Exemplo 3 limx 2 limx limx 0 limx 0 0 x3 x3 x3 x 4 3x24 7 3x2 Exemplo 4 limx 0 limx 2 J limx 2 limx 3x 3 0 3 1 5x 4 2 3x 3x7 2 3x5x4 3x 3 3 Exemplo 5 limx a limx 0 limx OT limx 07 4x7 4x 4 4 1 o Verificando os exemplos anteriores reflita sobre 0 passo a passo que devemos seguir para calcular limites no infinito das fungdes polinomiais Fonte Elaborado pela autora E quando a fungao nao polinomial Veja um exemplo que nado envolve a fungdo polinomial Neste caso necessario multiplicar pelo conjugado xt22 et22 r22 2 2 4 j j 6 limx 2 limx 0 x irt2 42 limx 0 xafet2 2 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 843 11122023 1728 Eadbr I x Ij 1 1 9 ATES beta OT Cit aRy eta Observe que aplicamos a diferenca dos quadrados para excluir o radical ao numerador 4 2 2e 2 2 e 2 2 x22x e e e e é e e Limites Infinitos e Assintotas Verticais Agora que vocé ja entendeu o conceito de limites no infinito e assintotas horizontais vamos mostrar qual a relagdo dos limites infinitos com as assintotas verticais Para tanto é necessario definir candidatos caso seja possivel para a tendéncia do limite que sdo elementos nado pertencentes ao dominio da funcdo Verifique nos graficos da Figura 33 que 2 a fungdo fix nao esta definida para x 3 Portanto x 3 6 um candidato e os limites 2 2 laterais lime 3 0 limx37 o Sado denominamos de limites infinitos pois neste caso 0 valor do limite cresce ou decresce ilimitadamente quando x tende a 3 tanto pela esquerda como pela direita y y 6 ESP TTEC a yt y 2x x3 T pea HE iin Hi Mit HII 3 J prres 3 Wt ttt rt x Prt II Itt rtid Xx 6 3 x 6 9 3 YT Figura 33 Limite infinito Fonte Elaborada pela autora Vése claramente que a reta x3 funciona como uma barreira para o grafico da fungdo por isso denominada assintota vertical que sera definida a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 943 11122023 1728 Eadbr e e é e Definicao de Assintota Vertical Dizemos que a reta x k KE R uma assintota vertical se uma das seguintes condides ocorrer i limxa fix 0 i limxa fix 0 ii limxa fix ii limxa fx oo Para calcular limites infinitos observe no grafico da fungdo na Figura 34 que 1 1 limx 3 lime 3 o no entanto ao resolver analiticamente sem a ox a 1 l visualizacdao grafica encontramos limx 3 5 E agora como chegar a conclusdo de que o valor do limite 6 igual a Neste caso é necessario estudar o sinal da fungado como mostra a Proposicdo 11 mK Figura 34 Limite no infinito Fonte Elaborada pela autora Proposicao Sejam fxe gx fungdes reais Se limxafx k k R e limxagx0 entdo fx 1 limxafx 0 se 0 Ae gx 2 limx affix 0 Se foo 0 gx httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 1043 11122023 1728 Eadbr k ae A Observe que quando obtemos 5 20 substituirmos a tendéncia do limite esse resultado sinaliza que 0 limite é infinito no entanto a Proposido 11 nos mostra que a partir do estudo de sinal da fungao podemos determinar se o valor do limite 6 0 ou ele ndo existe Para tanto basta estudar o sinal da fungado Agora vamos ver alguns exemplos que envolvem a determinacao de limites infinitos wxH2 1 e ee os Exemplo 1 Determinar limx4 5 E um limite infinito e pela Proposido 122 nt fp 2x32 necessario estudar o sinal da fungdo Verificase facilmente que a funcao fix é 2x3 2 sempre positiva portanto limx4 2x8 Exemplo 2 Dada a funcao fx determinar os limites 2x8 2 2x8 2 limx 3 fix Taz lim 3 flx Fay 3 4 2x 8 x3 2x8 x3 2x8 2x8 Portanto limx3 fix z 0 limx3 fix z o Neste caso dizemos que a2x8 ar limx3 fix z Nao existe porque os limites laterais sao diferentes Exemplo 3 Dada a funca PD termi limiteslimr2 2 29 xemplo 3 Dada a funcdo fx 4g 2 ta determinar os limiteslim2 F 5 e xx 2 a eee tei limx 27 og 0 Aqui ja podemos concluir que ambos sao limites infinitos ye httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 1143 11122023 1728 Eadbr 2 1 0 1 2 x2 x2 xx1 GT x2 x2 xx xx Portanto limx2 e limx2 x4 x4 axSet2 se Dada a fix Gp verifique se existem assintotas horizontais e verticais no grafico dessa funcdo e xX analise as afirmativas a seguir i O grafico da fungdo nado apresenta assintota horizontal iix 1 assintota vertical e y 3 é assintota horizontal iii A assintota vertical existe pois Jimx1 fix 0 limx17 fix iv y 2 assintota horizontal pois limx 0 fx 2 Esta correto 0 que se afirma em O alelll apenas O b Ile lll apenas O cIlle lV apenas O d lle lV apenas httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 1243 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 1343 e II III e IV apenas 11122023 1728 Eadbr if 4 cc m Regras Ol Sk H OSPl tal Renee reer eee ee eee eee Agora que vocé ja sabe derivar fungdes apresentaremos a regra de LHospital que permite calcular os limites por derivagdo Esta regra muitas vezes facilita calculo de limites Conforme Flemming 2006 p 226 temos a explicagdo a seguir e e oo yg e Definicao regra de LHospital Sejam as funcgodes fx e gx derivaveis em um intervalo aberto I exceto possivelmente em a J Suponhamos que gx 0 paratodox 4a l Lx f fx i Se limx a fx linx a gx 0 e limxa L entao limx a limx a L g x gx g x ii Se limx a fx limx a gx oe limx a L entao lime a lime ae L g x gx g x Observe que a regra de LHospital s6 pode ser aplicada diretamente se as indeterminagédes 0 0 sdo dos tipos e No entanto para outros tipos de indeterminagoes podemos preparar a fungdo utilizando artificios matematicos com o intuito de transformar as indeterminagdes em 0 0 we 0 ua dessa forma poder utilizar a regra de LHospital httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 1443 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 1543 saiba mais Saiba mais A regra de LHospital para cálculo de limites indeterminados leva esse nome por causa de Guillaume François Antoine Marquis de LHospital 16611704 Acesso em 24 jan 2020 A C E S S A R Vamos aos exemplos para você entender como aplicar a regra de LHospital para determinar limites de funções Vale ressaltar que na regra de LHospital derivase o numerador e denominador separadamente diferente de derivar pela regra do quociente Exemplo 1 Determine o valor dos limites a seguir usando a regra de LHospital alimx 0 senx x ex e x 2 0 0 Indeterminação Nesse caso podemos utilizar a regra de LHospital limx 0 senx x ex e x 2 limx 0 senx x ex e x 2 limx 0 senx x ex e x 2 limx 0 cos x 1 ex e x 0 0 Indeterminação Neste caso aplicase a regra de LHospital até obtermos um valor válido para o limite limx 0 cos x 1 ex e x limx 0 cos x 1 ex e x limx 0 senx ex e x 0 2 0 blimx limx x3 e3x 0 0 x3 e3x 0 0 Indeterminação Por LHospital temos limx x3 e3x limx x3 e3x limx 3x2 3e3x Indeterminação Aplicando LHospital novamente temos 11122023 1728 Eadbr limx 0 limx limx Indeterminagéo E aplicando LHospital 3e 308 e 2x 2x 2 novamente temos limx a limx 2 limx 2 0 3e3 3 6e 3e Note que devemos aplicar a regra de LHospital sucessivamente enquanto a indeterminagdao persistir arr 0 0 Agora veremos alguns exemplos de limites cuja indeterminacao é diferente de 5 e Neste caso precisamos preparar a funcdo para poder aplicar a regra de LHospital Exemplo 2 Determinar o valor dos seguintes limites preparando a funcdo para utilizar a regra de LHospital a limx 0 3x 9 0 Indeterminagdo Observe que ndo podemos aplicar diretamente a regra de LHospital Portanto temos de preparar a funcdo através de artificios matematicos Neste caso denominaremos o limite de L e aplicaremos o logaritmo neperiano em ambos os lados limx 0 3x 9 L Inlimx 3x 9 In LL por propriedade de limite limx In 3x 9 In L 1x 1 limx 0ln 3x 9 In L por propriedade de log limx tom In 3x9InL 1 9 i a0 limx 00 In 3x9InL por definiao de log L elimx In 3x9 Indeterminag ao Verifique que na ultima linha utilizamos a definicdo de log em que In L log L ux L e Além disso observe que a indeterminacdo do limite é do 00 tipo e dessa forma podemos aplicar a regra de LHospital Aplicando LHospital ao limite temos 3x9 1 In 3x9o Gxt9 3 limx In 3x 9limx 0 limx 2 limx 0 0 x x 1 3x9 1 Portanto L limx 0 3x 9 elim torin 3x49 eV 1 b Determinar limx x sen1x sen1 0 Indeterminacao Note que com essa indeterminacgdo nado podemos usar a regra de LHospital Dai temos de preparar a fungdo da seguinte forma httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 1643 11122023 1728 Eadbr sen1x 0 wre limx 00x sen1x limx 0 7 Indeterminagao Agora sim podemos utilizar a regra x de LHospital sen1x sen1x cos1x1x limx 0 limx 002 limx 0 ey limx x cos1x cos0 1 x x A regra de LHospital um recurso matematico excelente para o calculo de limites por meio da fungao derivada E imprescindivel inicialmente verificar 0 tipo de indeterminacdo matematica Nesse Sw oo esenx1 contexto avalie o tipo de indeterminacdo do limite lims 0a e resolva aplicando a regra de LHospital Em seguida assinale a alternativa correta O 9 Sn a A indeterminacao encontrada é 5 e 0 valor do limite é igual a 1 O b O valor do limite é igual 3 O we Lt wo c A indeterminagao é igual a e o valor do limite é igual a 3 O d O valor do limite é igual a 2 O a 2d 0 ow e A indeterminacao é diferente de ou httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 1743 11122023 1728 Eadbr Po F ee ee 5 PY Fe feoria da Otimizaao eee e ee eee ee eee eee ee ee eee ee A teoria da otimizagdo é utilizada para resolver problemas relacionados a varias areas de conhecimento Sado problemas que envolvem a maximizacgdo ou minimizagao de fungodes como por exemplo maximizagdo de volume minimizagdo de custo minimizagdo de area de superficie problema das embalagens etc oe Pontos Criticos e Extremos Absolutos Para identificar pontos em que a fungdo assume seu maior eou menor valor dentro do seu dominio 6 necessario determinar as imagens dos pontos criticos da funcdo c fic e dos pontos de fronteira do intervalo de definicado da funcdo Veja a seguir algumas definicdes segundo Flemming 2006 p 196 Definicao de Ponto Critico Dizemos que c Dif sao numeros criticos se fc 0 ou fc nao existe O ponto critico é dado por c fic Definicao de Maximo Absoluto Dizemos que fc 0 maximo absoluto da fungdo f sec Dif e fic fx para todo os valores dex no dominio de f Definicao de Minimo Absoluto Dizemos que fc o minimo absoluto da fungdo f se c Dif e fc fx para todo os valores dex no dominio de f httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 1843 11122023 1728 Eadbr Além disso a Proposicgdo 314 ainda segundo Flemming 2006 p196 garante a existéncia dos extremos absolutos caso a funcdo esteja definida em um intervalo fechado Proposicao Seja f a b R uma fungao continua definida em um intervalo fechado a b entao fassume maximo e minimo absoluto em a d Observe no grafico da Figura 35 os maximos e minimos absolutos que representam o maior eo menor valor que a funcdo assume em todo o seu dominio respectivamente Maximo absoluto Minimo absoluto Figura 35 Extremos absolutos Fonte Elaborada pela autora Como encontrar os extremos absolutos Ou seja como determinar 0 maior e o menor valor que a funcdo atinge no seu dominio Veja os exemplos i Exemplo 1 Seja fx x x7x1 definida em 25 Vamos seguir os seguintes passos para determinar os extremos absolutos 1 Determinar pontos criticos 1 fx 3x7 210 Por Bhaskara x 1o0ux 3 re 1 2 Encontrar o valor da funao nos pontos criticos na fronteira do intervalo 2 5 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 1943 11122023 1728 Eadbr 5 1 1 3 2 5 22 7 x Kx 57 081 g 9 875 3 Identificar o maior e o menor valor que a fungdo atinge dentro desse intervalo Observe que 0 maximo absoluto ocorreu num ponto critico 1 2 eo minimo absoluto em um ponto de extremo fronteira do intervalo 2 1 Para ficar mais claro visualize todos os pontos plotados no grafico da funcdo na Figura 36 y Sorrreeeeee2 in at ot 1 1 1 1 i i 2 1 1 i 1 1 i 1 t wane enn enn n nnn n nn nnnnn Lf Figura 36 Extremos absolutos Fonte Elaborada pela autora Agora vamos aplicar esse conceito para resolver o problema de otimizacao das embalagens Exemplo 1 Usando uma folha de cartolina quadrada de lado igual a 60 cm desejase construir uma caixa sem tampa cortando seus cantos em quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante ver Figura 37 Como determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que 0 volume da caixa seja o maior possivel httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 2043 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 2143 Figura 37 Problema de otimização Fonte Elaborada pela autora Solução Inicialmente modelamos a função que representa o volume da caixa V y2 x ver Figura 37 No entanto precisamos de outra condição para expressar a função volume dependente de apenas uma variável real Note que essa condição é 2x y 60 y 60 2x substituindoa na função volume resulta em V 60 2x2 x 602 240x 4x2x 4x3 240x2 3600x Como V 4x3 240x2 3600x e queremos maximizar o volume resta encontrarmos os pontos críticos Para tanto vamos derivar a função volume e encontrar as suas raízes V 12x2 480x 3600 0 x1 10 e x2 30 Observe que o valor do volume para x1 10 é igual a 16000 e o valor do volume para x2 30 é igual a 0 Portanto a dimensão do x deve ser de x 10 de forma que o volume seja máximo Posteriormente você entenderá como avaliar por meio do estudo do sinal como mostra a Figura 38 11122023 1728 Eadbr Vy Max Min 16000 Figura 38 Problema de otimizacdo Fonte Elaborada pela autora Um fabricante de moéveis estima que 0 custo semanal da fabricagdo de x reprodugées manuais de uma mesa colonial é dado por Cx x 3x 80x 500 Cada mesa é vendida por R 2800 Que produgdo semanal maximizara o lucro Qual o maximo lucro semanal possivel Considerando Receita Rx e Lucro Lx analise as afirmativas a seguir i A funcdo receita é igual a Rx 2800 x ii A funcdo lucro é dada por Lx Rx Cx x 3x 2880 x 500 iii A maximizagdao do lucro ocorre ao produzir 12 mesas iv O lucro maximo possivel é de R 60900 E correto o que se afirma em O alelll apenas httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 2243 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 2343 b III e IV apenas c I II e IV apenas d I II e III apenas e I II III e IV 11122023 1728 Eadbr Esboco de Graficos de Funcoes 2 ts om em Uma Variave Renee reer eee ee eee eee Agora o nosso objetivo é a construcdo grafica de fungédes ndo elementares Para tanto precisamos de mais algumas ferramentas como determinar intervalos de crescimento e decrescimento pontos de maximos e minimos locais intervalos de concavidade para cima e para baixo e pontos de inflexao Cada um desses elementos vai ser explicado ao longo deste tdpico para ao final fazermos o levantamento dos dados e construirmos o grafico de uma fungdo Intervalos de Crescimento e Decrescimento Como identificar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma fundo pelo estudo da derivada da fungdo A principio vamos entender matematicamente como definir funcdes crescentes e decrescentes Segundo Flemming 2006 p 199 temos o que sera descrito a seguir Definicao de Fungao Crescente Dizemos que uma fungdo f definida num intervalo 7 é crescente neste intervalo se para quaisquer a b J a b temos fa fb httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 2443 11122023 1728 Eadbr 1 CL b fa eee ewe eee he 4 a Figura 39 Intervalo de crescimento Fonte Elaborada pela autora Definicao de Funcao Decrescente Dizemos que uma fungdo f definida num intervalo 7 é crescente neste intervalo se para quaisquer a b J a b temos fa fb httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 2543 11122023 1728 Eadbr pone fla 1 1 t Nt fb 1 4 tt 1 1 a b Xo oe 7 fof 4 Figura 310 Intervalo de decrescimento Fonte Elaborada pela autora Proposicao Se f uma fungdo continua em a b entdo f é derivavel no intervalo aberto a b i Se fx 0 para todo x ab entao fé crescente em a 5 ii Se fx 0 para todo x a b entao fé decrescente em a b A Figura 311 mostra que quando o coeficiente angular da reta tangente é negativo a funcdo é decrescente e consequentemente a funcdo derivada é negativa Similarmente ocorre com os intervalos de crescimento httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 2643 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 2743 Figura 311 Sinal da derivada Fonte Elaborada pela autora Observe na Figura 312 que em certos pontos a função derivada é igual a zero justamente em pontos nos quais a função muda de crescimentodecrescimento e viceversa Esses pontos são chamados de extremos locais máximo local ou mínimo local Ou seja o maior ou menor valor que a função assume analisando apenas a vizinhança de um ponto localmente 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 2843 Figura 312 Extremos locais ou relativos Fonte Elaborada pela autora Critérios para Determinação dos Extremos de uma Função Para a determinação dos extremos locais máximos e mínimos locais Figura 312 são utilizados dois critérios o da 1ª derivada e o da 2ª derivada cujos procedimentos serão descritos a seguir Critérios da 1ª Derivada Flemming 2006 apresenta o teorema a seguir Teorema critério da 1ª derivada para determinação dos extremos locais Seja f uma função contínua num intervalo fechado a b que possui derivada em todo o ponto do intervalo ab exceto possivelmente num ponto c i Se fx 0 para todo x c e fx 0 para todo x c então f tem um máximo relativo em c ii Se fx 0 para todo x c e fx 0 para todo x c então f tem um máximo relativo em c A Figura 313 mostra que quando a função cresce e decresce o ponto c é de máximo local e quando ela decresce e depois cresce o ponto c é de mínimo local 11122023 1728 Eadbr MAXIMO LOCAL MINIMO LOCAL o a C b a C b Figura 313 Extremos locais ou relativos Fonte Elaborada pela autora Dessa forma para encontrar os extremos relativos ou locais de uma fungdo através do teste da 1 derivada basta estudar 0 sinal e avaliar os pontos em que a derivada se anula Critérios da Segunda Derivada Ainda segundo Flemming 2006 vamos enunciar o seguinte resultado Teorema Critério da 22 derivada Sejam fuma fungdo derivavel num intervalo a b ec um ponto critico de fneste intervalo isto é fc 0 comacb Se fadmite a derivada fem a b temos i Se fc 0 ftem um valor maximo relativo em c ii Se f c 0 ftem um valor minimo relativo em c iii Se f c 0 nada podemos afirmar Note que o critério da 2 derivada 6 mais uma opdo para definir se um ponto c fc é maximo ou minimo local no entanto caso fc 0 nada podemos informar Neste caso é necessario avaliar através do teste da 1 derivada Concavidade e Pontos de Inflexao httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 2943 11122023 1728 Eadbr Aqui vamos entender o conceito de concavidade ao grafico de uma fungdao Considerando o ponto cfc dizemos que se a curva estiver acima da reta tangente a curva nesse ponto a curva cOncava para cima Figura 314 se a curva ficar abaixo da reta tangente a curva nesse ponto a curva é c6ncava para baixo Figura 315 cf Cfc xfs XfX t C Cc Figura 314 Concavidade para cima Figura 315 Concavidade para baixo Fonte Elaborada pela autora Flemming e Goncalves 2006 apresenta a definigdo a seguir Definicao Dizemos que c fc um ponto de inflexdo se nesse ponto a curva muda de concavidade Neste caso fc Portanto para identificar os pontos de inflexao devemos estudar o sinal da 2 derivada Para a construgdo grafica devemos seguir 0 roteiro do Quadro 32 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 3043 11122023 1728 Eadbr Figura 316 Roteiro para construcdo grdfica Fonte Elaborada pela autora Agora vamos praticar levantando todos os dados necessarios para a construgdo do grafico da fungao fx Seguindo o roteiro do Quadro 32 temos httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 3143 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 3243 11122023 1728 Eadbr c f i Concavidade para baixo oo 1 Concavidade para baixo 1 00 8 Ponto de Inflexao Verifique que em 1 ha mudana de concavidade no entanto 1 Df x 1 ndo é existe de inflexdo Agora podemos tracar o grafico mY 1 y x2 x1 6 1 1 5 1 4 1 3 I 1 2 yy x 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 I 2 i 1 3 1 I aT 1 1 Quadro 32 Plotagem grafica Fonte Elaborado pela autora A construcdo grafica de fungées ndo elementares é possivel com o estudo da derivada das fung6ées Para tanto é necessario obter alguns dados como pontos criticos extremos locais intervalos de crescimento e decrescimento intervalos de concavidade para cima e para baixo e pontos de inflexdo 2x 5x42 7 Considere a fungdo fx GD o seu grafico figura seguinte e analise as seguintes afirmativas x httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 3343 11122023 1728 Eadbr y X1 3 y2 i 4 x 4 3 2 1 2 3 4 5 1 i 2 Figura Grafico da fx Fonte Elaborada pela autora i Os pontos de intersegdes com os eixos x e y ocorrememx 2 x 12ex0 li Il A assintota horizontal do grafico da fungao igualay 1 iii III O ponto de maximo local é igual a 1 94 iv IV A fungdo cresce em 1 edecresce em 1 O alelll apenas O b Ill e lV apenas O cI Ile lV apenas O dI lle Ill apenas OeI Il Ile lV httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 3443 11122023 1728 Eadbr Probl le le Variaga AR 5 Oo lan lan ee roblemas de Taxa de Variagao 7 2 a y ae relacionadas eee e ee eee ee eee eee ee ee eee ee Vimos que a derivada de uma funcdo é uma taxa de variacgdo Mas existem situagdes em que as variaveis estado relacionadas e neste caso as taxas de variagdes também sao relacionadas Assim podemos resolver uma infinidade de problemas relacionados a varias areas de conhecimento Para facilitar a obtengdo dos resultados verifique 0 passo a passo apresentado a seguir a fim de resolver problemas que envolvem taxas relacionadas 1 Represente a situagdoproblema por uma figura identificando as grandezas variaveis e constantes 2 Considere que todas as variaveis variam com o tempo t 3 Identifique os dados e a taxa que o problema esta pedindo 4 Escreva uma equacao que relacione as variaveis 5 Derive a equagao implicitamente em relagao at 6 Aplique os dados e pontos dos problemas para encontrar a taxa requerida Vamos ver alguns exemplos para entender os procedimentos Exemplo 1 Uma escada com 13 m de comprimento esta apoiada numa parede vertical e alta Figura 317 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 3543 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 3643 Figura 317 Taxas relacionadas escada Fonte Elaborada pela autora Num determinado instante a extremidade inferior que se encontra a 5 m da parede está escorregando afastandose da parede a uma velocidade de 2 ms 11122023 1728 Eadbr 13m 13m y 2m seg b mn 5m Figura 318 Taxas relacionadas escada Fonte Elaborada pela autora Com que velocidade o topo da escada desliza quando x5m dx Dados Wo 2miseh 13m dy Pedese Go 2 quando x 5m Relacdo entre as variaveis x y 137 Derivando implicitamente e substituindo os dados temos dx dy dy x dx 5 5 2442 122 y 2y 2 x ty 13 2x7 2a 07 ai D 2 gns Exemplo 2 O piloto de uma aeronave de patrulha da guardacosteira em uma missdo de busca acaba de avistar um barco pesqueiro avariado e decide sobrevoar para melhor averiguar Voando a uma altitude constante de 600 m e a uma velocidade uniforme de 200 ms a aeronave passou diretamente por cima do barco pesqueiro Observe a figura abaixo e responda com que rapidez a aeronave estava se afastando do pesqueiro no instante em que Z 1000 m ou seja no instante em que a aeronave esta a 1000 m do pesqueiro httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 3743 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 3843 Figura 319 Problema da taxa de variação velocidade Fonte Elaborada pela autora Solução Dados dx dt 200 ms Pedese dz dt quando z 1000 m Relação entre as variáveis z2 x2 6002 Para z 1000 m x2 10002 6002 640000 x 640000 800 m Derivando implicitamente e substituindo os dados temos z2 x2 6002 2z dz dt 2x dx dt dz dt 2x 2z dx dt x z dx dt 800 1000 200 160 ms Exemplo 3 A que taxa cresce o volume de uma esfera V 43 πr3 sabendose que o raio cresce à razão de 5 cms no instante em que ele mede 10 cm Solução Dados dr dt 5 ms 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 3943 Pedese dV dt quando r 10 cm Figura 320 Problema da taxa de variação volume da esfera Fonte Elaborada pelo autor Relação entre as variáveis V 43 πr3 Derivando implicitamente e substituindo os dados temos dV dt 4 3π3r dr dt dV dt 4π102 5 2000π cm3s praticar Vamos Praticar Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de 1 ms Quando ele está a 65 m acima do solo uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 4043 17 ms passa por baixo dele Encontre a taxa de variação com a qual a distância zt entre a bicicleta e o balão aumentará três segundos depois STEWART J Cálculo 3 ed São Paulo Cengage Learning 2013 Assinale a alternativa que apresenta a taxa de variação solicitada a 7 ms b 9 ms c 10 ms d 11 ms e 13 ms Figura Problema da taxa de variação balão Fonte Elaborada pela autora 11122023 1728 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 4143 indicações Material Complementar LIVRO Cálculo James Stewart Editora Cengage Learning Ano 2013 ISBN 9788522114610 Comentário É um excelente livro de cálculo que mostra aplicações do cálculo em várias áreas do conhecimento Recomendo a leitura principalmente do capítulo 4 que aborda grande parte dos conteúdos abordados neste material como a regra de LHospital e problemas de otimização Aproveite para resolver os exercícios propostos WEB Matemática Não é Fazer Contas Inês Guimarães 11122023 1728 Eadbr Ano 2017 Tipo Canal do YouTube Comentario Este video mostra um TED talk em que a autora Inés Guimaraes fala da sua paixdo pela matematica constatada em suas participacgdes em Olimpiadas de Matematica Além disso ela mostra que para a resolugdo de um problema é necessario pensar fora da caixa ou Sseja ter uma visdo geral do todo e criar estratégias a fim de elaborar um planejamento Essa forma de pensar com certeza vai contribuir para a resolugdo de problemas que envolvem o calculo diferencial Acesso em 22 jan 2019 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 4243 11122023 1728 Eadbr Neste material vocé adquiriu bastante conhecimento relativo a aplicagdo das derivadas Enfatizamos a regra de LHospital para facilitar a resolugdo de limites e a teoria da otimizagao para resolver uma infinidade de problemas em varias areas de conhecimento como minimizagdao de custo maximizacgdo de volumes problema das embalagens etc Vocé também aprendeu a como construir graficos de fungédes ndo elementares e por fim a resolver problemas de taxas de variagdes de grandezas relacionadas Assim vocé consolidou os conceitos apreendidos relativos a derivadas em situagdes praticas contextualizadas com problemas relacionados ao nosso dia a dia eee eee eer ANTON H Calculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 v 1 ISBN 9788582602263 BARBOSA Everaldo Fernandes Analise Historica da Regra de LHospital A importancia da Historia da Matematica na disciplina de Calculo 2008 90f Dissertagado Mestrado em Matematica Instituto de Matematica Estatistica e Computacgao Cientifica Unicamp Campinas 2008 Disponivel em httprepositoriounicampbrjspuibitstreamREPOSIP3070331Barbosa EveraldoFernandes Mpd Acesso em 27 dez 2019 FLEMMING D M GONCALVES M B Calculo A funcgodes limites derivagdo e integracdo 6 ed rev e ampl Sdo Paulo Pearson 2006 STEWART J Calculo 3 ed Sdo Paulo Cengage Learning 2013 v 1 ISBN 9788522114610 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade3ebookindexhtml 4343